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6.3.2 关于解某些特殊方程组迭代法的收敛性

设. (1) 如果 的元素满足. 称 为 严格对角占优阵. (2) 如果 的元素满足. 称 为 弱对角占优阵. 6.3.2 关于解某些特殊方程组迭代法的收敛性. 定义 3. ( 对角占优阵 ). 且上式至少有一个不等式严格成立，. 设 ,. 如果存在置换阵 使. （ 3.6 ）. 其中 为 阶方阵， 为 阶方阵 ，. 为 可约矩阵. 否则，如果不存在这样置换阵 使 (3.6) 式成立，则. 称 为 不可约矩阵.

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6.3.2 关于解某些特殊方程组迭代法的收敛性

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  1. 设 (1) 如果 的元素满足 称 为严格对角占优阵. (2) 如果 的元素满足 称 为弱对角占优阵. 6.3.2关于解某些特殊方程组迭代法的收敛性 定义3 (对角占优阵) 且上式至少有一个不等式严格成立，

  2. 设 , 如果存在置换阵 使 （3.6） 其中 为 阶方阵， 为 阶方阵 ， 为可约矩阵. 否则，如果不存在这样置换阵 使(3.6)式成立，则 称 为不可约矩阵. 为可约矩阵意即 可经过若干行列重排化为(3.6)或 定义4 (可约与不可约矩阵) 则称

  3. 可化为两个低阶方程组求解. 如果 经过两行交换的同时进行相应两列的交换， 称对 进行一次行列重排. 于是，求解 化为求解 其中 为 维向量. 事实上，由 可化为 且记

  4. 由上式第2个方程组求出 , 再代入第1个方程组求出 显然，如果 所有元素都非零，则 为不可约阵.

  5. 则 都是不可约矩阵. 例7 设有矩阵

  6. 如果  为严格对角 则 为非奇异矩阵. 占优矩阵或 为不可约弱对角占优矩阵， 只就 为严格对角占优阵证明此定理. 如果 ， 则 有非零解， 记为  , 由齐次方程组第 个方程 定理6 (对角占优定理) 证明 采用反证法， 则 则有

  7. 与假设矛盾，故 即

  8. 设 , (1) 为严格对角占优阵，则解 的雅可比迭 代法，高斯-塞德尔迭代法均收敛. (2) 为弱对角占优阵，且 为不可约矩阵，则解 雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法均收敛. 由设可知， ，解 的高斯-塞 德尔迭代法的迭代矩阵为 定理7 如果： 证明 只证(1)中高斯-塞德尔迭代法收敛，其他同理.

  9. 下面考查 的特征值情况. 于是 特征值即为 由于 , 之根. 记

  10. 下面证明，当 时， ，即 的特征值 均满足 ， 事实上，当 时， 由 为严格对角占优阵， 这说明，当 时，矩阵 为严格对角占优阵， 再由对角占优定理有 由基本定理，则有高斯-塞德尔迭代法收敛.  有

  11. 设解方程组 则 设 的特征值为 ， 有 ， 定理8 (SOR方法收敛的必要条件) 的SOR迭代法收敛， 证明 由SOR迭代法收敛，则由定理4的推论中的(3) 则 或 另一方面

  12. 即 定理8说明解 的SOR迭代法，只有在 范围 内取松弛因子 ，才可能收敛. 设 ， 则解 的SOR迭代法收敛. (1) 为对称正定矩阵， 从而 定理9 如果：

  13. 在上述假定下，只需证明 ， 其中 为 事实上，设 为对应 的 的特征向量， 为了找出 的表达式，考虑数量积 证明 的任一特征值. 即 亦即

  14. （3.7） 所以  , 由于 ， （3.8） 则 显然 记 故

  15. 当 时，利用(3.7)，(3.8)，有 即 的任一特征值满足 ， 当 时， 所以 从而 故SOR方法收敛 可以证明

  16. 设 ， 则解 的SOR迭代法收敛. (1) 为严格对角占优矩阵(或 为弱对角占优不可约 矩阵)； 由定理3证明中可知，如果 且 越小时， 定理10 如果： 下面讨论迭代法的收敛速度. 迭代法收敛越快.

  17. 故 （3.9） 记 ， 则 且误差向量 由基本定理有 , 现设有方程组 及一阶定常迭代法 且设迭代法收敛， 满足

  18. 设 为对称矩阵，则有 （3.10） 这说明，所需迭代次数与 成反比. 越小， 越大，由(3.10)式所需迭代次数越少，即迭代法收敛越快. 欲使 取对数，得到所需最少迭代次数为

  19. 称 为迭代法(3.9)的渐近收敛 对于SOR迭代法希望选择松弛因子 使迭代过程(2.10) 收敛较快， 在理论上即确定 使 例如，对所谓具有“性质 ” 等条件的线性方程组建立了最佳松弛因子公式 定义5 速度，简称迭代法收敛速度.  对某些特殊类型的矩阵，已建立了SOR方法最佳松弛因子理论.

  20. 其中 为解 的雅可比迭代法的迭代矩阵的谱半径. 可以给出 的计算方法， 但一般来说，计算 是有困难的，可用试算的办法来确定一个适当的 . 其中 为对称正定 设 ， 在实际应用中，对于某些椭圆型微分方程(模型问题)， 算法2 (SOR迭代法) 矩阵或为严格对角占优阵或为弱对角占优不可约矩阵等，

  21. 数组 存放 本算法用SOR迭代法求解 ， 用 控制迭代终止， 用 表示最大 及 ， 迭代次数.

  22. 也可用 来控制迭代终止，其中

  23. 6.4分块迭代法

  24. 上述迭代法，从  计算时，是逐个计算 的分量 ，这种迭代法又称为点迭代 法.  设 ，其中 为大型稀疏矩阵且将 分 块为三部分 ， 分块迭代法，就是一块或一组未知数同时被改进. 其中

  25. 其中， 且 为 非奇异矩阵， 对 及 同样分块

  26. 选取分裂阵 为 的对角块部分，即选 （4.1） (1) 块雅可比迭代法(BJ) 于是，得到块雅可比迭代法 其中迭代矩阵 或

  27. （4.1） 从  ， 需要求解 个低阶方程组 由分块矩阵乘法，得到块雅可比迭代法的具体形式 其中 这说明，块雅可比迭代法每迭代一步，

  28. 选取分裂矩阵 为带松弛因子的 块下三角部分， （4.3） (2) 块SOR迭代法(BSOR) 即 得到块SOR迭代法

  29. （4.4） 其中迭代矩阵 由分块矩阵乘法得到块SOR迭代法的具体形式

  30. 于是，当 及 已计算时，解 低阶方程组(3.14)可计算小块 从 共需要解 个低阶方程组，当 为三 对角阵或带状矩阵时，可用直接法求解. 设 ，其中 (分块形式). (1) 如果 为对称正定矩阵， (2) 则解 的BSOR迭代法收敛. 定理11

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