Transferencia de Calor

1. Transferencia de Calor Capitulo 2 Conducción Estacionaria Unidimensional

2. INTRODUCCIÓN LA PLACA PLANA AISLAMIENTO Y VALORES R SISTEMAS RADIALES EL COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERENCIA CALOR ESPESOR CRITICO DE AISLAMIENTO CONDUCCIÓN ESTACIONARIA UNIDIMENSIONAL SISTEMAS CON FUENTES DE CALOR CILINDROS CON FUENTES DE CALOR SISTEMAS CON CONDUCCIO-CONVECCION ALETAS RESISTENCIA TERMICA DE CONTACTO

3. CONDUCCIÓNINTRODUCCIÓN Cuando en un cuerpo existe un gradiente de temperatura, la experiencia muestra que hay una transferencia de energía desde la región a alta temperatura hacia la región de baja temperatura. Se dice que la energía se ha transferido por conducción.

4. Ahora, se desea examinar las aplicaciones de la ley de Fourier de la conducción del calor al cálculo del flujo de calor en algunos sistemas unidimensionales simples. Dentro de la categoría de los sistemas unidimensionales, se pueden encontrar varias formas físicas distintas: los sistemas cilíndricos y esféricos son unidimensionales cuando la temperatura en el cuerpo es sólo función de la distancia radial, e independiente del ángulo azimutal o de la distancia axial.

5. Considérese primero la placa plana, donde se puede aplicar directamente la ley de Fourier [Ec. (1.1)]. Su integración conduce a: ECUACION 2.1 donde la conductividad térmica se ha supuesto constante. El espesor de la placa es Ax, y T, y T, son las temperaturas de las paredes de la placa. PLACA PLANA

6. Si la conductividad térmica varía con la temperatura de acuerdo con alguna relación lineal, , la ecuación que resulta para el flujo de calor es: ECUACION 2.2

7. Si hay más de un material presente, como en la pared multicapa mostrada en la Figura 2.1, el análisis sería el siguiente: en los tres materiales se muestran los gradientes de temperatura, y el flujo de calor se puede escribir.

9. Resolviendo estas tres ecuaciones simultáneamente, el flujo de calor se puede poner: ECUACION 2.3

10. En este punto, se replantea ligeramente el enfoque del desarrollo para introducir la ley de Fourier desde un punto de vista conceptual diferente. La rapidez de la transferencia de calor puede considerarse como un flujo, y la combinación de la conductividad térmica, el espesor del material y el área, como una resistencia a dicho flujo. La temperatura es la función potencial, o motriz, del flujo de calor, y la ecuación de Fourier se puede escribir: Flujo de calor = diferencia de potencial térmico ECUACION 2.4 resistencia térmica relación bastante parecida a la ley de Ohm de la teoría de circuitos eléctricos. En la Ec. (2.1) la resistencia térmica es Ax/kA, y en la Ec. (2.3) dicha resistencia es la suma de los tres términos del denominador. Se debería esperar la situación de la Ec. (2.3), ya que las tres paredes adosadas actúan como tres resistencias térmicas en serie. El circuito eléctrico equivalente se muestra en la Figura 2.lb.

11. La analogía eléctrica se puede emplear para resolver problemas más complejos que incluyan tanto resistencias térmicas en serie como en paralelo. En la Figura 2.2 se muestra un problema típico y su circuito eléctrico análogo. La ecuación del flujo de calor unidimensional para este tipo de problema puede escribirse ECUACION 2.5 donde las R térmica, son las resistencias térmicas de los distintos materiales. Las unidades de la resistencia térmica son °C/W ó °F h/Btu.

12. Es oportuno mencionar que en algunos sistemas como el de la Figura 2.2, el flujo de calor puede ser bidimensional si las conductividades térmicas de los materiales B, C y D difieren apreciablemente. En estos casos hay que emplear otras técnicas para obtener una solución.

13. En el Capítulo 1 se hizo notar que las conductividades térmicas de algunos de los materiales aislantes vienen dadas en el Apéndice A. A la hora de clasificar las cualidades del aislante, es una práctica común en la industria de la construcción utilizar un término denominado calor R, definido como: ECUACION 2.6 AISLAMIENTO Y VALORES DE R

15. Las unidades de R son . Nótese que ésta difiere del concepto de resistencia térmica discutido anteriormente en que se utiliza el flujo de calor por unidad de superficie. Llegados a este punto, merece la pena clasificar los materiales aislantes en función de su aplicación y de los intervalos de temperatura permitidos. La Tabla 2.1 proporciona dicha información y puede utilizarse como guía para seleccionar materiales aislantes.

