数学思想方法及其教学设计

1. 数学思想方法及其教学设计 邵光华 宁波大学教师教育学院 Shaoguanghua@nbu.edu.cn

2. 一、数学思想方法概说 • 1.是对解题思路的概括和总结： • 数学思想方法是对数学知识的本质反映，是数学知识和方法的内在属性。(黄建明，2001).

3. 2.是数学知识的抽象和概括 • 数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学知识的发生、发展和应用的过程中，是数学的灵魂。(徐有标，1996)

4. 3.是指导思想和普适方法 • 数学思想方法是以具体数学内容为载体，又高于具体数学内容的一种指导思想和普遍适用的方法。（钱佩玲、邵光华）

5. 4 .数学思想的含义 现代汉语中，思想解释为客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果．《辞海》称思想为理性认识．《中国大百科全书》认为，思想是相对于感性认识的理性认识结果．可见，思想是认识的高级阶段，是事物本质的、抽象的、概括的认识． 由此推演，数学思想应是数学中的理性认识，是数学中高度抽象、概括的内容，是从具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它既蕴藏于数学知识内容之中，是数学知识的本质，又隐含于运用数学理论分析、处理和解决问题的过程之中． 数学思想既可以“泛指某些有重大意义的、内容比较丰富、体系相当完整的数学成果”，如微积分思想、概率统计思想、变换群下的不变量思想等，又包括对数学的起源与发展、数学的本质和特征、数学内部各分支各体系之间对立统一关系、数学与现实世界的关系及地位作用的认识，如常量与变量之间的辩证关系的认识等．

6. 读一段文字，有一个段落大意，读一篇课文，有一个中心思想，同样，一门学科也有一个大意和中心思想，如解析几何的中心思想，这种思想在意义上如同课文的中心思想，是建立在这门学科内容之上的，蕴涵在内容之中，经人们由内容精练概括出来的，而高于内容的东西．数学思想的一个层面就是这种思想．

7. 5 .数学方法 方法是指人们为了达到某种目的而采取的手段、途径和行为方式中所包含的可操作的规则或模式，具有程序性、规则性、可操作性、模式性、指向性等特征．方法因问题而生，因能解决问题而存． 数学方法是指在数学地提出问题、研究问题和解决问题（包括数学内部问题和实际问题）的过程中，所采用的各种手段或途径．

8. 6.区别联系 数学思想具有概括性和普遍性，而数学方法则具有操作性和具体性； 数学思想是内隐的，而数学方法是外显的； 数学思想比数学方法更深刻、更抽象地反映数学对象间的内在关系，是数学方法的进一步的概括和升华； 如果把数学思想看作建筑的一张蓝图，那么数学方法就相当于建筑施工的手段 数学思想和数学方法又具有相对性．同一个数学成就，当人们用于解决问题时，注重它的操作意义时，可能称之为方法；当人们评价其在数学体系中的价值和意义时，可能称之为思想． 我们认为，从数学教育的角度来看，区分数学思想与方法可能没有太大意义．哪个是方法，哪个是思想，非去做一番考证和辨析大可不必．与其如此，不如“珠联璧合”，统一称为数学思想方法．在概念区分上，我们认为应该“淡化形式，重视实质”．在不便区分是思想还是方法，或不必区分是思想还是方法时，就统称为数学思想方法．如化归思想方法、极限思想方法等．

9. 二、“数学教材中的思想方法” • 1.“思想、方法”两类说。 • 数学教材中隐含的数学思想包括:字母代数思想、方程思想、转化思想、数形结合思想、函数思想、分类思想、类比思想、数学模型思想、统计思想、集合与对应思想等。 • 数学教材中隐含的数学方法包括:①技巧型数学方法:配方法、消元法、公式法、换元法、参数法、坐标法、构造法、旋转法、平移法等;②逻辑型数学方法:分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等。

10. 2.“三类”说。 • 就目前共识的共有三类，即 • 策略类思想方法，包括抽象概括、方程与函数、化归、猜想等； • 逻辑类思想方法，包括分类、类比、归纳、反证、演绎、特殊化等； • 技巧类思想方法，包括换元、配方、待定系数、构造、参数、判别式等。

