Fisica 1 ByG Primer Cuatrimestre 2007 Clase 1

1. Fisica 1 ByG Primer Cuatrimestre 2007Clase 1

2. Otras historias de la gallinita que dijo Eureka Revelaciones 1: Pensar en el espacio adecuado Revelaciones 3: El esqueleto de las formas. Revelaciones 2: Conocimiento implícito de leyes de la física

3. Revelaciones 1; Pensar en el espacio (NO) adecuado One percent of women at age forty who participate in routine screening have breast cancer. Eighty percent of the women with breast cancer will have a positive mammogram. Of the women without breast cancer, 9.6% will also have a positive mammogram. A woman in this age group had a positive mammogram in a routine screening. What is the probability that she actually has breast cancer? ___% Respuestas correctas: Médicos 10 % Estudiantes de Medicina 18% El beneficio de la educación!! Gigerenzer, G. & Hoffrage, U. (1995): How to improve Bayesian reasoning without instruction: Frequency formats. Psychological Review, 102:4,

4. Revelaciones 1; Pensar en el espacio (NO) adecuado One percent of women at age forty who participate in routine screening have breast cancer. Eighty percent of the women with breast cancer will have a positive mammogram. Of the women without breast cancer, 9.6% will also have a positive mammogram. A woman in this age group had a positive mammogram in a routine screening. What is the probability that she actually has breast cancer? ___% p(cancer| 40 años) = 1% p(positivo| cancer) = 80% p(positvo| no cancer) = 9.6% p(cancer | positivo) = ???? Gigerenzer, G. & Hoffrage, U. (1995): How to improve Bayesian reasoning without instruction: Frequency formats. Psychological Review, 102:4,

5. Revelaciones 1; Pensar en el espacio adecuado p(cancer | positivo) = ???? Respuestas correctas: Médicos 47 % Estudiantes de Medicina 56% Gigerenzer, G. & Hoffrage, U. (1995): How to improve Bayesian reasoning without instruction: Frequency formats. Psychological Review, 102:4,

6. Revelaciones 1; Pensar en el espacio adecuado (con redundancia) p(cancer | positivo) = ???? De 1000 mujeres estudiadas 103 dan positivas, de las cuales 8, tiene cáncer Gigerenzer, G. & Hoffrage, U. (1995): How to improve Bayesian reasoning without instruction: Frequency formats. Psychological Review, 102:4,

7. Revelaciones 2: El esqueleto de las formas

8. Las reglas de asociación Gestaltianas Proximidad Similaridad Buena Continuacion

9. Un modelo del sistema visual:El canal de los espiritus visuales

10. Un modelo del sistema visual: Los segmentos son el sustrato de las formas..

11. Los segmentos son una base natural del espacio de formas

12. The perception of good continuation

13. The perception of good continuation “Fisica Correcta” “Fisica Intuitiva”

14. ¿Los bebes son o no son idiotas? Study Reveals: Babies are Stupid The Onion, May 21st, 1997 Alison Gopnik Los bebes desarrollan y cambian teorías intuitivas de manera muy similar a los científicos.

15. Entendimiento “temprano” de la gravedad y la inercia. Elizabeth S. Spelke http://www.wjh.harvard.edu/~lds/sexsci/ "Sex & Science" webpage Developmental Science 2:3 (1999), pp 339±362 Perception and understanding of effects of gravity and inertia on object motion In-Kyeong Kim1 and Elizabeth S. Spelke2

16. La sorpresa de pasar a un mundo con una física distinta(medida en la permanencia de la mirada) Developmental Science 2:3 (1999), pp 339±362 Perception and understanding of effects of gravity and inertia on object motion In-Kyeong Kim1 and Elizabeth S. Spelke2

17. El ejemplo mas concreto del conocimiento implícito de la física http://difusion.df.uba.ar/sabermas/HOMBRE/futbol.html (La pelota si dobla)

18. Algunos conceptos abstractos importantes • Dimensionalidad: Numero de variables “independientes” de un espacio

19. Algunos conceptos abstractos importantes • Dimensionalidad: Numero de variables “independientes” de un espacio • Coherencia: Objetivo general de la física como un programa de búsqueda de coherencia (de correlación, de causalidad, de interacción)

20. Algunos conceptos abstractos importantes • Dimensionalidad: Numero de variables “independientes” de un espacio • Coherencia: Objetivo general de la física como un programa de búsqueda de coherencia (de correlación, de causalidad, de interacción) • Espacios unidimensionales: El tiempo y la línea espacial.