17. Cilindros Considérese un cilindro largo de radio interior ri’, radio exterior re y longitud L, como el que se muestra en la Figura 2.3. Este cilindro se somete a una diferencia de temperaturas Ti – Te’’ y se plantea la pregunta de cuál será el flujo de calor. En un cilindro cuya longitud sea muy grande comparada con su diámetro, se puede suponer que el calor fluye sólo en dirección radial, con lo que la única coordenada espacial necesaria para definir el sistema es r. De nuevo, se utiliza la ley de Fourier empleando la relación apropiada para el área. El área para el flujo de calor en un sistema cilíndrico es: SISTEMAS RADIALES

18. De modo que la ley de Fourier se escribe: ó ECUACION 2.7 Con las condiciones de contorno: La solución de la Ec. (2.7) es: ECUACION 2.8

19. En este caso la resistencia térmica es:

20. El concepto de resistencia térmica puede utilizarse con paredes cilíndricas multicapa de la misma manera en que se hizo con paredes planas. Para el sistema de tres capas mostrado en la Figura 2.4 la solución es: ECUACION 2.9

21. El circuito térmico se muestra en la Figura 2.4b:

22. ESFERAS Los sistemas esféricos pueden tratarse también como unidimensionales cuando la temperatura sea función únicamente del radio. El flujo de calor es entonces: ECUACION 2.10

23. EJEMPLO 2.1. CONDUCCIÓN ENMULTICAPA. Una pared exterior de una casa se puede aproximar por una capa de lo,16 cm de ladrillo corriente [k = 0,7 W/m . °C] seguida de una capa de 3,81 cm de yeso [k = 0,48 W/m. °C]. ¿Qué espesor de aislante de lana de roca [k = 0,065 W/m . °C] debería añadirse para reducir en un 80 por 100 la pérdida de calor (o la ganancia) a través de la pared? Solución. La pérdida total de calor vendrá dada por: Dado que la pérdida de calor con el aislamiento de lana de roca será sólo el 20 por 100 (una reducción del 80 por 100) de la que se tenía antes del aislamiento: Para el ladrillo y el yeso se tiene, por unidad de área,

24. de modo que la resistencia térmica sin aislamiento es: Entonces: y esto representa la suma del valor anterior y de la resistencia de la lana de roca: Así que:

25. EJEMPLO 2.2. SISTEMA CILÍNDRICO MULTICAPA. Un tubo de paredes gruesas de acero inoxidable Cl8 % Cr, 8 % Ni, k = 19 W/m. “C] de 2 cm de diámetro interior (DI) y 4 cm de diámetro exterior (DE), se cubre con una capa de 3 cm de aislante de asbesto [k = 0,2 W/m . “Cl. Si la temperatura de la pared interna del conducto se mantiene a 6OO”C, calcúlese la pérdida de calor por metro de longitud. Calcúlese también la temperatura de la interfaz tubo-aislante. Solución. La figura adjunta muestra el circuito térmico para este problema. El flujo de calor viene dado por:

26. Este flujo de calor se puede emplear para el cálculo de la temperatura de la interfaz entre la pared del tubo y el aislante. Se tiene donde Ta es la temperatura de la interfaz, y de ella se obtiene La resistencia térmica mayor corresponde claramente al aislante, con lo que la mayor parte de la caída de temperatura tiene lugar a través de este material.

27. Condiciones de contorno con convección Ya se ha visto en el Capítulo 1 que la transferencia de calor por convección puede calcularse con: También se puede establecer una analogía con la resistencia eléctrica para el proceso de convección reescribiendo la ecuación como ECUACION 2.11 donde el término 1/hA se convierte ahora en la resistencia a la transferencia de calor por convección.

28. Considérese la pared plana de la Figura 2.5, en contacto con un fluido caliente A por una cara y con un fluido más frío B por la otra cara. La transferencia de calor se expresa por: COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERENCIA DE CALOR

29. El proceso de transferencia de calor se puede representar por el circuito de resistencias de la Figura 2.5b, y la transferencia de calor global se calcula como el cociente entre la diferencia total de temperaturas y la suma de las resistencias térmicas ECUACION 2.12 Obsérvese que el valor de 1/hA se emplea para representar la resistencia a la transferencia de calor por convección. La transferencia de calor global que combina la conducción y la convección se expresa con frecuencia en función de un coeficiente global de transferencia de calor U, definido por la relación ECUACION 2.13 donde A es algún área apropiada para el flujo de calor. De acuerdo con la Ec. (2.12), el coeficiente global de transferencia de calor sería:

