E N D
1. Biochemische Reaktionen
2. Gliederung
Einfhrung
Das Massenwirkungsgesetz
Enzyme
3.1 Enzymkinetik
3.2 Modelle
3.2.1 Gleichgewichtsapproximation
3.2.2 Quasi Stationarittsapproximation
3.3 Enzyminhibition
3.3.1 kompetitive Inhibition
3.3.2 allosterische Inhibition
3.3.3 Kooperativitt
3.4 Das Monod Wyman Modell
4. Glykolyse und Glykolytische Oszillation
3. 1. Einfhrung
4. Reaktionsgeschwindigkeit
Die Geschwindigkeit, mit der eine reagierende Substanz verbraucht oder mit der ein Reaktionsprodukt gebildet wird
Sie ist abhngig von:
Zahl der Zusammenste pro Zeiteinheit
Anteil mit ausreichender Kollisionsenergie
Anteil mit geeigneter Orientierung
Geschwindigkeitskonstante
durch das Symbol k darstellbar
Stellt die Proportionalitt der Reaktionsgeschwindigkeit v zu den Konzentrationen der Substrate dar
v = k1[A] Reaktion 1. Ordnung
v = k2[A][B] Reaktion 2. Ordnung
abhngig von der geometrischen Struktur und Gre der reagierenden Molekle & der Temperatur
Reaktionsrate
Sie gibt an, wie oft die chemischen Reaktionen pro Zeiteinheit im
Einheitsvolumen stattfinden:
Sie ist somit proportional zur Anzahl der Zusammenste pro Zeiteinheit zwischen Edukten
1. Einfhrung
5.
Reaktion 1. Ordnung
A ? B
die Reaktionsgeschwindigkeit ist proportional zur Konzentration von A
Reaktion 2. Ordnung
A + B ? C + D
die Reaktionsgeschwindigkeit hngt von der Konzentration zweier Reaktionsteilnehmer abhngt
1. Einfhrung
6. 2. Das Massenwirkungsgesetz
A + B ??? C
Reaktionsrate:
? Massenwirkungsgesetz (MWG)
Die Reaktionskonstante verdoppelt sich nicht zwingend mit der Verdoppelung der Konzentration eines Substrats
7. A + B C
die Konzentrationsnderung von A fr die Reaktion lautet:
= k-[C] k+[A][B]
im Gleichgewichtszustand ndern sich die Konzentrationen nicht, es gilt:
[C]eq = [A]eq[B]eq
sind A und C an keinen weiteren Reaktionen beteiligt,
so gilt [A] + [C] = A0 (const.)
? [C] = A0
Keq = k-/k+ heit Gleichgewichtskonstante
2. Das Massenwirkungsgesetz
8. 2. Das Massenwirkungsgesetz
Keq hat keine feste Einheit, sie richtet sich nach der jeweiligen Reaktionsgleichung
Keq <<1 ? hohe Affinitt zwischen A und B
[B] = Keq: die Hlfte von A liegt in gebundener Form vor
9. 2. Das Massenwirkungsgesetz
Das MWG gilt fr reversible Reaktionen, die den
Gleichgewichtszustand erreicht haben.
Es gibt den Zusammenhang zwischen den
Aktivitten der Edukte und der Produkte einer
Reaktion im chemischen Gleichgewicht an.