21. Algunos conceptos abstractos importantes • Dimensionalidad: Numero de variables “independientes” de un espacio • Coherencia: Objetivo general de la física como un programa de búsqueda de coherencia (de correlación, de causalidad, de interacción) • Espacios unidimensionales: El tiempo y la línea espacial. • Medida en espacios unidimensionales: • Conteo de eventos periódicos (numero de oscilaciones, grano). • Probabilidad de extinción (exponenciales) • Concatenación de medidas (escaleo) • Medidas Relativas y Medidas absolutas (el interferómetro) • Reglas lineales (grano constante) o logarítmicas.

22. Programa de la Clase de Hoy • Dimensionalidad: Otras propiedades fundamentales de un espacio: METRICA y CARDINALIDAD • Coherencia: Funciones, como objetos que relacionan variables aparentemente independientes. • Espacios unidimensionales: Relación entre el tiempo y el espacio. Movimiento. El tiempo como referencia. • Medida en espacios unidimensionales: • Conteo de eventos periódicos (numero de oscilaciones, grano) y probabilidad de extinción (exponenciales) • Exponenciales y oscilaciones como formas canónicos del movimiento. Convergencia y equilibrio.

23. PLAN DE RUTA • Funciones y Cardinalidad: El numero de elementos, una primera relación establecida por una función entre dos conjuntos. • Funciones y Dimensionalidad: Aspectos generales de funciones del tiempo en el espacio (R -> R2) y del espacio en un escalar (por ejemplo la temperatura) • Formas canónicas del movimiento:Oscilaciones, exponenciales y puntos fijos. La fauna de soluciones ordenadas, estacionarias y no divergentes. • Espacios métricos:Como asignar una medida a una variedad de espacios relevantes. Cuantificar la similitud o diferencia de medidas experimentales en una funcion de distancia. Neuronas, genes, imágenes, caras y terremotos.

24. Funciones y Cardinalidad • Una función relaciona elementos entre dos conjuntos (A y B) • La función es inyectiva si dos elementos de A no van a parar a un mismo elemento de B:#(A) ≤ #(B) (A puede inyectarse en B) • La función es sobreyectiva si su imagen (todos los elementos que son función de alguien) corresponde a#(A) ≥ #(B) (A puede llenar B) • La función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva. Es decir si existe un mapeo “uno a uno”#(A) = #(B) (A es “equivalente” a B) • UNA PRIMER MEDIDA DE COHERENCIA ENTRE DOS ESPACIOS DETERMINADA POR UNA FUNCION ES LA DE CARDINALIDAD Sobreyectiva, no inyectiva Inyectiva, no sobreyectiva No sobreyectiva no inyectiva Biyectiva

25. Cardinalidad en Conjuntos Infinitos En análisis y en la gran parte de este curso trabajaremos con conjuntos continuos (y no discretos como en el ejemplo anterior) e infinitos. Algunos espacios infinitos relevantes (de dimensión 1) son: La Recta Real El Intervalo (I1) El Circulo (S1) Los Naturales 1 2 3 4 5 6 7 8 ∞ 1 2 3 4 5 6 7 ∞ 0 1 … … Discreto, No acotado Continuo No Acotado Continuo Acotado Continuo Acotado Sin Bordes

26. Son todos los infinitos igual de grandes? I. Hay más racionales que naturales?

27. 1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 ... 2/1 2/2 2/3 2/4 2/5 2/6 ... 3/1 3/2 3/3 3/4 3/5 ... 4/1 4/2 4/3 4/4 … 5/1 5/2 5/3 … 6/1 6/2 … 7/1 ... Son todos los infinitos igual de grandes? I. Los racionales NO SON MAS que los naturales: Q= NxN

28. Son todos los infinitos igual de grandes? II. Tal vez simplemente los infinitos son todos infinitos y, por lo tanto, igual de grandes: Hay más naturales o puntos en la recta?