30. El coeficiente global de transferencia de calor está también relacionado con el valor de R de la Ec. (2.6) a través de: Para un cilindro hueco cuyas superficies interior y exterior se hallan expuestas a un ambiente convectivo, la analogía de la resistencia eléctrica podría quedar como se muestra en la Figura 2.6 donde, de nuevo, TA y TB y son las dos temperaturas del fluido. Nótese que en este caso el área para la convección no es la misma para ambos fluidos, y depende del diámetro interior del tubo y del espesor de la pared. El coeficiente global para la transferencia de calor en este caso se expresaría con: ECUACION 2.14

31. de acuerdo con el circuito térmico mostrado en la Figura 2.6. Los términos Ai y Ae representan las áreas de las caras interna y externa del tubo interior. El coeficiente global de transferencia de calor puede basarse tanto en el área interna como externa del tubo. Por tanto: ECUACION 2.15 ECUACION 2.16

32. Los cálculos de los coeficientes de transferencia de calor por convección que se utilizan en el coeficiente global de transferencia de calor, se efectúan de acuerdo con los métodos descritos en capítulos posteriores. En la Tabla 10.1 se dan algunos valores típicos del coeficiente global de transferencia de calor para cambiadores de calor.

35. EJEMPLO 2.3. TRANSFERENCIA DE CALOR A TRAVÉS DE UNA PARED COMPUESTA. Los listones de madera «dos por cuatro» tienen unas dimensiones reales de 4,13 x 9,21 cm y una conductividad térmica de 0.1 W/m * °C. Una pared típica de una casa está construida como se muestra en la Figura Ejemplo 2.3. Calcúlese el coeficiente global de transferencia de calor y el valor de R de la pared. Solución. Se puede suponer que la sección de la pared tiene dos caminos paralelos para el flujo de calor: (1) a través de los listones, y (2) a través del aislante. Se calculará la resistencia térmica para cada uno, y luego se combinarán los valores para obtener el coeficiente global de transferencia de calor. 1. Transferencia de calor a través de listones (A = 0,0413 m² por unidad de profundidad). Este flujo de calor tiene lugar a través de seis resistencias térmicas: a) Resistencia a la transferencia de calor por convección en el exterior del ladrillo b) Resistencia a la transferencia de calor por conducción en el ladrillo

36. c) Resistencia a la transferencia de calor por conducción a través del revestimiento externo d) Resistencia a la transferencia de calor por conducción a través del listón de madera e) Resistencia a la transferencia de calor por conducción a través del revestimiento interno f) Resistencia a la transferencia de calor por convección en el interior

38. La resistencia térmica total a través de la sección del listón de madera es 2. Sección del aislante (A = 0,406 - 0,0413 m² por unidad de profundidad). A través de la sección del aislante, cinco de los materiales son el mismo, pero las resistencias llevan términos de áreas diferentes, esto es, 40,6 - 4,13 cm en lugar de 4,13 cm, de modo que cada una de las resistencias anteriores se debe multiplicar por un factor igual a 4,13/(40,6 - 4,13) = 0,113. La resistencia a través del aislante es y la resistencia total a través de la sección del aislante es

39. La resistencia global de la sección se obtiene combinando las resistencias en paralelo de las Ecs. anteriores para dar Este valor está relacionado con el coeficiente global de transferencia de calor por donde A es el área total de la sección = 0,406 m². Así, Como se ha visto, el valor de R es algo diferente de la resistencia térmica y viene dado por

40. Comentario. Este ejemplo ilustra las relaciones entre los conceptos de resistencia térmica, coeficiente global de transferencia de calor, y valor R. Nótese que el valor R implica el concepto de unidad de área, mientras que la resistencia térmica no.

41. EJEMPLO 2.4. COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERENCIA DE CALOR DE UN TUBO. Por el interior de un tubo de 2,5 cm de diámetro interior circula agua a 50°C de modo que hi = 3.500 W/m². °C. El tubo tiene una pared de 0,8 mm de espesor, con una conductividad térmica de 16 W/m. °C. El exterior del tubo pierde calor por convección natural con he = 7,6 W/m² °C. Calcúlese el coeficiente global de transferencia de calor y la pérdida de calor por unidad de longitud hacia el aire circundante, que está a 20°C. Solución. En este problema hay tres resistencias en serie, como se ilustra en la Ec. (2.14). Con :

