Numeryczne modelowanie korelacji Bosego-Einsteina

1. Numeryczne modelowanie korelacji Bosego-Einsteina Czy możemy widzieć obszar produkcji i czy ten obszar mierzymy ? Grzegorz Wilk (współpraca: O.V.Utyuzh i Z.Włodarczyk)

2. 1. Wprowadzenie 2. Modelowanie korelacji BE (funkcji C2(Q2)) - jak to robiono: (*) modelowanie czasoprzestrzennej struktury źródła (*) modelowanie statystyki Bosego-Einsteina (BE) (*) wymuszanieprzyporządkowania cząstkom ładunków odpowiadającego statystyce BE(1) 3. Nowy sposób modelowania korelacji Bosego-Einsteina (2) : (*) wprowadzenie (na przykładzie prostego algorytmu) (*) dotychczasowe (bardzo wstępne) wyniki 4. Podsumowanie • O.V.Utyuzh, G.Wilk, Z.Włodarczyk, Phys. Lett. B522 (2001) 273; Acta Phys. Polon. • B33 (2002) 2681 • (2) O.V.Utyuzh, G.Wilk, Z.Włodarczyk ; hep-ph/0312124

3. Wprowadzenie: G.Goldhaber et al. PRL 3 (1959) 181; PR 120 (1960) 300 Identyczne mezony ”lubią” pojawiać się obok siebie w przestrzeni fazowej Interpretacje: (*) przejaw faktu, że mezony są bozonami i podlegają statystyce Bosego-Einsteina C2(pi-pj)=(pi,pj)/[(pi)(pj)] (*) jest to mikroskopowy odpowiednik tzw. efektu HBT (1) • R.Hanbury-Brown and R.Q.Twiss, Philos. Mag. 45 (1954) 663; Nature 177 (1956) 27 • R.Hanbury-Brown, Contemp. Phys. 12 (1971) 357

4. O czym należy pamiętać: (*) BEC służą do uzyskiwania danych o czasoprzestrzennych charakterystykach obszaru hadronizacji: objętości V=V(n,s,A,...) i czasie życia (n,s,A,...) (*) ostatnie wyniki z RHIC-a zdają się przeczyć dotychczasowym oczekiwaniom co do V(s,A) oraz (a,A)    - oczekiwania co do BEC nie są prawdziwe ? - oczekiwania co do charakteru hadronizacji są błędne ? - ... ? .... Pytanie: w jaki sposób kwarki (o spinie ½  statystyka FD !) w fazie QCD prowadzą do mezonów o spinie całkowitym  BEC? (.....pary Copera, nadprzewodnictwo, nadciekłość ..... ?.....)

5. Podejścia stosowane do analizy efektu BEC: (1) (*) pracujemy z funkcjami falowymi układu cząstek w przestrzeni położeń i pędów: k(xk,pk) (*) reprezentowanymi przez fale płaskie: exp(ixkpk) (*) które odpowiednio symetryzujemy (*) wprowadzamy pojęcie czaso-przestrzennego źródła emitującego hadrony: (x1,...,xk,...) (*)zajmujemy się w zasadzie tylko BEC 2-cząstkowymi i zakładamy, że: (x1,x2)=(x1)(x2)

6. (1) no BEC: (x1,p1)(x2,p2) p1 x1 x1 x2 x2 p2 (x1,x2)=(x1)(x2) BEC: (x1,p1)(x2,p2) + (x1,p2)(x2,p1)

7. (1) Transformata Fouriera ”źródła hadronowego” czynnik „koherencji” ( R = ”promień źródła ” ? ) czy raczej: (”średnia odległość między parami identycznych cząstek”?) 0 <  < 1 ( 1 < C2 < 2 )