10. 3. Enzyme
http://www.webmed.ch/Archiv_akuelle_Meldungen/Archiv_Bilder/catalase2%20(Enzym).gif
11. 3.1. Enzymkinetik
Enzyme sind
die am hchsten spezialisierten Proteine
hochspezifisch
Katalysatoren biologischer Reaktionen
fr sie gilt:
sie arbeiten unter milden Bedingungen in wssrigen Lsungen
sie helfen anderen Moleklen, sich in ein Produkt umzuwandeln, sie selbst verndern sich nicht
Wichtigste Eigenschaften: Genauigkeit und katalytische Wirkung
12. Sie setzen die Aktivierungsenergie herab und beschleunigen so die Bildung des Produkts
bis zu 10Mio mal schnellere Reaktionen
Enzyme folgen nicht direkt dem MWG, die Reaktionsrate steigert sich mit der Enzymkonzentration nur in einem gewissen Umfang, bis die maximale Reaktionsgeschwindigkeit erreicht ist
3.1 Enzymkinetik
13. 3.2. Modelle S + E C P + E
Enzyme beschleunigen die Hin- und Rckreaktion
Es gibt zwei hnliche Arten, die Gleichung zu bestimmen
Die Gleichgewichtsapproximation
(Michaelis und Menten)
Quasi Steady State Approximation
(Briggs und Haldane)
14. s = [S], c = [C], e = [E] und p = [P]
= k-1c - k1se
= (k-1 + k2)c k1se
= k1se (k2 + k-1)c
= k2c
e + c = e0 3.2. Modelle
15. 3.2.1 Die Gleichgewichtsapproximation
S + E C P + E
Annahme: das Substrat seht unmittelbar im Gleichgewicht mit dem Komplex ? k1se =k-1c
mit e + c = e0 ergibt sich: (Ks = k-1/k1)
die Reaktionsrate ist gegeben durch
Vmax= k2e0 ist die max. Reaktionsgeschwindigkeit
wird erreicht, wenn sich alle Enzyme mit dem Substrat S im Komplex befinden
16. 3.2.1 Die Gleichgewichtsapproximation
bei s = Ks hat die Reaktionsrate die Hlfte ihres Maximums erreicht
Wichtig: die Gleichung k1se = k-1c ist nicht immer gltig, denn nach der Gleichung = k-1c - k1se wrde das Substrat nicht verbraucht werden und kein Produkt entstehen
17. 3.2.2 Quasi Stationarittsapproximation Annahme: die Bildung und der Zerfalls des Komplexes stehen zu jeder Zeit im Gleichgewicht
? dc/dt 0
Einfhrung dimensionsloser Variablen
s = x = t = k1e0t
? = ? = a =
= -s + x (s +a)
= s x (s +?)
18. = -s + x(s +a) = s - x(s +?)
= 0 ? = 0
II
Quasi - Stationarittsapproximation:
die rechte Seite der Gleichung wird Null gesetzt
? Variable x ndert sich mit s
sie bercksichtigt: ? ist klein und dx/dt hat die Ordnung 1 3.2.2 Die Quasi - Stationarittsapproximation
19. Aus =0 folgen die DGLs
und Michaelis Menten Gesetz
q = ?-a =
Mit Hilfe der ursprnglichen Variablen:
Km = 3.2.2 Die Quasi - Stationarittsapproximation
20. 3.2.2 Die Quasi - Stationarittsapproximation Quasi Stationarittszustand Gleichgewicht
Km =
? hnliche Form, Ergebnisse basieren jedoch auf unterschiedliche Annahmen
21. 3.2. Modelle Michaelis Menten Gesetz ist eine brauchbare Approximation, wie das MWG nicht universell anwendbar
Km ist relativ einfach zu bestimmen, denn
kann geschrieben werden als
? 1/V ist eine lineare Funktion von 1/s.