42. La resistencia del exterior a la transferencia de calor por convección es claramente la mayor, y es así de manera irrefutable. Esto significa que ésta es la resistencia que controla la transferencia total de calor, dado que las otras resistencias (en serie) son, en comparación, despreciables. El coeficiente global de transferencia de calor se basará en el área exterior del tubo y se escribirá Que es un valor muy próximo de he=7,6 para el coeficiente de convección exterior. La transferencia de calor se obtiene de la ec. (a) con:

43. Comentario. Este ejemplo ilustra el hecho importante de que muchos problemas prácticos de transferencia de calor implican múltiples modos de transferencia de calor actuando en combinación; en este caso, como una serie de resistencias térmicas. No es inusual que uno de los modos de transferencia de calor domine el problema global. En este ejemplo, la transferencia de calor total se podría haber calculado de forma muy aproximada calculando, únicamente, la pérdida de calor por convección natural desde el exterior del tubo, mantenido a una temperatura de 50 °C. Debido a que las resistencias a la transferencia de calor por convección interior y de la pared del tubo son tan pequeñas, las caídas de temperatura son consecuentemente pequeñas, y la temperatura exterior del tubo estará muy próxima a la del líquido del interior, 50°C.

44. Considérese una capa de aislante que podría instalarse alrededor de una tubería circular, como se muestra en la Figura. 2.7. La temperatura interna del aislante está fijada en Ti, y la superficie externa está expuesta a un entorno convectivo a T∞. Según el circuito térmico, la transferencia de calor es ECUACION 2.17 ESPESOR CRITICO DE AISLAMIENTO

45. Ahora se analiza esta expresión para determinar el radio exterior de aislamiento re que hace máxima la transferencia de calor. La condición con para conseguir el máximo es: Que conduce al resultado: ECUACION 2.18

46. La Ec. (2.18) expresa el concepto de radio crítico de aislamiento. Si el radio exterior es menor que el valor dado por esta ecuación, entonces la transferencia de calor aumentará al añadir más aislante. Para radios externos mayores que el valor crítico, un aumento de espesor de aislante causará una disminución de la transferencia de calor. El concepto fundamental es que, para valores suficientemente pequeños de h, la pérdida de calor por convección puede aumentar realmente con la adición de aislante, debido al aumento del área superficial.

47. EJEMPLO 2.5. ESPESOR CRÍTICO DE AISLAMIENTO. Calcúlese el espesor crítico de aislamiento para el asbesto [k = 0,17 W/m °C] que rodea una tubería y se halla expuesto al aire de una habitación a 20 °C con h = 3,0 W/m² °C. Calcúlese la pérdida de calor desde una tubería a 200 °C, de 5,O cm de diámetro, cuando se cubre de aislante con el radio crítico, y sin aislamiento. Solución. De la Ec. (2.18) se calcula re como El radio interior del aislamiento es 5,012 = 2,5 cm, de modo que la transferencia de calor se calcula a partir de la Ec. (2.17) como Sin aislamiento, la convección desde la superficie exterior de la tubería es

48. Así, la adición de 3,17 cm (5,67 - 2,5) de aislante, realmente aumenta la transferencia de calor en un 25 por 100. Como alternativa, podría emplearse como material aislante la fibra de vidrio, con una conductividad térmica de 0,04 W/m °C. Entonces, el radio crítico sería Ahora, el valor del radio crítico es menor que el radio exterior de la tubería (25 cm), por lo que la adición de cualquier cantidad de aislante de fibra de vidrio originaría una disminución de la transferencia de calor. En un problema práctico de aislamiento de tuberías, la pérdida total de calor estará también influenciada por la radiación, tanto como por la convección desde la superficie exterior del aislante.

49. Gran cantidad de aplicaciones interesantes de los principios de la transferencia de calor están relacionadas con sistemas en los que puede generarse calor internamente. Los reactores nucleares son un ejemplo; los conductores eléctricos y los sistemas químicamente reactantes, otros. En este punto la discusión se ceñirá a sistemas unidimensionales, o, más específicamente, a sistemas donde la temperatura sólo es función de una coordenada espacial. SISTEMAS CON FUENTES DE CALOR

50. Pared plana con fuentes de calor Considérese la pared plana con fuentes de calor distribuidas uniformemente, mostrada en la Figura 2.8. El espesor de la pared en la dirección x es 2L, y se supone que las dimensiones en las otras direcciones son suficientemente grandes como para que el flujo de calor pueda considerarse unidimensional. El calor generado por unidad de volumen es ԛ’ y se supone que la conductividad térmica no varía con la temperatura. Esta situación podría producirse en un caso práctico haciendo pasar una corriente a través de un material que sea conductor de la electricidad. Del Capítulo 1, la ecuación diferencial que gobierna el flujo de calor es: ECUACION 2.19