Тема: Аналіз економічних задач за допомогою виробничих функцій

1. РОЗДІЛ ІІ. Застосування методів диференціального числення функцій багатьох змінних в економічних дослідженнях Тема: Аналіз економічних задачза допомогою виробничих функцій

2. ПЛАН 1. Виробничі функції багатьох змінних. 2. Основні поняття функції двох змінних. 3. Властивості виробничих функцій. 4. Економічні характеристики процесу виробництва. 5. Приклади економічних задач, що зводиться до знаходження основних характеристик функцій декількох змінних.

3. 1. Виробничі функції багатьох змінних Означення. Виробнича функція (ВФ) – це функція, незалежна змінна х якої набуває значень обсягу ресурсу, котрий використовується у виробництві, а залежна змінна у – значення обсягу продукції, котру випускає дане підприємство, фірма або галузь.

4. Виробничу функцію позначають у=f(х).При чому х (х > 0) і у (у > 0) – числові величини, тобто у=f(х) є функцією однієї змінної х. Тому таку виробничу функцію називають одноресурсною, або однофакторною.

5. Запис у=f(х) означає: якщо ресурс витрачається або використо-вується в кількості х одиниць, то продукція випускається в кількості у=f(х) одиниць. Знак функції f є характеристикою виробничої функції, яка перетворює ресурс у випуск продукції і пов’язує між собою незалежну змінну х та залежну змінну у.

6. Аналіз виробництва здійснюється за допомогою теорії виробничих функцій, виникнення якої відносять до 1928 р., коли було опубліковано статтю «Теорія виробництва» американських учених – економіста П.Дугласа й математика Д. Кобба. В цій статті було здійснено спробу визначити емпіричним шляхом вплив витрачених капіталу й праці на обсяг випуску продукції в переробній промисловості США.

7. Поставлено задачі:1)визначити клас функцій, який найкраще наближує співвідношення між трьома вибраними характеристиками виробничої діяльності;2) знайти числові параметри, що задають конкретну функцію;3) порівняти добуті результати – значення функцій – із фактичними даними.

8. Д. Кобб запропонував функцію вигляду: у = А Кα Lβде у – обсяг випущеної продукції; К – обсяг основного капіталу; L– витрати праці; А, α, β – числові параметри, що задовольняють умови А > 0, α + β = 1.

9. Вибір степеневої функції було зумовлено двома причинами:1) степенева функція є однією з найпростіших із нелінійних функцій і за допомогою логарифмування зводиться до лінійної;2) вона враховує нульовий ефект виробництва: якщо один із факторів дорівнює нулю, то й виробнича функція дорівнює нулю.

10. Логарифмуючи функцію Кобба, маємо рівняння:lnyt = lnA + α lnKt + β lnLtде yt, Kt, Lt–фактичні значення відповідних величин за рік t.

11. Методом найменших квадратів знайдемо значення А, α, β, які мінімізують вираз:∑(lnyt = lnA + α lnKt + β lnLt)2У результаті yt = 0,01K0,25 + L0,75.

12. Означення.Виробнича функція багатьох змінних – це функція, незалежні змінні х1, х2, ..., хnякої набувають значень обсягів ресурсів, що використовуються у виробництві (число змінних n дорівнює числу ресурсів), а значення функції виражає обсяг випуску продукції: у = f(х) = f (х1, х2, ..., хn).

13. у (у ≥0) – скалярна величина, а х – векторна; (х1, х2, ..., хn) –координати вектора, тобто f (х1, х2, ..., хn) є числовою функцією п змінних. Її називають багато-факторною виробничою функцією. За економічним змістом х1 ≥ 0, х2 ≥ 0, ..., хn≥0.

14. Для окремого підприємства виробнича функція f (х1, х2, ..., хn) може пов’язувати обсяг випуску продукції з витратами робочого часу за різними видами трудової діяльності, різноманітними видами сировини, енергії, основного капіталу тощо. Виробничі функції такого типу характеризують технологію підприємства.

15. Будуючи виробничу функцію для регіону або країни в цілому, заобсяг річного випуску у зазвичай беруть їхній сукупний продукт, як ресурси розглядають основний капітал(х1 = К – обсяг основного капіталу, що використовується протягом року) і працю (х2 = Lвитрати праці, що використо-вується протягом року).

16. Таким чином, отримуємо двофакторну виробничу функцію у = f (х1, х2)= f (К, L ) функцію Кобба-Дугласа.

17. 2. Основні поняття функції двох змінних Якщоz=f(x; y), то частинні прирости за зміннимих, у та повнийприрістфункції визначається за формулами:

18. Якщоіснує то цяграницяназивається частинноюпохідноюфункції за змінноюхіпозначається одним із символів: , . Аналогічновизначаєтьсячастинна похідна за змінноюу.