22. 3.2. Modelle
Diese doppeltreziproke Auftragung wird Lineweaver Burk Plot genannt
Sie werden experimentell bestimmt
Man kann an ihnen Vmax und Km ablesen
23. 3.2. Modelle Alternative Methode: der direkte lineare Graph, Vmax gegen Km
Wiederholen des Versuchs mit diversen Anfangskonzentrationen und Geschwindigkeiten ergibt eine Familie von Geraden
Idealfall: Schnittpunkt in einem einzelnen Punkt
http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Enzymkinetik3.png&filetimestamp=20090302154106
24. 3.3. Enzyminhibition
Hemmt die katalytische Wirkung
Allgemeine Eigenschaft von Enzymreaktion
wichtig zur Kontrolle der Enzymaktivitt
irreversible Hemmstoffe oder katalytische Gifte: sie senken die Enzymaktivitt auf 0
Das Enzymmolekl ist fr gewhnlich ein sehr langes Protein, meist weitaus lnger als das Substratmolekl, dessen Reaktion katalysiert wird
25. 3.3. Enzyminhibition Im Enzym eingebunden sind ein oder mehr aktive Zentren, an die sich das Substrat binden kann, um einen Komplex zu bilden
Allgemein katalysiert ein Enzym ein Substratmolekl hnlicher Struktur (Schlssel-Schloss-Prinzip)
http://www.scheffel-gymnasium.de/faecher/science/biologie/proteine_enzyme/2enzym/enzym.htm
Gibt es ein dem Substrat hnliches Molekl, kann dieses ebenfalls an die aktive Seite gebunden werden und so die Bindung des Substratmolekls verhindern und die Reaktion hemmen
26.
kompetitiver Hemmstoff: der Hemmstoff wetteifert mit dem Substrat um die aktive Seite
3.3. Enzyminhibition
27. Das Enzym hat hufig andere bindende Seiten, die sich von der aktiven Seite unterscheiden - allosterische Seite? sie unterscheiden sich strukturell von der katalytisch aktiven Seite
regulierende Seiten, da die katalytische Aktivitt durch Bindung an diese Seite reguliert wird
Effektor (Modifier):der Liganden, der an die allosterische Seite gebunden ist
Der Effektor heit allosterischer Aktivator, wenn er die katalytische Wirkung steigert und allosterischer Inhibitor, wenn er die Aktivitt des Substrats mindert 3.3. Enzyminhibition
28. 3.3.1 Kompetitive Inhibition Einfachstes Beispiel: die Reaktion wird gestoppt, wenn der Inhibitor an die aktive Seite des Enzyms gebunden ist
S + E C1 E + P
E + I C2
Mit Hilfe des MWG
= -k1se + k-1c1
= -k3ie + k-3c2
= k1se (k-1 + k2)c
= k3ie k-3c2
e + c1 + c2 = e0
29. Im Quasi-stationren Zustand
fr die Reaktionsgeschwindigkeit ergibt sich
Der Effekt des Inhibitors ist es, die effektive Gleichgewichtskonstante des Enzyms durch den Faktor 1+i/Ki zu steigern
? die Reaktionsgeschwindigkeit nimmt ab
30. Falls der Inhibitor sich an die allosterische Seite binden kann, ergibt sich die Mglichkeit, dass das Enzym den Inhibitor und das Substrat gemeinsam binden
vier mgliche Bindungsarten fr das Enzym und bergnge zwischen ihnen
E ES E + P
EI EIS 3.3.2 Allosterische Inhibition
31. 3.3. Enzyminhibition Die einfachste Analyse ist die Gleichgewichtsanalyse
definiere und
x, y, z beschreiben die Konzentrationen von ES, EI und EIS
Aus dem MWG folgt fr den stationren Zustand
? lineares Gleichungssystem
32. 3.3. Enzyminhibition Wir knnen x, y, z als Funktionen von i und s bestimmen
mit Vmax = k2e0 ist
der allosterische Inhibitor mindert die maximale Reaktionsgeschwindigkeit, whrend Ks unverndert bleibt
33. 3.3.3 Kooperativitt Ein Enzym kann mehr als ein Substratmolekl binden
Bindung eines Substratmolekls beeinflusst die Bindung des nachfolgenden
Annahme:ein Enzym kann zwei Substratmolekle binden ? es kann in einem von drei Stati existieren
Als freies Molekl E
Als Komplex mit einem besetzten Center C1
Als Komplex mit zwei besetzten Center C2
S + E C1 E + P
S + C1 C2 C1 + P
34. 3.3.3 Kooperativitt Das MWG angewandt, kann man die Gleichungen fr die 5 Konzentrationen von S, E, C1, C2 und P aufschreiben
35. Wir bernehmen die Annahme des Quasi-stationren Zustands: dc1/dt = dc2/dt = 0
Fr die Reaktionsgeschwindigkeit ergibt sich
3.3.3 Kooperation
36. 3.3.3 Kooperation Die aktiven Seiten handeln unabhngig und identisch voneinander
? k1 = 2k3 = 2k+, 2k-1 = k-3 = 2k- und 2k2 = k4
Fr die Reaktionsgeschwindigkeit ergibt sich
37. Die Bindung des ersten Substratmolekls erfolgt langsam, die zweite sehr schnell (groe positive Kooperativitt)
k3 ? 8 und k1 ? 0, k1k3 = const.
