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ハドロン

物質の 究極構造. b 崩壊. b 崩壊. 弱い 相互作用. p. e. 　　は 反粒子. n. n e. W -. 原子. レプトン. ニュートリノ. n t. n e. n m. 中間子. タウ. 電子. ミュー. 原子核. t. m. e. ハドロン. クォーク. t. u. c. 中性子. n. 陽子. p. = udd. = uud. b. d. s. ゲージボソン. ウィークボソン. グルオン. 光子. g. G a. W ±. Z 0. 電磁相互 作用を媒介. 強い相互

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Presentation Transcript

  1. 物質の 究極構造 b 崩壊 b 崩壊 弱い 相互作用 p e 　　は 反粒子 n ne W- 原子 レプトン ニュートリノ nt ne nm 中間子 タウ 電子 ミュー 原子核 t m e ハドロン クォーク t u c 中性子 n 陽子 p =udd =uud b d s ゲージボソン ウィークボソン グルオン 光子 g Ga W± Z0 電磁相互 作用を媒介 強い相互 作用を媒介 弱い相互 作用を媒介 基本粒子

  2. 場の 量子論 番号 時空座標 基本粒子の従う 基本法則は何か? 力学変数: 場 = 時空座標 はパラメタ レプトン ニュートリノ nt ne nm タウ 電子 ミュー t m e クォーク t u c b d s 量子論 ウィークボソン グルオン 光子 g Ga W± Z0 基本場 電磁相互 作用を媒介 強い相互 作用を媒介 弱い相互 作用を媒介 = 基本粒子

  3. 場の 量子論 番号 時空座標 基本粒子の従う 基本法則は何か? 力学変数: 場 = 時空座標 量子論 の枠組み はパラメタ 状態空間 力学 運動方程式 法則 どう決める? 力学変数は演算子 交換関係の代数 Lagrangian 運動方程式 正準共役運動量 正準交換関係 :力学変数 Lagrangian 対称性 簡単な形 局所性 を決める基準 力学変数の変換で運動方程式の形が不変 対称性 必要条件 Lagrangianが不変 局所性 運動方程式が1時空点に関する記述になっている

  4. 対称性 力学変数の変換で運動方程式の形が不変 十分条件 Lagrangianが不変 力学変数の変換で運動方程式の形が不変 対称性 十分条件 Lagrangianが不変

  5. 対称性 力学変数の変換で運動方程式の形が不変 十分条件 Lagrangianが不変 古典力学では、力学変数をその関数として与えられる 変数に変えて記述することを変換という。 qj' = Fj(qi ) 力学変数qiの変換 量子論では、状態も対応して変換する。 状態　　　の変換 確率を変えないため、Uはユニタリー変換。 変換は物理量を定義する。 変換を逐次行って得られる変換を変換の積と定義し、 恒等写像による変換を単位元とし、逆変換が存在する ものとするとこれらの変換の集合は群(変換群)をつくる

  6. 対称性 力学変数の変換で運動方程式の形が不変 十分条件 Lagrangianが不変 = fj (x ) 力学変数の変換 fi' (x') Fi( ) 時空の変換 x'=Ax　によって引き起こされる場の変換 f'=TAfと書くことにする。 f'をはAによるので ( TA f)i (Ax) = f j (x ) Fi(fj)は線形とする。 ji (A) D D (AB)ik = D (A)ijD (B)jk 変換群の線形表現

  7. 状態の変換 場の変換 D (AB)ik =D (A)ijD (B)jk 変換群の線形表現 リー代数 無限小変換 [Xi,Yj]=ifijkXk fijk:構造定数 ベクトル空間の基底Xi 回転群O(3) 直行行列A AAt=1 generator 交換関係 リー代数

  8. 回転群O(3) 直行行列A AAt=1 generator リー代数 交換関係 群の不変量 回転群O(3) 直行行列A AAt=1 generator 交換関係 リー代数

  9. 回転群O(3) 直行行列A AAt=1 generator リー代数 交換関係 群の不変量 とおく とする j-k=nは整数 mの最大(小)値=j (k) |h|=1 h=1と選ぶ

  10. リー代数の表現 Pauli行列 群の表現 群としては2価表現

  11. リー代数の表現 群の表現 2j+1次元表現

  12. Lorentz群　 proper Lorentz transformation , ,

  13. , 表現は で指定される。

  14. 表現は で指定される。 表現は で指定される。

  15. 表現は で指定される。 scalar field right-handedWeyl spinor field left-handedWeyl spinor field Dirac spinor field vecrtor field

  16. scalar field scalar field

  17. scalar field Lagrangian Lagrangian密度 Lorentz 不変なLagrangian Lagrangian密度 運動方程式 正準共役 運動量 Hamiltonian密度 正準交換関係

  18. 対称性 力学変数の変換で運動方程式の形が不変 十分条件 Lagrangianが不変 = fj (x ) 力学変数の変換 fi' (x') Fi( ) 時空の変換 x'=Ax　によって引き起こされる場の変換 f'=f(A)と書くことにする。 f'をはAによるので (f(A))i (Ax) = Fi(fj)は線形とする。 ji (A) f j (x ) D D ⇒ ⇒ ⇒ (AB) (f )i ( x ) = AB D ( )kifk (x ) AB D (AB)kifk (x ) = (f(AB))i (ABx ) = = = ( )i ( A(Bx ) (f(A))(B) )