11. 3.“四大思想”说 • (1)数形结合思想:数学是研究世界空间形式和数量关系的科学，因而数学研究总是围绕着数与形进行的。“数”就是方程，函数不等式及表达式，代数中的一切内容;“形”就是图形、图象、曲线等。数形结合就是抓住数与形之间的本质上的联系，以‘.形”直观地表达数，以“数”精确的研究形。 • (2)分类讨论思想:就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，分类是以比较为基础的。 • (3)方程函数思想:就是用函数的观点、方法研究问题，将非函数问题转化为函数问题，通过对函数的研究，使问题得以解决。 • (4)转化化归思想:在教学研究中，使一种对象在一定条件下转化为另一种研究对象的数学思想称为转化思想。体现在数学解题中，就是将原问题进行变形，使之转化为我们所熟悉的或已解决的或易于解决的问题，就这一点来说，解题过程就是不断转化的过程。如消元法、换元法、图象法、待定系数法、配方法等。

12. 4.“层次”说 • 数学方法的层次: • 一是数学中科学认识的方法,例如抽象度分析法中的观察与实验等方法，逻辑思维方法中的比较与分类、归纳与类比等方法，以及非逻辑思维方法中的想象、直觉与顿悟等方法。 • 二是数学推理论证的重要方法。例如综合法与分析法，完全归纳与数学归纳法、演绎法、反证法与同一法等等。 • 三是数学中进行求解的重要方法，它包括结论探索和证明的主要方法等。例如数学建模法、关系映射反演方法、构造法等等。

13. 5.我们的分类 第一章 数学思想方法概论 第一节 数学思想与数学方法释义 第二节 数学思想与方法的教育内容与意义 第二章 数学家的数学思想方法论 第一节 米山国藏——《数学的精神思想和方法》 第二节 波利亚——《怎样解题》《数学与猜想》《数学的发现》 第三节 克莱因——《古今数学思想》 第四节 亚历山大洛夫——《数学——它的内容方法和意义》 第五节 弗赖登塔尔的数学与数学教育思想 第六节 国内著名数学家的数学与数学教育思想

14. 第三章 全域性数学思想 • 第一节 公理化思想 • 第二节 算法化思想 • 第三节 符号化思想 • 第四节 形式化思想 • 第五节 数学辨证思想 • 第六节 集合与对应思想

15. 第四章 局域性数学思想 第一节 数与运算思想 第二节 图形与几何思想 第三节 方程与函数思想 第四节 无穷与极限思想 第五节 微分与积分思想 第六节 概率与统计思想

16. 第五章 一般性数学方法 第一节 推理证明方法——数学说理论证的一般方法 第二节 合情推理方法——数学猜想发现的一般方法 第三节 数学抽象方法——数学化活动的一般方法 第四节 数学化归方法——数学解题的一般方法 第五节 数学模型方法——数学应用的一般方法 第六节 数形结合方法——数学转化的基本方法

17. 第六章 特殊性数学方法 第一节 分类讨论方法 第二节 逐次逼近法 第三节 反证法 第四节 数学归纳法 第五节 构造性方法 第六节 反例法

18. 特殊的数学结构： ◆数　　　◆形◆算法　　◆函数◆比　◆数据 或者属性： ◆线性的　◆随机的◆周期的　◆极大的 ◆对称的　◆近似的◆连续的　◆光滑的 或者行动： ◆表示　　◆建模◆控制　　◆实验 ◆证明　 　 ◆分类◆发现　　◆可视化 ◆应用 ◆计算 或者抽象： ◆符号　◆等价◆无穷　◆变化 ◆优化　◆相似性◆逻辑　◆递归 或者态度： ◆惊异　◆美◆意义　◆实在 或者行为： ◆运动　◆稳定性◆混沌　◆收敛 ◆共振　◆分岔　◆迭代　◆振动 或者一分为二： ◆离散对连续　 ◆有限对无穷◆算法的对存在的 ◆随机的对决定论的　◆精密的对近似的

19. 三、 数学思想与方法的教育意义 数学的逻辑结构的一个特殊的和最重要的要素就是数学思想，整个数学科学就是建立在这些思想的基础上，并按照这些思想发展起来的（例如，数学公理体系的思想，集合论思想等等）．……数学的各种方法是数学最重要的部分． ——弗利德曼

20. 数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和方法的发现密切联系着。数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和方法的发现密切联系着。 ——希尔伯特