29. Son todos los infinitos igual de grandes? I. Los puntos en I1 NO SON CONTABLES (i.e. son “mas” que los naturales) • r1 = 0 . 5 1 0 5 1 1 0 ... • r2 = 0 . 4 1 3 2 0 4 3 ... • r3 = 0 . 8 2 4 5 0 2 6 ... • r4 = 0 . 2 3 3 0 1 2 6 ... • r5 = 0 . 4 1 0 7 2 4 6 ... • r6 = 0 . 9 9 3 7 8 3 8 ... • r7 = 0 . 0 1 0 5 1 3 5 ... • DEMOSTRACION DE CANTOR • Suponemos que el intervalo [0,1] es infinito numerable. • Podríamos elaborar una secuencia (suryectiva) de los números, ( r1, r2, r3, ... ) • Los reales entre 0 y 1 pueden ser representados escribiendo sus decimales.

30. Son todos los infinitos igual de grandes? I. Los puntos en I1 NO SON CONTABLES (i.e. son “mas” que los naturales) • r1 = 0 . 5 1 0 5 1 1 0 ... • r2 = 0 . 4 1 3 2 0 4 3 ... • r3 = 0 . 8 2 4 5 0 2 6 ... • r4 = 0 . 2 3 3 0 1 2 6 ... • r5 = 0 . 4 1 0 7 2 4 6 ... • r6 = 0 . 9 9 3 7 8 3 8 ... • r7 = 0 . 0 1 0 5 1 3 5 ... • DEMOSTRACION DE CANTOR • Dada CUALQUIER función r, podemos construir un numero N(r) que no esté en la imagen de R, eligiendo para cada decimal un valor distinto al de la diagonal. • Por ejemplo el numero0,7256389… • Siendo la Diagonal:0,5140235 …

31. PLAN DE RUTA • Funciones y Cardinalidad: El numero de elementos, una primera relación establecida por una función entre dos conjuntos. • Funciones y Dimensionalidad: Aspectos generales de funciones del tiempo en el espacio (R -> R2) y del espacio en un escalar (por ejemplo la temperatura) • Formas canónicas del movimiento:Oscilaciones, exponenciales y puntos fijos. La fauna de soluciones ordenadas, estacionarias y no divergentes. • Espacios métricos:Como asignar una medida a una variedad de espacios relevantes. Cuantificar la similitud o diferencia de medidas experimentales en una funcion de distancia. Neuronas, genes, imágenes, caras y terremotos.

32. Funciones y Dimensionalidad • Formalmente la Cardinalidad de R y RN (n>1) es la misma y por lo tanto puede definirse una biyección entre ellas. • En la practica, las funciones de Rm en Rn suelen presentar cierta característica (por la conservación de la dimensionalidad) según si m < n, m = n o m > n. Curvas que llenan el plano (Peano, Hilbert) Funciones de R en R2: UN MARCO CONCEPTUAL UTIL PARA PENSAR ESTAS FUNCIONES ES LA IDEA DE INMERSION. f: t [x( t) , y(t)] A cada tiempo corresponde un punto en el plano. El conjunto de estos puntos (la imagen de la función, o trayectoria) define una curva que corresponde a la inmersión de t (que puede pertenecer a I1 o a R1) en el plano.