8. O czym nie należy zapominać stosując podejście (1): (1) – obie wyselekcjonowane identyczne cząstki powstają w środowisku wielu innych czastek (2) – zaniedbaliśmy wszelkie oddziaływania w stanie końcowym (coulombowskie i silne) (3) – zaniedbaliśmy wszelkie możliwe korelacje w źródle redukując wszystko do rozkładów jednocząstkowych (4) – to co mierzymy to pędy cząstek, o położeniach nic nie wiemy (i nie możemy a priori wiedzieć, mamy tylko nadzieję, że z BEC coś się pośrednio o nich dowiemy...) dowiemy... )

9. (1) ..... dygresja .....jak poprawnie uwzględniać efekt koherencji? ...... • C2(Q) = 1 + · (q=Q·R); =n(chaos)/n(total) ??? • C2(Q) = 1 + 2p(1-p)·[(q)](1/2) + p2·(q); p=n(chaos)/n(total) ??? • ——— • (a) S.V.Akkelin, R.Lednicky, Yu.M.Sinyukov, Phys. Rev. C65 (2002) 064904 • I.V.Andreev, M.Plümer, R.M.Weiner, Int.J.Mod.Phys. A8 (1993) 4577. • ——— • G.A.Kozlov, O.V.Utyuzh, G.Wilk, Phys. Rev. C68 (2003) 024901 • Ukr. J. Phys. 48 (2003) 1313    oba wzory są poprawne! • powinno się stosować jeśli istnieją obok siebie niezależne koherentne i chaotyczne źródła produkujące hadrony (lub jeśli cząstki klasyczne współistnieją z kwantowymi) • powinno się stosować jeśli koherencja jest wymuszana przez czynnik zewnętrzny, który (częściowo) porządkuje fazy funkcji falowych hadronów produkowanych w danym źródle

10. Podejścia stosowane do analizy efektu BEC: (2) (*)uważamy BEC za manifestację korelacji fluktuacji istniejących w źródłach produkujących cząstki i pracujemy z celami w przestrzeni pędów i krotnościami n ulokowanych w nich cząstek (*) symetryzacja  tendencja do skupiania się identycznych cząstek w takich celach (efekt działania statystyki Bosego-Einsteina)  - automatycznie uwzględnione są BEC wszystkich rzędów - związek BEC z intermitencją staje się oczywisty

11. (2) w tym podejściu: C2(Q) jest po prostu miarą korelacji fluktuacji • (n) - dyspersja rozkładu krotności P(n) • - współczynnik korelacji: (+1) - statystyka BE (-1) - statystyka FD 0 - statystyka Boltzmanna W.A.Zajc, Nucl. Phys. A630 (1998) 511c; M.Stephanov, Phys. Rev. D65 (2002) 096008I K.Fiałkowski, Proc. of XXX ISMD, Tihany (2000) T.Osada, M.Maruyama,F.Takagi, Phys. Rev. D59 (1999) 014024

12. O czym należy pamiętać stosując podejście (2): • – obie wyselekcjonowane cząstki zawsze „czują” • obecność wszystkich innych cząstek • (2) – nie bardzo wiadomo jak w tym podejściu • traktować oddziaływania w stanie końcowym • i rezonanse • (3) – uwzględnienie „koherencji” proste: odpowiada • zmianie statystyki (to samo z BEC dla fermionów) • (4) – nie wiadomo co teraz z „wielkością źródła” • i jego czasoprzestrzennymi charakterystykami

13. Do praktycznego opisu procesów produkcji wielocząstkowej powszechnie stosuje się różnego rodzaju generatory przypadków losowych Monte-Carlo: (*) wszystkie one oparte są na pewnym procesie stochastycznym i są opisami jednocząstkowymi (*) wszystkie one pracują z odpowiednio zdefiniowanymi, dodatnio określonymi prawdopodobieństwami (*) żaden nie był pomyślany by opisywać innego rodzaju korelacje niż wynikające np. z produkcji rezonansów lub zasad zachowania (energii-pędu, ładunków itp..) (*) każdy z nich prowadzi do pewnego wyobrażenia jaki jest czasoprzestrzenny rozwój procesu hadronizacji