21. 米山国藏——《数学的精神思想和方法》 无论对于科学的工作者、技术人员，还是数学教育工作者，最重要的是数学的精神、思想和方法，而数学知识只是第二位的． ——米山国藏

22. 波利亚的数学解题与猜想发现思想 完善的思想方法犹如北极星，使人们找到正确的道路． ——G·波利亚

23. 波利亚认为，中学数学教育的根本宗旨是教会年轻人思考，他把“解题”作为培养学生数学才能和教会他们思考的一种手段和途径．解题意味着要找到克服困难的方法, 找到绕过障碍的道路, 达到不能直接达到的目的．正如不可能找到一把能打开一切大门的神奇的钥匙一样，我们也不可能找到能解决一切问题的方法．只有通过模仿与实践才能学会解题．正如你想学会游泳你就得跳到水中去，你想成为解题能手, 那你就得去解题．良好的思维习惯不可能靠从外部输入获得, 只有靠练习才能获得．尽管如此，波利亚还是通过认真分析人们解决数学问题的思维过程,总结出了具有一般指导意义的解题思维程序表，这就是著名的“怎样解题表”． 弄清问题 拟定计划 实现计划 回顾

24. 数学猜想与合情推理 数学的发明、发现离不开猜想．所以，波利亚极力主张，“在数学的教学中必须有猜想的地位，教学必须为发明做准备，或至少给一点发明的尝试”．数学猜想一般来自与严密的论证推理完全不同的一种推理方法——合情推理． 合情推理是波利亚“启发法”(heuristic，即“有助于发现的”)中的一个推理模式．它是指观察、归纳、类比、实验、联想、猜测、矫正与调控等方法．波利亚很早就注意到“数学有两个侧面，……用欧几里得方式提出来的数学是一门系统的演绎科学；但在创造过程中的数学却是实验性的归纳科学．”因此，他明确提出有两种推理：论证推理与合情推理．论证推理用来确定数学知识，合情推理用来为猜想提供依据．波利亚这一思想实质上告诉了我们，数学思维不是纯“形式”的，它所涉及的不仅有公理、定理、定义及严格的证明，而且还有许许多多其它方面：推广、归纳、类推以及从具体情况中辨认出或者说抽取出某个数学概念，等等．

25. 论证推理有三段论推理模式等，波利亚通过具体例子的分析，在与论证推理模式的对比思考中，也提炼出了一些合情推理模式．论证推理有三段论推理模式等，波利亚通过具体例子的分析，在与论证推理模式的对比思考中，也提炼出了一些合情推理模式．

26. 论证推理模式 合情推理模式 三段论法的否定式 基本归纳模式Ⅰ A蕴含B B真又怎样？ A蕴含B B假 B真 A假 A更可靠 基本归纳模式Ⅰ： 意义：你正从事研究某个猜想A，不知道A是真还是假．你看出了A的某个结论B，即A蕴含B．当你研究A觉得腻了的时候，就想转而研究B．该模式表示：一个结论B的证实使猜想A变得更可靠．

27. A蕴含Bn+1 Bn+1与前面已证实的A的结论B1，B2，…，Bn相比是十分不同的 Bn+1为真 A更可靠 基本归纳模式Ⅱ： 意义：证实新结论Bn+1意义的大小随新结论与前面已证实的结论B1，B2，…，Bn间的差异大小而定．

28. A类似于B B真 A更可靠 B蕴含A B假 A较不可靠 A与B不相容 B假 A更可靠 类比推理模式： 意义：另一个和A类似的猜想B证明为真，使猜想A变得更可信． 启发模式： 意义：在作为猜想A的依据B被推翻时，对A的信任程度只能减小． 审定相抵触的猜想模式： 意义：当一个不相容的对抗猜想被推翻时，我们对原猜想的信任只能增加．

29. 波利亚通过对各种典型问题的细致剖析，提炼出四个常用的解题模式——可供仿照的楷模． Ⅰ．双轨迹模式 （1）把问题归结为要确定一个“点”． （2）把条件分成两部分，使得对每一部分，未知点都形成一个“轨迹”．这两个“轨迹”的交集，就是我们要求的“点”． Ⅱ．笛卡儿模式 （1）把问题归结为去确定若干个未知的量． （2）设想问题已解出来了，列出已知量和未知量间根据条件必须成立的一切关系式． （3）把某些关系式转化为方程，得出一个方程组． （4）将方程组通过消元化归成一个方程． Ⅲ．递归模式 （1）设法将要求的量归结为依次排列起来的某序列的一个项． （2）确定这序列的第一项或前面几项． （3）找出递推关系式，将序列一般项与它前面那些项联系起来． 这样，我们就可递推地把所有的项都找出来．