33. Inmersión del tiempo en el espacio: Trayectorias Notar que en la trayectoria (inmersión) del tiempo, se ha perdido la noción de temporalidad. No esta descrito en que orden temporal se recorrió esta trayectoria. El ejemplo canónico de tiro oblicuo: Función de Movimiento Tiempo (ms) Espacio,R2, (mm) 0 1000

34. Inmersión del tiempo en el espacio: Trayectorias Para resolver esto es necesario incorporar otra dimension, ya que la funcion corresponde a puntos en el espacio de [t, x(t), y(t)] es decir en R3. La tercera dimension puede representarse en una escala de color. El ejemplo canónico de tiro oblicuo: Función de Movimiento Tiempo (ms) Espacio,R3, (t,mm,mm) 0 1000

35. Inmersión del tiempo en el espacio: Trayectorias Una representacion equivalente pero menos inteligible. Relevancia de encontrar buenas representaciones: El ejemplo canónico de tiro oblicuo: Función de Movimiento Tiempo (ms) Espacio,R3, (t,mm,mm) 0 1000

36. Funciones y Dimensionalidad (II) Hemos visto hasta ahora: Funciones de R en R2: UN MARCO CONCEPTUAL UTIL PARA PENSAR ESTAS FUNCIONES ES LA IDEA DEINMERSION (curvas en R3). f: t [x( t) , y(t)] Funciones de R2 en R: DOS MARCO CONCEPTUALES UTILES PARA PENSAR ESTAS FUNCIONES SON:MAPA ESCALAR (temperatura, altura) representadas como superficies en R3 y PROYECCIONES (ej angulo) f:[x, y] T

37. Mapas Escalares: La anatomía de la función abs(xy) A lo largo de curvas En coordenadas polares Imagenes del mapa

38. PLAN DE RUTA • Funciones y Cardinalidad: El numero de elementos, una primera relación establecida por una función entre dos conjuntos. • Funciones y Dimensionalidad: Aspectos generales de funciones del tiempo en el espacio (R -> R2) y del espacio en un escalar (por ejemplo la temperatura) • Formas canónicas del movimiento:Oscilaciones, exponenciales y puntos fijos. La fauna de soluciones ordenadas, estacionarias y no divergentes. • Espacios métricos:Como asignar una medida a una variedad de espacios relevantes. Cuantificar la similitud o diferencia de medidas experimentales en una funcion de distancia. Neuronas, genes, imágenes, caras y terremotos.

39. Inmersión del tiempo en el espacio: Trayectoria Acotada en Tiempo Infinito En este ejemplo, la trayectoria es acotada porque para algún tiempo la partícula toca el piso a partir del cual cambia la física del problema: En este caso concreto la partícula se pega al piso. En muchos problemas es de interés estudiar el comportamiento para tiempos infinitos (tiempo no acotado o por lo menos tiempos “muy largos”. Una primer pregunta relevante es si la trayectoria correspondiente a este tiempo infinito es o no acotada. En el ejemplo del pingüino, en ausencia de piso, la trayectoria diverge (aunque en realidad, sin piso tampoco hay gravedad) Existen trayectorias acotadas para tiempos infinitos? El ejemplo canónico de tiro oblicuo:

40. Inmersión del tiempo en el espacio: Trayectoria Acotada en Tiempo Infinito Primer aproximación (equivocada) al problema:Monotonía. Si una función siempre crece o decrece entonces la trayectoria diverge (es decir no esta acotada) Contraejemplo x(t)=e-(t/150) Es estrictamente decreciente pero siempre positiva. Como se vería el grafico de esta función si se grafica los x correspondientes a los tiempos de 1000 a 2000 segundos?

41. Inmersión del tiempo en el espacio: Trayectoria Acotada en Tiempo Infinito Contraejemplo x(t)=e-(t/150) Es estrictamente decreciente pero siempre positiva. Se ve EXACTAMENTE IGUAL. La función e-(t/150) puede “leerse” como la concatenación de la siguiente operación: cada 150 segundos, divido por e. Nótese “la razón” de su invarianza en el tiempo.