  19. 対称性 力学変数の変換で運動方程式の形が不変 十分条件 Lagrangianが不変 = fj (x ) 力学変数の変換 fi' (x') Fi( ) 時空の変換 x'=Ax　によって引き起こされる場の変換 f'=TAfと書くことにする。 f'をはAによるので (f(A))i (Ax) = Fi(fj)は線形とする。 ij (A) f j (x ) D ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ((f(A))(B))i (A(Bx)) = D(B)ij (TBf)j (Bx) TBf Bx D (AB)kifk (x ) = (f(AB))i (ABx ) = ( )i ( A(Bx ) (f(A))(B) ) = D (A)ij (TBf)j (Bx )

  20. 対称性 力学変数の変換で運動方程式の形が不変 十分条件 Lagrangianが不変 = fj (x ) 力学変数の変換 fi' (x') Fi( ) 時空の変換 x'=Ax　によって引き起こされる場の変換 f'=TAfと書くことにする。 f'をはAによるので ( TA f)i (Ax) = Fi(fj)は線形とする。 ij (A) f j (x ) D ⇒ ⇒ ⇒ = (TBf)j (Bx ) B D (B)jkfk (x ) D (AB)ikfk (x ) = (TABf)i (ABx ) = ( TA(TBf) )i ( A(Bx ) ) = D (A)ij (TBf)j (Bx ) D (B)jkfk (x ) = D (A)ij D (AB)ik = D (A)ijD (B)jk 変換群の線形表現

  21. 対称性 力学変数の変換で運動方程式の形が不変 十分条件 Lagrangianが不変 = fj (x ) 力学変数の変換 fi' (x') Fi( ) 時空の変換 x'=Ax　によって引き起こされる場の変換 f'=TAfと書くことにする。 f'をはAによるので (f(A))i (Ax) = Fi(fj)は線形とする。 ij (A) f j (x ) D ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ((f(A))(B))i (A(Bx)) = D(B)ij (TBf)j (Bx) TBf Bx D (AB)kifk (x ) = (f(AB))i (ABx ) = ( )i ( A(Bx ) (f(A))(B) ) = D (A)ij (TBf)j (Bx )

  22. 対称性 力学変数の変換で運動方程式の形が不変 十分条件 Lagrangianが不変 = fj (x ) 力学変数の変換 fi' (x') Fi( ) 時空の変換 x'=Ax　によって引き起こされる場の変換 f'=TAfと書くことにする。 f'をはAによるので ( TA f)i (Ax) = Fi(fj)は線形とする。 ij (A) f j (x ) D ⇒ ⇒ ⇒ = (TBf)j (Bx ) B D (B)jkfk (x ) D (AB)ikfk (x ) = (TABf)i (ABx ) = ( TA(TBf) )i ( A(Bx ) ) = D (A)ij (TBf)j (Bx ) D (B)jkfk (x ) = D (A)ij D (AB)ik = D (A)ijD (B)jk 変換群の線形表現

  23. 対称性 力学変数の変換で運動方程式の形が不変 十分条件 Lagrangianが不変 = fj (x ) 力学変数の変換 fi' (x') Fi( ) 時空の変換 x'=Ax　によって引き起こされる場の変換 f'=TAfと書くことにする。 f'をはAによるので ( TA f)i (Ax) = Fi(fj)は線形とする。 ji (A) f j (x ) D D ⇒ ⇒ ⇒ AB (Tf)i ( x ) = AB D ( )kifk (x ) AB D (AB)kifk (x ) = (TABf)i (ABx ) = = = ( TB(TAf) )i ( A(Bx ) )

  24. 対称性 力学変数の変換で運動方程式の形が不変 十分条件 Lagrangianが不変 = fj (x ) 力学変数の変換 fi' (x') Fi( ) 時空の変換 x'=Ax　によって引き起こされる場の変換 f'=TAfと書くことにする。 f'をはAによるので ( TA f)i (Ax) = Fi(fj)は線形とする。 ij (A) f j (x ) D ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ (TB(TAf))i (A(Bx)) = D(A)ij (TBf)j (Bx) TBf Bx D (AB)ikfk (x ) = (TABf)i (ABx ) = ( TB(TAf) )i ( A(Bx ) ) = D (A)ij (TBf)j (Bx )

  25. 対称性 力学変数の変換で運動方程式の形が不変 十分条件 Lagrangianが不変 = fj (x ) 力学変数の変換 fi' (x') Fi( ) 時空の変換 x'=Ax　によって引き起こされる場の変換 f'=TAfと書くことにする。 f'をはAによるので ( TA f)i (Ax) = Fi(fj)は線形とする。 ij (A) f j (x ) D ⇒ ⇒ ⇒ = (TBf)j (Bx ) B D (B)jkfk (x ) D (AB)ikfk (x ) = (TABf)i (ABx ) = ( TA(TBf) )i ( A(Bx ) ) = D (A)ij (TBf)j (Bx ) D (B)jkfk (x ) = D (A)ij D (AB)ik = D (A)ijD (B)jk 変換群の線形表現

  26. 状態の変換 場の変換 D (AB)ik =D (A)ijD (B)jk 変換群の線形表現 リー代数 無限小変換 [Xi,Yj]=ifijkXk fijk:構造定数 ベクトル空間の基底Xi 回転群O(3) 直行行列A AAt=1 generator 交換関係 リー代数

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