30. Ⅳ．叠加模式 （1）先处理一、两种特殊情形——我们把它称之为导引特款． （2）利用导引特款的叠加去得出一般问题的解． 例如，用叠加模式分析如下的差值问题的解题过程：给定三个不同的数x1，x2，x3，和另外三个数y1，y2，y3，求一个次数最低的多项式F(x)，使满足 F(x1) = y1，F(x2) = y2，F(x3) = y3． 导引特款Ⅰ：“求次数最低的多项式f(x)，使f(x1) = 1，f(x2) = 0，f(x3) = 0” 导引特款Ⅱ：“求次数最低的多项式g(x)，使g(x1) = 0，g(x2) = 1，g(x3) = 0”； 导引特款Ⅲ：“求次数最低的多项式h(x)，使h(x1) = 0，h(x2) = 0，h(x3) = 1”． 叠加：你能把它们组合起来去得出一般情形的解吗？我们发现有关系： F(x) = y1f(x) + y2g(x) + y3h(x)． “你能一眼看出来，F(x)满足条件F(xi) = yi (i= 1，2，3 )吗？”

31. 教师十诫： 第一，对自己的科目要有兴趣． 第二，熟知自己的科目． 第三，要懂得学习的途径：学习任何东西的最佳途径就是靠自己去发现． 第四，要观察你的学生的脸色，弄清楚他们的期望和困难，把自己置身于他们之中． 第五，不仅要教给学生知识，并且要教给他们“才智”，思维的方式，有条不紊的工作习惯． 第六，要让学生学习猜测． 第七，要让学生学习证明． 第八，要找出手边题目中那些对解后来题目有用的特征——即设法去揭示出隐藏在眼前具体情形中的一般模式． 第九，不要立即吐露你的全部秘密——让学生在你说出来之前先去猜——尽量让他们自己去找出来． 第十，启发问题，而不要填鸭式地硬塞给学生接受．

32. 四、公理化思想 任何真正的科学都始于原理，以它们为基础，并由之而导出一切结果来． ——亚里士多德 自欧几里得以来，要使一个理论公理化就是意指通过选取某些命题和从这些命题进一步演绎出一些命题来实现的；如果作出的系统是完全的，那么在通常情况下这理论中所断定的全部语句都应该同样是可以被推演出来的． ——C．帕森 公理化的步骤在于把逻辑形式同现实、同实际的直观的内容严格分开，……公理是人类精神的自由创造． ——爱因斯坦

33. 在一个数学理论体系中，我们尽可能少地选取原始概念和不加证明的一组公理，以此为出发点，利用纯逻辑推理的规则，把该理论体系建立成一个演绎系统，这样一种构建理论体系的思想就是公理化思想．在一个数学理论体系中，我们尽可能少地选取原始概念和不加证明的一组公理，以此为出发点，利用纯逻辑推理的规则，把该理论体系建立成一个演绎系统，这样一种构建理论体系的思想就是公理化思想．

34. 公理是对诸基本概念相互关系的规定．这些规定是合理的，不互相矛盾的，也是不多不少的，即公理的选取应符合三条要求：公理是对诸基本概念相互关系的规定．这些规定是合理的，不互相矛盾的，也是不多不少的，即公理的选取应符合三条要求： （1）相容性．公理系统的相容性,亦称协调性或无矛盾性，是指同一系统中的公理,不能相互矛盾． 任何一组公理，层出不穷，不可能逐一考察其中有没有相互矛盾的命题；另外，即使一时推不出矛盾，也不能断定将来什么时候不会出现矛盾．如果它能够成为具有数学意义的公理系统，一定要符合相容性,这是公理系统的最基本的要求．事实上,根据逻辑知识,P∧┐P是一个恒假命题．对于任意一个命题，(P∧┐P)→Q是一个恒真命题．因此，如果一个公理系统有矛盾，不论这个矛盾是否明显，但最终从这个公理系统能推导出十分明显的两个相互矛盾的命题R与┐R，从而也就可以导出任意命题（为真）．显然，这样的公理系统难以帮助人们认识现实世界的数量关系与空间形式，因而没有任何实际价值． 然而，要判断一个公理体系的公理是否具有相容性并非易事．一般说来，由公理出发推导出的命题因此，为了证明公理系统的相容性，常用模型的方法，即寻找抽象公理的一个具体模型．如果模型中的具体关系之间没有矛盾，那么，公理系统就符合相容性要求．所以说，公理系统的相容性是相对意义下的相容性．

