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高 等 数 学

高 等 数 学. 第 4 章 不定积分. 4.1 　不定积分的概念与性质 4.2 　不定积分的换元法 4.3 不定积分的分部积分法. 4.1 不定积分的概念与性质. 4.1.1 　原函数与不定积分的概念 4.1.2 　基本积分公式 4.1.3 不定积分的性质. 学习要求：. 理解不定积分的概念。 了解不定积分的几何意义。 熟练掌握不定积分的性质及基本积分公式，并能用公式来计算不定积分。. 不定积分的概念. 基本积分公式. 学习 重点 ：. 基本导数公式. 4.1.1 原函数与不定积分的概念.

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Presentation Transcript

  1. 高 等 数 学

  2. 第4章 不定积分 4.1　不定积分的概念与性质 4.2　不定积分的换元法 4.3 不定积分的分部积分法

  3. 4.1 不定积分的概念与性质 4.1.1　原函数与不定积分的概念 4.1.2　基本积分公式 4.1.3 不定积分的性质

  4. 学习要求： • 理解不定积分的概念。 • 了解不定积分的几何意义。 • 熟练掌握不定积分的性质及基本积分公式，并能用公式来计算不定积分。

  5. 不定积分的概念 基本积分公式 学习重点：

  6. 基本导数公式

  7. 4.1.1 原函数与不定积分的概念 定义若在 I 上恒有 F(x)=f(x)（即 dF(x)=f(x)dx），称 F(x)为 f(x) 在 I 上的一个原函数。 例

  8. 积分变量 被积表达式 任意常数 被积函数 积分号 不定积分的定义： 的全体原函数 (C 是任意常数) 称为 的不定积分

  9. 说明： 1、已知函数，找出导函数等于 全体原函数 可表示为： 2、并非所有函数都有原函数，但闭区间上的连续 函数一定存在原函数. 3、初等函数在其定义区间内一定有原函数. 因此，求已知函数的不定积分，就是求出它的一个原函数，再加上任意常数C.

  10. 例1 即 例2 当 时， 是 的一个原函数. 求 的不定积分. 求 的不定积分. 解： 解：

  11. 当 时， 从而有：

  12. 函数 的不定积分 的图形是 所有曲线可通过 沿 上下平移而得到这一族 处的切线平行. 不定积分几何意义 一族平行的曲线， 曲线. 这一族曲线在同一点

  13. 基本导数公式

  14. 4.1.2 基本积分公式 基本导数公式

  15. 4.1.2 基本积分公式 基本导数公式

  16. 4.1.2 基本积分公式 基本导数公式

  17. 4.1.2基本积分公式

  18. 4.1.3 不定积分的性质 性质1 不为零的常数因子，可以提到积分号前. 性质2 两个函数的代数和的积分等于函数积分的代数和. 说明： 性质2可推广到有限个函数的代数和的情况

  19. 性质3 不定积分与微分的关系 1、不定积分的导数(或微分)等于被积函数(或被积式) 即： 先积 后导 被积函数 或 先积 后微 被积表达式 2、任一函数的导数(或微分)的不定积分等于这个函数 加上任意常数。即 或

  20. 如：

  21. 口答：

  22. 即 例3 已知： 求: 解：

  23. 即 即 例4 已知： 且 求: 解：

  24. 求不定积分: 被积函数经过适当的恒等变形(包括代数或三角的恒等变形或分式拆项)再利用基本法则，然后由基本公式求出结果.

  25. 例6 求 例5 求 解： 解：

  26. 练习

  27. 例7 求 解：

  28. 例8 求 解：

  29. 练习

  30. 解：

  31. 例9 求 解： 利用减一项、加一项的方法.

  32. 例10 求 解：

  33. 练习

  34. 解：

  35. 例11 求 解：

  36. 例12 解：

  37. 例13 求 解：

  38. 练习

  39. 解：

  40. 内容小结： 1、不定积分的概念 2、不定积分的性质和基本积分公式 3、判断积分结果是否正确时，只要对结果求导，看它的导数是否等于被积函数，相等结果正确，否则结果是错误的. 4、采取被积函数重新组合；分解因式；三角恒等变换；添一项减一项；分式变形等方法将被积函数化简后再求积分

  41. 作 业： P97 1、 5、单号题

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