19. Приклад: Знайтичастинніпохідніфункцій:

20. Означення: Повним диференціалом функції dzдвох змінних називається головна лінійна відносно ∆x та ∆y частина повного приросту функції, який обчислюється за формулою:

21. Означення: Частиннимипохідними другого порядку відфункціїz=f(x; y) називаютьчастинніпохіднівід її перших похідних:

22. Повний диференціал обчислюється за формулою:

23. Неперервнафункціяz=f(x; y) можемати в областізадання максимум імінімум. Необхідні умови існування точок екстремуму функції:

24. Введемо позначення: Обчислимо визначник ∆ = А ∙ С – В2. Якщо 1). ∆ < 0, то функція в точці (х0; у0) екстремуму не має. 2). ∆ > 0, то екстремум існує, причому це максимум, якщо А < 0, і мінімум, якщо А > 0. 3). ∆ = 0, то функція може мати екстремуми, а може їх не мати.

25. Приклад: Дослідити на екстремумфункцію

26. 3. Властивості виробничих функцій Розглянемо багатофакторну виробничу функцію f (х1, х2, ..., хn). Припустимо, що вона двічі диференційована у заданій області.

27. Властивості: 1. Функція f (х1, х2, ..., хn) не спадна в області визначення. Ця властивість означає, що зі зростанням витрат хоча б одного ресурсу обсяг випуску продукції збільшується.

28. 2. Функція f (х1, х2, ..., хn) має невід’ємні частинні похідні, які називають граничними продуктами. Ця властивість означає, що зі зростанням витрат одного ресурсу за незмінного обсягу іншого обсяг випуску продукції збільшується.

29. 3. f (0; 0; 0; …; 0) = 0. Ця властивість означає, що без ресурсів немає випуску продукції.

30. 4. Економічні характеристики процесу виробництва • середні й граничні ефективності; • коефіцієнти еластичності; • коефіцієнти заміщення.

31. Означення: Середні показники ефективності визначаються за формулою: і називаються середньою продуктивністю і-го ресурсу, або середнім випуском за і-м ресурсом.

32. Означення: Середня фондовіддача – це відношення обсягу виробленої продукції до розміру основних фондів:

33. Означення: Середня продуктивність праці – це відношення обсягу виробленої продукції до кількості витраченої праці:

34. Зокрема, для розглянутої функції така залежність є спадною функцією. Економічно це можна трактувати так: зі збільшенням витрат ресурсів середня продуктивність праці знижується. Це має природне пояснення: оскільки значення другого фактора K залишається без змін, то нова робоча сила не забезпечуватиметься додатковими засобами виробництва, що спричинить зниження продуктивності праці.

35. Означення: Вектор-градієнт, що має координатами частинні похідні виробничої функції називають граничним вектор-продуктом, або вектором граничних продуктів.

36. 5. Приклади економічних задач Приклад 1: Потік пасажирів z виражається функцією , де х – число жителів, у – відстань між містами. Знайти частинні похідні і пояснити їх зміст.

37. Розв’язання: Похідна показує, що при одній і тій же відстані між містами збільшення потоку пасажирів пропорційне подвоєному числу жителів. Похідна показує, що при одній і тій же чисельності жителів збільшення потоку пасажирів обернено пропорційне квадрату відстані між містами.

38. Приклад 2: Фірма виробляє два види товарів G1 і G2 і продає їх за ціною 1000 грош. од. та 800 грош. од. відповідно. Обсяги випуску товарів Q1і Q2. Функція витрат має вигляд: C=2Q12+2Q1Q2+Q22. Знайти такі значення Q1і Q2,за яких прибуток, отриманий фірмою, максимальний. Знайти цей прибуток.

39. Розв’язання: Сумарний прибуток від продажу товарів буде: R=1000Q1+ 800Q2 Прибуток, який отримає фірма, позначимо П. Він являє собою різницю між прибутком R і витратами С, а саме: П = R – C = (1000Q1+ 800Q2) – – (2Q12 + 2Q1Q2 + Q22).

40. П =1000Q1+ 800Q2 – 2Q12 – 2Q1Q2 – Q22. Для знаходження максиму цієї функції обчислимо перші та другі частинні похідні:

41. Прирівняємо їх до нуля та знайдемо стаціонарні точки: Тоді М0 (100; 300).

42. Тоді: ∆ = А ∙ С – В2 = 4 > 0. Так як А < 0, то існує максимум функції в точці М0 (100; 300), значення якого дорівнює П = 170000 грош. од.