14. Numeryczne modelowanie BEC : (*) problem: generatory przypadków typu Monte-Carlo są oparte na klasycznym opisie procesów stochastycznych i opierają się na dodatnio określonych prawdopodobieństwach BEC są ze swojej natury efektem kwantowo- mechanicznym jak generować efekty kwantowe przy pomocy klasycznego modelowania MC? (1) – zmieniać w odpowiedni sposób pędy cząstek otrzymanych z generatora MC (*) (2) – mnożyć każdy przypadek przez „wagę” zwiększającą w odpowiedni sposób udział przypadków prowadzących do BEC(**) (*) L.Lönblad, T.Sjöstrand, Eur.Phys.J. C2 (1998) 165; (**) K.Fiałkowski,R.Wit,J.Wosiek, Phys.Rev. D57 (1998) 0940013

15. Ad. (1):         p1 p1         p’1p’2 zgodnie z funkcją wagową f(q=Q•R); ( Q=|p1-p2| )

16. Ad. (2): przypadek (i).............................................................przypadek (j) waga: W(i)  W (q=Q•R)  waga: W(j)  nowa statystyka: na jeden przypadek (i) bierzemy teraz W(j)/W(i) >1 przypadków (j) ponieważ są one ”bliższe oczekiwanemu przypadkowi zawierającemu BEC”

17. Problemy: (1) – wprowadza się niezachowanie energii-pędu, konieczne modyfikacje przywracające pierwotny bilans energetyczny (2) – nie można stosować do pojedynczych przypadków; pierwotny bilans energetyczny zachowany ale pierwotne rozkłady jednocząstkowe zmienione (1 i 2) – pojawia się dowolna funkcja wagowa f(q1=Q•R1) dobierana tak by dostać dobre C2(q=Q•R) ... może jednak modelować BEC? ... Jeśli tak to jedynie w podejściu (2) czyli z cząstkami w celach (E,p)  T.Osada,M.Maruyama,F.Takagi, Phys.Rev.D59(1999) 014024

18. Nasza propozycja numerycznego modelowania BEC tego typu: wymuszona zmiana „rozkładu ładunków (*)generator MC daje nam w kolejnym przypadku: n=n(+)+n(-)+n(0)cząstek o pędach {p(i)} i położeniach {r(i)}: [{p(i)}; {r(i)}; {Q(i)}](i=1,...,n) (*) szukany element kwantowo-mechaniczny to, na przykład, wprowadzenie pewnej niepewności  pytanie: w czym? (*) jedyna możliwość nie zmieniająca ani czasoprzestrzennej ani pędowej struktury przypadku (ani krotności cząstek) to zmienić aktualne przyporządkowanie ładunków cząstkom w taki sposób aby uzyskać efekt skupiania się ładunków tego samego znaku w przestrzeni fazowej O.V.Utyuzh, G.Wilk, Z.Włodarczyk, Phys. Lett. B522 (2001) 273; APP. B33 (2002) 2681

19. Wymuszona zmiana początkowego rozkładu ładunków: nie ulegają zmianie początkowe rozkłady czaso-przestrzenne ani też krotności poszczególnych ładunków (+,-,0) Przykład: powiedzmy, że generator daje nam 6 6 6 (18 cząstek) no BEC BEC 18 ”cel jednocząstkowych”  3 ”cele sześciocząstkowe”

20. (*) Proponowany schemat wprowadzania BEC stosuje się na poziomie poszczególnych przypadków (*) Zachowane są: energia, pęd, krotność (+,-,0) i ich rozkłady oraz ładunki Zmianie ulega: pierwotne przyporządkowanie ładunków poszczególnym cząstkom (*) Nowe przyporządkowanie przeprowadza się dobierając do wybranej cząstki o ładunku Q kolejno najbliższe niej cząstki z pewnym prawdopodobieństwem P i czyniąc to ”do pierwszej porażki”  ten warunek zapewnia, że cząstki w każdej elementarnej celi będą mieć rozkład geometryczny a średnia liczba obsadzeń będzie wynosić ncell=P/(1-P)  {exp[ (-E)/T] – 1}-1 (*) Zmianie ulegną:rozkłady w rapidity oraz sposób kompensacji ładunku: ładunek jest teraz kompensowany globalnie a nie lokalnie.