? K1 ? 8 und K2 ? 0, K1K2 =const.
Km = K1K2 und Vmax = k4e0
i.A. gibt es n Gleichgewichtskonstaten, wenn n Substratmolekle an das Enzym gebunden sind
? K1 ? 8 und Kn ? 0, K1Kn = const.
wobei Kmn =
Diese Gleichung ist bekannt als Hill Gleichung 3.3.3 Kooperation
38. es gilt
? das Hill Diagramm sollte eine Gerade mit der Steigung n ergeben
es ist nicht ungewhnlich, dass n nicht ganzzahlig ist
3.3.3 Kooperation
39. 3.3.3 Kooperation ein Enzym kann negative Kooperativitt aufweisen
? k3 wird herabgesetzt
40. 3.4. Das Monod Wyman Changeux Modell das Modell basiert auf folgende Annahmen:
? kooperative Proteine sind zusammengesetzt aus diversen identischen Reaktionseinheiten, genannt Protomer, die die gleichen Positionen im Protein belegen
? jedes Protomer umfasst eine bindende Seite fr jeden Liganden
? die bindenden Seiten innerhalb jeden Proteins sind quivalent
? falls die Bindung eines Linganden zu einem Protomer einen konformativen Wechsel im dem Protomer einleitet, wird ein identischer konformativer Wechsel in allen Proteinen eingeleitet
? das Protein hat zwei konformative Stati, gewhnlich bezeichnet als R und T, die sich in ihrem Verhalten Liganden zu binden unterscheiden
41. wir betrachten Protein, mit nur zwei binden Seiten
es kann in einem von 6 Stati existieren:
Ri, i= 0, 1, 2 oder
Ti, i= 0, 1, 2
der Einfachheit halber: Ri kann nicht in Ti umgerechnet werden
Die Stati fr das Protein und die zugelassenen bergnge
3.4. Das Monod Wyman Changeux - Modell
42. es gilt ri und ti sind die entsprechenden Konzentrationen von Ri und Ti
fr die Sttigungsfunktion gilt:
mit Ki = k-i/ki, i=1, 2, 3 ergibt sich
durch Substitution erhlt man
wobei r0/t0 = K2
3.4. Das Monod Wyman Changeux - Modell
43. 3.4. Das Monod Wyman Changeux - Modell Allgemein ist Y eine sigmoidale Funktion von s
K3 = 8 ? das Substrat kann nicht direkt an die T- Konformation
binden
?
K2 = 8 ? nur die R Konformation existiert
? Michaelis Menten Gleichung
44. 4. Glykolyse und glykolytische Oszillation Stoffwechsel kann als Austausch freier Energie gesehen werden
Stoffwechselwege: die durch Enzyme katalysierten Auf-/Ab- und Umbauprozesse in den Zellen
bekannter Trger von Energie in der Zelle: ATP
Adenosintiphosphat
45. 4. Glykolyse und glykolytische Oszillation Die Bindungen der drei Phosphate sind sehr energiereich
Werden die Phosphoanhydrid-Bindungen durch Enzyme hydrolytisch gespalten, entsteht das Adenosindiphosphat (ADP) bzw. das Adenosinmonophosphat (AMP) und Phosphat
es werden jeweils etwa 32,3 kJ/mol (Spaltung einer Bindung) oder 64,6 kJ/mol (Spaltung beider Bindungen) Energie frei.
