实验十七微分方程和微分方程组的求解

实验十七微分方程和微分方程组的求解

一、实验目的 • 熟悉MATLAB软件中关于求解微分方程和微分方程组的各种命令，掌握利用MATLAB软件进行微分方程和微分方程组的求解。

二、相关知识 • 在MATLAB中，由函数dsolve()解决微分方程（组）的求解问题，其具体格式如下： • X=dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…) • 函数dsolve用来解符号微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解。 • 例1：求解微分方程的MATLAB程序为：dsolve('Dy=1/(x+y)','x')，注意，系统缺省的自变量为t，因此这里要把自变量写明。

二、相关知识 • 结果为：-lambertw(-C1*exp(-x-1))-x-1 • 其中：Y=lambertw(X)表示函数关系Y*exp(Y)=X。 • 例2：求解微分方程。 • 解：先把方程改写为 • 例1：求解微分方程的MATLAB程序为： dsolve('Dy=1/(x+y)','x')，注意，系统缺省的自变量为t，因此这里要把自变量写明。

结果为：-lambertw(-C1*exp(-x-1))-x-1 • 其中：Y=lambertw(X)表示函数关系Y*exp(Y)=X。 • 例2：求解微分方程。 • 解：先把方程改写为 • 然后编写MATLAB程序： • Y2=dsolve('D2y-Dy^2/y=0', 'x') • 结果为： • Y2 = exp(C1*x)*C2

例3：求微分方程组 • 通解的MATLAB程序为： • [X,Y]=dsolve('Dx+5*x+y=exp(t),Dy-x-3*y=exp(2*t)','t') • 然后编写MATLAB程序： • Y2=dsolve('D2y-Dy^2/y=0', 'x') • 结果为： • Y2 = exp(C1*x)*C2

例3：求微分方程组 • 通解的MATLAB程序为： • [X,Y]=dsolve('Dx+5*x+y=exp(t),Dy-x-3*y=exp(2*t)','t') • 例4：求微分方程组 • 特解的MATLAB程序为： • [X,Y]=dsolve('Dx+2*x-Dy=10*cos(t), Dx+Dy+2*y=4*exp(-2*t)','x(0)=2','y(0)=0')

以上这些都是微分方程的精确解法，也称为微分方程的符号解。我们知道，有大量的微分方程虽然从理论上讲，其解是存在的，但我们却无法求出其解析解，此时，我们需要寻求方程的数值解，在求微分方程数值解方面，MATLAB具有丰富的函数，我们将其统称为solver，其一般格式为：以上这些都是微分方程的精确解法，也称为微分方程的符号解。我们知道，有大量的微分方程虽然从理论上讲，其解是存在的，但我们却无法求出其解析解，此时，我们需要寻求方程的数值解，在求微分方程数值解方面，MATLAB具有丰富的函数，我们将其统称为solver，其一般格式为： • 例4：求微分方程组 • 特解的MATLAB程序为： • [X,Y]=dsolve('Dx+2*x-Dy=10*cos(t), Dx+Dy+2*y=4*exp(-2*t)','x(0)=2','y(0)=0')

以上这些都是微分方程的精确解法，也称为微分方程的符号解。我们知道，有大量的微分方程虽然从理论上讲，其解是存在的，但我们却无法求出其解析解，此时，我们需要寻求方程的数值解，在求微分方程数值解方面，MATLAB具有丰富的函数，我们将其统称为solver，其一般格式为：以上这些都是微分方程的精确解法，也称为微分方程的符号解。我们知道，有大量的微分方程虽然从理论上讲，其解是存在的，但我们却无法求出其解析解，此时，我们需要寻求方程的数值解，在求微分方程数值解方面，MATLAB具有丰富的函数，我们将其统称为solver，其一般格式为： • [T,Y]=solver(odefun,tspan,y0) • 该函数表示在区间tspan=[t0,tf]上，用初始条件y0求解显式常微分方程。 • solver为命令ode45，ode23，ode113，ode15s，ode23s，ode23t，ode23tb之一，这些命令各有特点。我们列表说明如下：

[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0) • 该函数表示在区间tspan=[t0,tf]上，用初始条件y0求解显式常微分方程。 • solver为命令ode45，ode23，ode113，ode15s，ode23s，ode23t，ode23tb之一，这些命令各有特点。我们列表说明如下：

odefun为显式常微分方程中的 • tspan为求解区间，要获得问题在其他指定 • 点上的解，则令 • （要求单调）， • y0初始条件。

例5：求解微分方程， ， • 的MATLAB程序如下： • fun=inline('-2*y+2*x*x+2*x')；[x,y]=ode23(fun,[0,0.5],1) • 结果为： • x = 0,0.0400,0.0900,0.1400,0.1900,0.2400,0.2900,0.3400,0.3900,0.4400,0.4900,0.5000 • y = 1.0000,0.9247,0.8434,0.7754,0.7199,0.6764,0.6440,0.6222,0.6105,0.6084,0.6154,0.6179

例6：求解微分方程的 • 解，并画出解的图形。 • 分析：这是一个二阶非线性方程，用现成的方法均 • x = 0,0.0400,0.0900,0.1400,0.1900,0.2400,0.2900,0.3400,0.3900,0.4400,0.4900,0.5000 • y = 1.0000,0.9247,0.8434,0.7754,0.7199,0.6764,0.6440,0.6222,0.6105,0.6084,0.6154,0.6179

例6：求解微分方程的 • 解，并画出解的图形。 • 分析：这是一个二阶非线性方程，用现成的方法均不能求解，但我们可以通过下面的变换，将二阶方程化为一阶方程组，即可求解。 • 令：，，，则得到：

接着，编写vdp.m如下： • function fy=vdp(t,x) • fy=[x(2);7*(1-x(1)^2)*x(2)-x(1)]; • 再编写m文件sy7_6.m如下： • 分析：这是一个二阶非线性方程，用现成的方法均不能求解，但我们可以通过下面的变换，将二阶方程化为一阶方程组，即可求解。 • 令：，，，则得到：

接着，编写vdp.m如下： • function fy=vdp(t,x) • fy=[x(2);7*(1-x(1)^2)*x(2)-x(1)]; • 再编写m文件sy7_6.m如下： • y0=[1;0] • [t,x]=ode45(@vdp, • [0,40],y0); • y=x(:,1);dy=x(:,2); • plot(t,y,t,dy)

三、实验内容 • 1．利用MATLAB求常微分方程的初值问题 • ，的解。 • 2．利用MATLAB求常微分方程的初值问题 • ，，的解。 • 3．利用MATLAB求微分方程的解。 • 4．利用MATLAB求微分方程组 • 的特解。

5．求解微分方程， ， • ，的特解，并作出解函数的曲 • 线图。 • 6．完成实验报告。

实验十七 微分方程和微分方程组的求解