21. M  M1 + M2 M(1,2)=r(1,2)M; r1+r2<1 M 2 M21+ M22 M1 M11 + M12 Przykład przepływu ładunków w modelu hadronizacji CAS: korelacje BE nie pojawiają się (CAS – model kaskadowy: O.V.Utyuzh, G.Wilk, Z.Włodarczyk, PR D61 (2000) 034007)

22. Przepływ ładunków po narzuceniu efektu statystyki BE: powstały klastry o |Q|>1

23. Jak to można sobie wyobrazić w modelu LUND: tworzy się np. taki układ kolorowych dipoli ..... ..... + - - -- - ++ + + Q=+1 Q=0 zamiast standartowego układu - - + + ... i podobnie będzie też w innych modelach... pojawią się obiekty (klastry?...) o Q>0 ...

24. 1 2 3 ...... ...N-1......N ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

25. Q=|pi-pj| CAS: P(ij)=exp[-(1/2) (xi-xj)2(pi-pj)2] MaxEnT: P(ij)=exp[-(pi-pj)2/(2mT)]

26. (*) Efekt BEC pokazany tutaj zależy wyłącznie od : (i) (średniej) liczby cząstek tego samego ładunku tworzących pojedynczą celę w przestrzeni fazowej <n(part)> (ii) (średniej) liczby takich cel <N(cel)> (*) To zależy od parametru P: - mniejsze P  mniej cząstek w celi  większa liczba cel   mniejsze C2(Q=0) - stałe P (tyle samo cząstek w celi) energia rośnie  więcej cel  mniejsze C2(Q=0) (*) Wyraźna tendencja: większe wartości parametru P prowadzą do C2(Q=0)>2 - dlaczego? - tworzy się wtedy więcej cel zajmowanych przez więcej niż 2 cząstki (inaczej: dają o sobie znać BEC wyższych rzędów!) (*) ”rozmiar” R jest raczej ”rozmiarem elementarnej celi” a nie rozmiarem źródła emitującego hadrony !.......(zależy słabo od <n(part)> )

27. Co można jeszcze zrobić? – np. źródło złożone z nl ”podźródeł” M Źródło ”INDEP” Źródło ”SPLIT” (e+e-W+W- hadrons) ? M1 M2 M1 M2 cząstki ”pamiętają” z którego cząstki „”nie pamiętają” z którego ”podźródła pochodzą  ”podżródła” pochodzą  (*) ”rozmiar” R bez zmian (prawie...) (*)”rozmiar” R zwiększa się znacznie (*)  maleje dramatycznie jak 1/nl(*)  pozostaje bez zmian (prawie...)

28. ”split” ”indep” ”indep”

30. Możliwe do • uzyskania • wyniki: • dane DELPHI • kod MC: • kaskada opisana • w Utyuzh et al. • Phys. Rev. D61 • (2000) 034007 • 2 i 3 źródła • i stałe P