35. （2）独立性．公理系统的独立性，是指公理系统中的每个公理都不能由其它公理用逻辑推导的方法导出，因为一个公理如果可作为定理推证出来，就没有列为公理的必要了．（2）独立性．公理系统的独立性，是指公理系统中的每个公理都不能由其它公理用逻辑推导的方法导出，因为一个公理如果可作为定理推证出来，就没有列为公理的必要了． 公理系统具有独立性，保证了公理系统尽可能的简洁．从这个意义上来说，具有独立性的公理系统是极小的，即要求公理系统中的公理数目尽可能的少，不允许出现多余的公理．

36. （3）完备性．公理系统的完备性要求，常常通俗地说成，要保证某一数学分支的全部命题都能从这一组公理推导出来，也就是公理应足够地多．所以，从这个意义上讲，公理系统应该是极大的．可以想象，一个公理系统中的公理愈少，则选取它的模型的自由度就愈大，一个公理系统中的公理愈多，则适合它的模型越少．就是说，当我们不断地把一个公理系统扩大（当然要求加入的新公理对于原有的公理来说保有独立性和矛盾性）的时候，则能成为公理系统的模型的种类就越来越少，直至不用“再加”，系统完备，而模型也唯一了．基于此，一个公理系统的完备性概念可以确切地叙述为：如果已知的公理系统的所有的模型都是互相同构的，则该系统称为完备的．（3）完备性．公理系统的完备性要求，常常通俗地说成，要保证某一数学分支的全部命题都能从这一组公理推导出来，也就是公理应足够地多．所以，从这个意义上讲，公理系统应该是极大的．可以想象，一个公理系统中的公理愈少，则选取它的模型的自由度就愈大，一个公理系统中的公理愈多，则适合它的模型越少．就是说，当我们不断地把一个公理系统扩大（当然要求加入的新公理对于原有的公理来说保有独立性和矛盾性）的时候，则能成为公理系统的模型的种类就越来越少，直至不用“再加”，系统完备，而模型也唯一了．基于此，一个公理系统的完备性概念可以确切地叙述为：如果已知的公理系统的所有的模型都是互相同构的，则该系统称为完备的．

37. 五、算法化思想 算法是计算的处方，它出现在数学的每一个角落，甚至通常小学中算术的算法从当代的数学观点看，也有新的含义．它与其说是强调去掌握特殊算法——这些现在主要由计算器或计算机来执行——学校数学更强调算法的更基本的属性（例如速度、有效性、敏感性），这些对于在计算机时代更高明地使用数学是必不可少的，学习算法的思考构成当代的数学能力． ——林恩·阿瑟·斯蒂恩 对数学来说算法具有极大的重要性，代数、微积分、概率中都有算法．当前数学的强烈趋势就是盛行算法化． ——弗赖登塔尔

38. 算法化思想与公理化思想相对，公理化是针对一个理论体系进行系统整理而使之逻辑化的思想，而算法化常指对一类问题进行解决处理的思想，就是将问题的解决办法表示成可机械操作执行的步骤的思想．公理化思想注重演绎推理证明，而算法化思想注重程序操作运算．算法化直接导致机械化．算法化思想与公理化思想相对，公理化是针对一个理论体系进行系统整理而使之逻辑化的思想，而算法化常指对一类问题进行解决处理的思想，就是将问题的解决办法表示成可机械操作执行的步骤的思想．公理化思想注重演绎推理证明，而算法化思想注重程序操作运算．算法化直接导致机械化．