Die freiwerdende Energie ermglicht die Arbeitsleistungen in den Zellen.
47. 4. Glykolyse und glykolytische Oszillation PFK 1 wird von ATP allosterisch gehemmt
? allosterisches Enzym
ATP kann Substrat und allosterischer
Hemmstoff sein
der Inhibitoranteil von ATP wird durch AMP beseitigt
? Aktivitt von PFK1 steigt, wenn
ATP/AMP sinkt
2ADP ATP + AMP
48. 4. Glykolyse und glykolytische Oszillation ein berfluss an Fructose 6-Phosphat fhrt zur Bildung von Fructose-2,6-bisphosphat
? Aktivitt von PFK1 wchst
? negative Rckkopplung
PFK1- Aktivitt wird von einem komplexen System von Reaktionen kontrolliert
49. 4. Glykolyse und glykolytische Oszillation unter gewissen Umstnden ist bekannt:
die Rate der Glykolyse ist periodisch, manchmal sogar chaotisch
ein mathematisches Modell von Selkov (1968), spter modifiziert von Goldbeter und Lefever (1972)
Achtung: nur die positive Rckkopplung von ADP auf PFK1 wird beachtet
50. 4.1. Modell von Selkov PFK1 ist inaktiv im ungebundenen Status
aktiviert durch die Bindung mit ADP-Moleklen
im aktiven Status katalysiert das Enzym die Produktion von ADP aus ATP
das Modell:
PFK1 (E) ist aktiviert oder deaktiviert, je nach Bindungsstatus mit den ?-Moleklen von ADP (S2)
?S2 + E ES2?
ATP (S1) kann sich an die aktivierte Form des Enzyms binden um ein Produkt von ADP zu bilden
Annahme: die Rate von S1 ist bestndig, das Produkt S2 wird jedoch irreversibel verbraucht
51. 4.1. Modell von Selkov ? S1
S1 + ES2? S1ES2? ? ES2? + S2
S2 ?
52. 4.1. Modell von Selkov s1 = [S1], s2 = [S2], e = [E], x1 = [ES2?], x2 = [S1ES2?]
e + x1 + x2 = e0
53. 4.1. Modell von Selkov
es ergibt sich
mit
54. 4.1. Modell von Selkov Annahme: ? ist klein ? u1 und u2 sind fest und knnen als ihre Quasi Stationarittsgren gesetzt werden
55. 4.1. Modell von Selkov das System hat periodische Lsungen fr einen gewissen Bereich von ?
wegen der Sttigung, ist die Funktion f(s1, s2) durch 1 begrenzt
falls ? > 1, sind die Lsungen der Differentialgleichungen nicht begrenzt
56. 4.1. Modell von Selkov 0 < ? < 1
die Hauptisoklinen des Phasenflusses sind gegeben durch
57. 4.1. Modell von Selkov fr die stationre Lsung gilt:
die Stabilitt der konstanten Lsung findet man durch Linearisierung der DGLs der stationren Lsung und Prfung der Eigenwerte des linearen Gleichungs-systems
58. 4.1. Modell von Selkov das linearisierte System hat die Form:
die charakteristische Gleichung fr die Eigenwerte ? der linearen Gleichungssysteme ist
Da f1 immer positiv ist, ist die Stabilitt des linearen Systems durch das Vorzeichen von H= af2 ? f1 betimmt
es ist stabil fr H < 0 und instabil, falls H > 0
59. Wechsel der Vorzeichen, gibt es bei H = 0
dies sind Hopf Bifurkationen periodischer Lsungen mit einer approximativen Frequenz
? H(0) = ?(?-1) H(1) = -?