42. Inmersión del tiempo en el espacio: Trayectoria Acotada en Tiempo Infinito Segunda aproximación (correcta) al problema: Extremos. Si el movimiento de una partícula esta dado por funciones [x(t),y(t)] la trayectoria esta acotada si estas funciones tienen máximo y mínimo (no infinito) es decir, si la función toma valores acotados de manera independiente de los valores de t. Algunas funciones acotadas son: Seno, Coseno, Exponencial(-t), 1/(1+t)

43. Posibles estados estacionarios: oscilaciones y puntos fijos Oscilan (y entre una y otra cambia el periodo) Convergen (y entre una y otra cambia el ritmo de convergencia)

44. Oscilaciones: X=[cos(t),sen(t)] Convergencia a un punto fijo: X= [e-(t/150), e-(t/150)] Las representaciones mas informativas.

45. Bases del Movimiento • Los puntos fijos y las oscilaciones son dos ingredientes canónicos del movimiento. • El estudio del movimiento (y muchos otros problemas dinámicos, es decir, que evolucionan en el tiempo) se descomponen en el estudio de estados transitorios y estados estacionarios. • Los estados estacionarios – como las oscilaciones o los puntos fijos- presentan cierta invarianza temporal. Oscilaciones y puntos fijos son además soluciones “ordenadas” y acotadas. • El movimiento de una bola en un billar es un ejemplo de solución estacionaria “no ordenada”. La posición de una galaxia es una solución (tal vez) estacionaria, ordenada y (tal vez) no acotada: • En la practica, uno suele ver (medir) los estados estacionarios (o de equilibrio).

46. PLAN DE RUTA • Funciones y Cardinalidad: El numero de elementos, una primera relación establecida por una función entre dos conjuntos. • Funciones y Dimensionalidad: Aspectos generales de funciones del tiempo en el espacio (R -> R2) y del espacio en un escalar (por ejemplo la temperatura) • Formas canónicas del movimiento:Oscilaciones, exponenciales y puntos fijos. La fauna de soluciones ordenadas, estacionarias y no divergentes. • Espacios métricos:Como asignar una medida a una variedad de espacios relevantes. Cuantificar la similitud o diferencia de medidas experimentales en una funcion de distancia. Neuronas, genes, imágenes, caras y terremotos.

47. Otras propiedades del espacio: Métrica El Plano El Intervalo (I1) El Circulo (S1) Los Naturales y 1 2 3 4 5 6 7 8 ∞ 0 1 x … D =abs(m-n) Dist(x2,x1) D = abs(x2-x1) D=abs(θ1 – θ2) D(a,a)=0; D(a,b) > 0 (a distinto de b) D(a,b) = D(b,a) D(a,c) < D(a,b) + D(b,c) D es cualquier función que satisface:

48. Dada la métrica, existen vecindades El Plano El Intervalo (I1) El Circulo (S1) Los Naturales y 1 2 3 4 5 6 7 8 ∞ 0 1 x … Dist(3,3) < 2 Dist(0.5) < 0.25 Dist(π) < π/2 dist(5) < 3 De lo abstracto a lo concreto. La métrica determina exactamente la posibilidad de medir (de establecer distancias y por ende similitudes y diferencias) entre los elementos del espacio. Es un problema importante de las ciencias naturales (objeto de investigación moderna) establecer una “buena” métrica para sus espacios.

49. Propiedades emergentes de la métrica: 1) Continuidad El Plano El Intervalo (I1) El Circulo (S1) Los Naturales y 1 2 3 4 5 6 7 8 ∞ 0 1 x … Dist(3,3) < 0.5 Dist(0.5) < 0.05 Dist(π) < π/5 dist(5) < 0.5 Un mundo sin vecinos (a distancia arbitrariamente pequeña) Mundos con vecinos arbitrariamente cerca  SE PUEDE HACER ANALISIS (Derivar … Integrar …)

50. Propiedades emergentes de la métrica: 2) Existencia de Bordes El Plano El Intervalo (I1) El Circulo (S1) Los Naturales y 1 2 3 4 5 6 7 8 ∞ 0 1 x … Dist(x) < 0.0001 Dist(0) < 0.00… Dist(x) < 0.0… dist(1) < 0.00… Un punto que no tiene (dentro del conjunto, ninguna vecindad, por pequenia que sea) Todo punto contiene una vecindad