39. 算法（algorithm）概念 关于什么是算法，界说不一．中国大百科全书数学卷关于算法是这样描述的：在古代，算法指一种运算或计算，最初是指对自然数的计算如加减乘除等．后来数的概念推广了，运算的概念也推广成函数，算法也相应地推广为对任何一种函数的计算．所以，广义地说，算法是指为解决任意一个问题时所作的一种处理过程．自古以来，对算法赋予了一种要求——能行性．因此，现在所谓算法是指对任何一个问题所作的能行性的处理．前苏联数学家编篡的《数学百科全书》把算法描述为“定义计算过程的一组详细的指令”，它开始于（给定的算法的一定数量的可能输入中的）一个任意输入，且其目的在于得到一个完全由输入和指令决定的结果，其中每一条指令表示一个或多个操作． 美国数学及其应用联合会（COMAP）编写的《数学的原理与实践》中把对一个问题的算法看成是“解决该问题的程序步骤的一个概要说明，这一程序步骤必须是确定的——各步骤的本质和次序被明确清楚地加以描述；有效的——该程序步骤给出这一问题的正确解；有限性——该程序在有限步之后中止．”

40. 我国现行大学数据结构教材中关于算法的描述是：“一个算法是规则的有穷集合，这些规则为解决某一特定类型问题规定了一个运算序列．”而中学数学教材中不同版本描述也不同，如我国现行大学数据结构教材中关于算法的描述是：“一个算法是规则的有穷集合，这些规则为解决某一特定类型问题规定了一个运算序列．”而中学数学教材中不同版本描述也不同，如 人教A版： “算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤” B版：算法可以理解为由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或者看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤或序列能够解决一类问题． 不论算法表面上如何描述，其核心思想是相同的——可用于机械性地解决问题的确定程序或步骤，根据算法解决问题时不需要任何“智慧”，只要照着做就可以．所以，计算机能够执行算法．

41. 算法有广义和狭义之理解．广义的算法概念就是解决某一特定问题或一类同质同型问题循序渐近的方法步骤，尤指一种为在有限步骤内解决问题而建立的可重复应用的计算方法步骤，如果按照这个方法步骤一步步机械地执行，便可得到问题的解．从这个意义上讲，“算法是指完成一项任务所需要的具体步骤和方法的描述”．根据这一理解，上至各种复杂的数学计算法如欧几里得算法，下至日常生活中的一些活动都可看作算法，如在自动取款机上如何取款就可表述为一个算法——一系列步骤，按照这些步骤一步步操作就可以取出款来．甚至可称“菜谱是做菜肴的算法，空调说明书是空调使用的算法”．狭义的算法是指数学领域中的算法，即利用数学工具解决问题的算法，而且这种算法能够通过设计程序由计算机实现．此处，我们局限于数学上的算法理解，比如解方程的算法，函数求值的算法，作图问题的算法，等等．当然，算法不只是单纯的计算，而是指为了解决一整类实际或科学问题而设计或概括出来的、带有一般性的、更广泛的一类操作方法算法有广义和狭义之理解．广义的算法概念就是解决某一特定问题或一类同质同型问题循序渐近的方法步骤，尤指一种为在有限步骤内解决问题而建立的可重复应用的计算方法步骤，如果按照这个方法步骤一步步机械地执行，便可得到问题的解．从这个意义上讲，“算法是指完成一项任务所需要的具体步骤和方法的描述”．根据这一理解，上至各种复杂的数学计算法如欧几里得算法，下至日常生活中的一些活动都可看作算法，如在自动取款机上如何取款就可表述为一个算法——一系列步骤，按照这些步骤一步步操作就可以取出款来．甚至可称“菜谱是做菜肴的算法，空调说明书是空调使用的算法”．狭义的算法是指数学领域中的算法，即利用数学工具解决问题的算法，而且这种算法能够通过设计程序由计算机实现．此处，我们局限于数学上的算法理解，比如解方程的算法，函数求值的算法，作图问题的算法，等等．当然，算法不只是单纯的计算，而是指为了解决一整类实际或科学问题而设计或概括出来的、带有一般性的、更广泛的一类操作方法