? fr ? > 1 muss es einen Hopf-Bifurkationspunkt geben, unter dem die konstante Lsung instabil ist
4.1. Modell von Selkov
60. 4.1. Modell von Selkov fr ? kurz unterhalb des Bifurkationspunktes, gibt es eine stabile periodische Bahn
61. 4.2. Hess und Boiteux Hess und Boiteux (1973):
es gibt fr hohe und niedrige Injektionsraten eine stabile Stationaritslsung
es gibt zwei Hopf Bifurkationspunkte
1. bei 20mM/hr Dauer 8Min
2. bei 160mM/hr Dauer 3Min
62. 4.3. Goldbeter und Lefever sie schlugen 1972 Modell des Monod Wyman Changeux Typs vor
Annahme: PFK1 ist ein Dimer, das in zwei Stati existiert
aktiven Status R
inaktiver Status T
S1 kann an beide Formen gebunden werden
S2 (positiver Effektor des Enzyms) bindet nur an die aktive Form
63. 4.3. Goldbeter und Lefever Die enzymatischen Formen, an die ein Substrat binden, zersetzen sich irreversibel, um ADP zu bilden
das Substrat wir dem System in einer konstanten Rate geliefert
die Rate der Rckbildung des Produkts verluft proportional zur Konzentration
64. 4.3. Goldbeter und Lefever Tj = inaktive T-Form von der Enzymbindung zu j Substratmoleklen
Rij = aktive R-Form des Enzyms, gebunden an i Substratmolekle und j Produktmoleklen
65. 4.3. Goldbeter und Lefever das Substrat S1 hlt das System im inaktiven Status durch Bindung mit T0 um T1 zu bilden
S2 hlt das System im aktiven Status
durch Bindung mit R00 um R01 zu bilden
durch Bindung mit R01 um R02 zu bilden
66. 4.3. Goldbeter und Lefever mit Hilfe des MWG erhalten wir die Differentialgleichungen der 14 Arten
67. 4.3. Goldbeter und Lefever
Annahme: die 12 Zwischenstufen sind im Quasistationaritszustand
? lineares Gleichungssystem mit 12 Unbekannten und 12 Gleichungen
es ist lsbar, wenn wir die Gesamtmenge der Enzyme e0 setzen
68. 4.3. Goldbeter und Lefever durch Substitution dieser Lsung in die Differentialgleichungen fr s1 und s2 erhalten wir
wir fhren dimensionslose Variablen ein
wir erhalten das System
69. 4.3. Goldbeter und Lefever Falls wir auerdem annehmen
das Substrat bindet nicht an die T-Form (k3 = 0, T ist komplett inaktiv)
T0 wird R00 gegenber bevorzugt (k1>>k-1)
falls das Substrat S1 an die R-Form bindet, wird die Bildung des Produkts S2 der Trennung bevorzugt (k>>k-2)
? das System kann wesentlich vereinfacht werden
f(s1, s2) = s1(1 + s2)2
70. 4.3. Goldbeter und Lefever die Hauptisoklinen dieses Systems sind deutlich verschieden vom Selkov Modell
die eindeutige Lsung fr die Stationarittsbedingung ist
71. 4.3. Goldbeter und Lefever Die Stabilitt wird wieder von der charakteristischen Gleichung bestimmt und das Vorzeichen des Realteils der Eigenwerte ist das selbe wie von
ausgewertet unter Stationarittsbedingungen
sie kann auch geschrieben werden als Polynom dritten Gerades
72. 4.3. Goldbeter und Lefever fr gengend groes ? hat das Polynom zwei Nullstellen, die grer sind als 2: y1 und y2
Annahame: die Flussrate ? ist proportional zur experimentellen Angebotsrate von Glucose
Forderung:
?
Am Hopf - Bifurkationspunkt, erhalten wir die Oszillationsperiode
theoretisch T1/T2 = 4,6
experimentell T1/T2 = 2,7
73. 4.3. Goldbeter und Lefever