31. Podsumowanie: (*) zaproponowana metoda wymuszanej zmiany pierwotnego rozkładu ładunków łączy w sobie pewne cechy metody przesuwania pędów oraz metody ważenia przypadków ale nie narusza żadnych praw zachowania i nie zmienia pierwotnych rozkładów krotności (*) stosuje się do każdego przypadku z osobna wybierając dlań takie przyporządkowanie ładunków cząstkom, tzn. parom [xi,pi], które prowadzi do maksymalnej klastryzacji cząstek o tych samych ładunkach w przestrzeni fazowej (*) zmienia powszechne wyobrażenie dotyczące znaczenia parametrów R i  (?) (*) nie jest ona jednak prawdziwym modelowaniem BEC pracuje ona bowiem na wynikach jakiegoś generatora MC i nie ma wpływu na te wyniki a jedynie na modelowany przepływ ładunku (jak dotąd sprawdzono to tylko dla CAS, jest propozycja dla LUND ale nic ponadto, póki co są tylko plany ... ); jest to typowy ”dopalacz” (tylko, że ma znacznie lepsze uzasadnienie fizyczne ...) (*) pokazuje, że BEC odpowiada za intermitencję (przynajmniej częściowo...) (*) nie ma jasności co robić z rezonansami i odziaływaniami w stanie końcowym (*) na pewno jest to warte dalszej pracy ale może jednak warto zacząć ”od podstaw” ............ 

32. Nasza propozycja numerycznego modelowania BEC (*) zacząć budować generator MC nie od wyobrażeń jak wygląda proces produkcji (modele kaskady, hydro itp.) ale od lokowania poszczególnych identycznych cząstek w tych samych stanach pędowo-energetycznych,czyli od efektów kwantowych (*) na pierwszy plan wysuwa się pojęcie elementarnej celi w przestrzeni fazowej, z której emitowane są obserwowane cząstki (*) jej charakterystyki: krotność <N(cel)>, krotność cząstek w celi <n(part)>, rozkład liczby cel P(N(cel)) oraz ich rozkłady w przestrzeni fazowej dN(cel)/d3p będą decydować o kształcie mierzonego C2(Q)

33. Jak to można zrobić ? • zobaczmy na przykładzie najprostszego algorytmu, który w sposób naturalny prowadzi do BEC (a ”po drodze” również do szerokich rozkładów krotności oraz intermitencji.......) [dla prostoty: E =(m2 +<pT>2+p2)- przypadek 1-wymiarowy...] To, iż coś podobnego może nieźle pracować można sprawdzić w pracy T.Osada,M.Maruyama,F.Takagi, Phys.Rev.D59(1999) 014024 ..................................................

34. •Choose particles one-by-one according to as long as energy allows •choose randomly charge (+, -, 0) •correct for E, p, and Q conservation - P(N) Poisson-like - C2(Q) = 1

35. •Choose (+, -, 0) pion from f(E) as long as energy allows •treat it not as independent particle but as a SEED for a cell of particles •add to it particles of the same charge and four-momenta with probabilityP=const or P=P0• f(E)until first failure •correct for E, p, and Q conservation P = P(Ncell )  P(npart ) Negative-Binominal like C2(Q  p1 - p2) = 1 +  (p1 - p2)

36. •Choose (+, -, 0) pion from f(E) as long as energy allows •treat it not as independent particle but as a SEED for a cell of particles •add (with probability P until first failure) to it particles of the same charge and four-momenta p according to •correct for E, p, and Q conservation P = P(Ncell )  P(npart ) Negative-Binominal like C2(Q  p1 - p2) = 1 + (p1 - p2) g

37. ..... dygresja ..... Taki sam wynik otrzymano wyprowadzając BEC w ramach formalizmu kwantowej teorii pola (QFT): • G.A.Kozlov, O.V.Utyuzh, G.Wilk, Phys. Rev. C68 (2003) 024901 • Ukr. J. Phys. 48 (2003) 1313 C2(Q=|pi-pj|) = 1 + 2p(1-p)·[(q=R•Q)](1/2) + p2·(q=R•Q); p=n(chaos)/n(total) • gdzie (q) pojawia się w następujący sposób: • (*) w QFT cząstki są reprezentowane przez operatory kreacji • i anihilacji, które spełniają pewne reguły komutacyjne: • [c(pi),c+(pj)]=(pi-pj)co odpowiada nieskończonemu źródłu • (*) czasoprzestrzenną skończoność źródła wyraża się przez • zastąpienie funkcji delta przez funkcję z maksimum dla Q=0 • i ostro spadającą dla większych wartości Q: • (pi-pj)  [(q=R•Q)](1/2) • (*) kształt (q=R•Q) wyznaczają dane z BEC