42. 算法又有特殊算法和通用算法之分．针对某一具体问题而设计的算法称为特殊算法，针对一类问题设计的算法称为通用算法．例如，“分油问题”：一个大油桶装8kg油，还有两个空桶，一个能装5kg油，另一个能装3kg油，请将8kg油平均分成两份．算法又有特殊算法和通用算法之分．针对某一具体问题而设计的算法称为特殊算法，针对一类问题设计的算法称为通用算法．例如，“分油问题”：一个大油桶装8kg油，还有两个空桶，一个能装5kg油，另一个能装3kg油，请将8kg油平均分成两份． 下面就是“分油问题”的一个特殊算法： ①将8kg油倒入3kg桶中3kg油； ②将3kg油倒入5kg桶中； ③第二次将8kg桶中5kg油第二次倒入3kg桶中，剩2kg油； ④第二次将3kg桶中3kg油倒入5kg桶中，剩1kg油； ⑤将5kg桶中5kg油倒入8kg桶中，得7kg油； ⑥将3kg桶中所剩1kg油倒入5kg桶中； ⑦将8kg桶中7kg油倒入3kg桶中3kg油，8kg的桶中剩4kg油； ⑧将3kg桶中3kg油倒入5kg桶中，得4kg油； ⑨两桶各4kg油． 通常我们说算法能解决一类问题，并能重复使用，是对通用算法而言的．

43. 数学公式组成一大类通用算法．如方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式：数学公式组成一大类通用算法．如方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式： x1，2= 是一个求方程实数根的简单算法，可分解成小步描述为： S1计算△=b2-4ac； S2若△<0，则输出“方程无实根”； S3 若△=0，则输出方程的根x1=x2=； S4 △>0，则输出方程的根x1，2=

44. 每个算法设计都是基于一定的算理，没有算理难以设计算法．如公式算法的算理就是公式本身，没有公式就难以设计出这样的算法．每个算法设计都是基于一定的算理，没有算理难以设计算法．如公式算法的算理就是公式本身，没有公式就难以设计出这样的算法．

45. 并不是每个问题都有算法．例如，把两条直角边的长度都为1的直角三角形的斜边长度表示为整数的比值的算法就不存在．并不是每个问题都有算法．例如，把两条直角边的长度都为1的直角三角形的斜边长度表示为整数的比值的算法就不存在． 单纯靠算法我们并不能解决所有的问题．比如π的小数点后面是否存在1000个连续的1？要回答这个问题，必须不停地计算π，但是π是无限不循环小数，如果算到某一位发现了1000个连续的1，我们可以说命题成立；如果该命题确实不成立，我们却无法通过计算证明该命题不成立，必须永远地算下去！这表明，单靠算法，我们难以判断这个命题的真假！

46. 算法是科学条理地做事情的操作程序，所以，它具有确定性、有效性、有限性等特性．算法是科学条理地做事情的操作程序，所以，它具有确定性、有效性、有限性等特性．

47. 所谓确定性（明确性）是指算法下一步应执行的步骤必须明确而具体，或者由规则直接确定，或者由规则和上一步的结果确定，而不需要计算者临时动脑筋．给出的数值也必须是确定的，不能出现诸如“比m大一些或比n小一点儿”之类的无法确定数值的表达方式等．所谓确定性（明确性）是指算法下一步应执行的步骤必须明确而具体，或者由规则直接确定，或者由规则和上一步的结果确定，而不需要计算者临时动脑筋．给出的数值也必须是确定的，不能出现诸如“比m大一些或比n小一点儿”之类的无法确定数值的表达方式等． 所谓有效性（可行性）是指算法应有明确的步骤引导计算一步一步地进行，即每一步对于利用算法解决问题的人或计算机来说都是可读的、可执行的，并且能够得到最终结果．由于可行性要求，算法必须具有离散性和机械性． 离散性是指算法的出发点所给的原始数据（即输入，例如自变元的值），以及算法的终点所求的结果数据（即输出，例如函数的值），必须可用一些符号表示，而这些符号又可以明确地分解为有限多个不可再分解的符号，后面这些不能再分解的符号叫做字母，由字母所组成的符号叫做该字母表上的字．算法的离散性要求其输入与输出必须可以表成某个固定的字母表上的字．因此，例如，不能以某条曲线作为输入或输出．所谓机械性主要是指算法的变换规则必须是非常简单而且机械的，不须依靠人的聪明才智，甚至无须人们去领会理解，连最笨的人甚于机器都能执行，而且执行的结果都是一样的．