40. Warte odnotowania: geometryczny rozkład w celi <m>=<npart> prowadzi przy stałej liczbie cel k do rozkładu typu Negative Binomial dla takiego rozkładu liczby cel (K=maksymalna liczba cel) mamy Modified Negative Binomial r1=r2 -<m><k>/K; r2=<m>-1

41. C2(Q) Q Wyniki dla różnych wartości temperatury T i wielkości celi 

42. Przykład czułości na zasady zachowania energii-pędu

43. Przykłady otrzymywanych rozkładów krotności P(nch) i odpowiadających im momentów Fq (intermitencji)

45. Co warto pamiętać: (*) funkcja rozkładu f(E), z której wybieramy cele wcale nie musi mieć postaci ”termicznej” jak w przytoczonych przykładach, w zasadzie może to być dowolna funkcja energii (ona w zasadzie określa rozkłady energetyczne i rozkłady krotności) (*) funkcja wagowa akceptująca cząstki w danej celi musi mieć postać P(E)=P0•exp(-E/T)=exp[-(E-)T] bo tylko wtedy dostaniemy geometryczny rozkładcząstek w celi o <npart>=1/{exp[(E-)/T]-1}=P(E)/[1-P(E)] (*) otrzymane w ten sposób ”rozmiary” odpowiadają długości korelacji, aby zacząć ”czuć” rozmiar geometryczny źródła (celi?...) należy włączyć pędy poprzeczne (lub kąty)

46. Dygresja: rozmiar źródła R i rozmiar korelacji (długość koherencji) L k2 (czy raczej celi?) 1/Rsin  Ep1/L k1 k1=(E1,0,0,p) k2=[E+E,(p+p)sincos,(p+p)sinsin,(p+p)cos] • Q2 = (k1-k2)2 = 2m2-2E(E+E)+2p(p+p)cos  Q2(Q2) + (Q2)E  1/R2 + 1/L2 = 1/R2eff 

47. Przykłady rozkładów w składowych Q – (1) (E=92 GeV; <n-> =10)

48. Przykłady rozkładów w składowych Q – (2)

49. Podsumowanie(1): BEC mówi nam w zasadzie nie tyle o źródłach co o emitujących celach..... (*) wspólna cecha obu podejść: praca z elementarnymi celamigrupującymi cząstki tego samego ładunku  podstawowe wielkości dla każdego przypadku: liczba cel: Ncel i liczba cząstek w celi <npart> (*) obserwowane prawidłowości dla 1-dim: Ncel rośnie/maleje ; <npart> stałe  R stałe;  maleje/rośnie Ncel stałe ; <npart> rośnie/maleje  R rośnie/maleje;  stałe dla 3-dim: R i  zależą głównie od wielkości cel (w przestrzeni pędów) (*) informację o czasoprzestrzennej strukturze przypadku powinny dać się odczytać (?...) zkształtu funkcji f(E) (dla rozkładu cel) i funkcji P(E) (dla rozkładu cząstek w celi)

50. Podsumowanie(2) - pytania: (*) Jak traktować rezonanse? Czy budować dla nich osobne cele czy też uważać, że cząstki z nich pochodzące nie podlegają statystyce BE (są ”koherentne”...) ? (*) Czy (i jak) uwzględniać oddziaływania w stanie końcowym? Poprzez parametry szerokości cel? (*) Co ze strukturą czasoprzestrzenną hadronizacji, dostępną (o ile w ogóle...) tylko bardzo pośrednio? Co w naszym przypadku właściwie ”mierzą” C2(Q) dla Q=Qlong, Qside, Qout (i ewentualne inne kombinacje)? Deformacje cel zależne od zewnętrznych warunków hadronizacji?....