48. 所谓有限性（可达性）是指算法应由有限步组成，在有限的步骤内结束，或者说是在执行了有穷步的运算后终止，并给出计算结果．也就是说，算法的处理过程必须可以明确地分解成有限多个不能再分解的步骤，算法过程仅由这些有限多个步骤组成．例如，不能用画曲线作为算法的处理过程，因为曲线不能分解成有限多个步骤．为此，算法必须有一组变换规则或产生式来规定这些步骤．另外，算法结束必须用明确的结束条件来确定．如果算法不给出结束条件或给出的结束条件尚未实现，则算法应继续进行不能停止．

49. 算法和解法也是有区别的．设计算法是为了解决问题，如果要解决的问题是数学问题，那么为解决这个数学问题设计的算法就应该是该问题的一种解法．反过来，一种解法，如果能够按确定的顺序一步步地解出结果的话，它就应该是一种算法．比如，“二次三项式因式分解”是这样一个数学问题:给定一个二次三项式，如果能够进行分解，将它分解为一次因式的乘积，否则就确定其不能分解(这里的因式分解指实数域上的因式分解)．对此问题，十字相乘法就不是它的算法．因为十字相乘法要将常数项写成两个数的乘积，并使这两个数之和为一次项系数，而常数项分解法常常是不唯一的，我们使用十字相乘法需要根据经验或者试验，很难给出一定的顺序，最关键的是当十字相乘法失效的时候，我们并不能判定该二次三项式到底能不能分解．尽管我们能将问题分解为方程组求解问题，但算法求解往往是近似而不是精确解，即便根据转化后的方程组的解的情况也不能断定能否分解．有人说“求根法就是‘二次三项式因式分解’的算法”，理由是：当二次方程ax2+bx+c=0有根x1，x2时，二次三项式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)；当二次方程ax2+bx+c=0没有实根时，就可以判定二次三项式ax2+bx+c不能分解．求根法能够按确定的顺序一步步算，并总能给出结果，所以它是算法．其实这里模糊了因式分解的含义和求实根算法的近似性，如在实数范围内用求根法分解x2-2，不论你怎样设计算法，都只能是近似的分解，永远都不是通常意义上的因式分解.所以，严格说来，“求根法就是‘二次三项式因式分解’的算法”的说法是不对的．算法和解法也是有区别的．设计算法是为了解决问题，如果要解决的问题是数学问题，那么为解决这个数学问题设计的算法就应该是该问题的一种解法．反过来，一种解法，如果能够按确定的顺序一步步地解出结果的话，它就应该是一种算法．比如，“二次三项式因式分解”是这样一个数学问题:给定一个二次三项式，如果能够进行分解，将它分解为一次因式的乘积，否则就确定其不能分解(这里的因式分解指实数域上的因式分解)．对此问题，十字相乘法就不是它的算法．因为十字相乘法要将常数项写成两个数的乘积，并使这两个数之和为一次项系数，而常数项分解法常常是不唯一的，我们使用十字相乘法需要根据经验或者试验，很难给出一定的顺序，最关键的是当十字相乘法失效的时候，我们并不能判定该二次三项式到底能不能分解．尽管我们能将问题分解为方程组求解问题，但算法求解往往是近似而不是精确解，即便根据转化后的方程组的解的情况也不能断定能否分解．有人说“求根法就是‘二次三项式因式分解’的算法”，理由是：当二次方程ax2+bx+c=0有根x1，x2时，二次三项式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)；当二次方程ax2+bx+c=0没有实根时，就可以判定二次三项式ax2+bx+c不能分解．求根法能够按确定的顺序一步步算，并总能给出结果，所以它是算法．其实这里模糊了因式分解的含义和求实根算法的近似性，如在实数范围内用求根法分解x2-2，不论你怎样设计算法，都只能是近似的分解，永远都不是通常意义上的因式分解.所以，严格说来，“求根法就是‘二次三项式因式分解’的算法”的说法是不对的．

50. 六、数学辩证思想 数学中的转折点是笛卡儿的变数．有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了． ——恩格斯 矛盾无处不在，数学中充满着矛盾．有数与形、有限与无穷、必然与或然、抽象性与多用性的矛盾，也有已知与未知、常与变、直与曲、连续与离散等矛盾，数学中处理这些矛盾所体现的思想方法我们称为数学辩证思想方法．华罗庚先生对前四种矛盾进行了分析，后面我们也会对这些矛盾做适当说明，这里我们只对其他几对矛盾进行分析．