Université d’Angers

1. Université d’Angers DEUG STU2 P1 – Propagation dans les solides 1/25 III – Propagation dans les solides Pour étudier la propagation des ondes dans un milieu solide, il nous faut connaître les propriétés mécaniques des milieux déformables :  la propagation d’une onde génère une contrainte dynamique qui déforme localement le solide. 1 – Propagation dans un solide illimité isotrope La force s’exerçant sur une surface peut toujours se décomposer en : - deux composantes tangentielles (//) - une composante normale ()

2. Université d’Angers DEUG STU2 z y x force par unité de surface (pression) sont les contraintes s’exerçant sur les différentes faces… P1 – Propagation dans les solides 2/25 Considérons un élément de volume solide, de forme parallélépipédique rectangle : … et chacune des contraintes est repérée par 3 composantes.

3. Université d’Angers DEUG STU2 Le tenseur est toujours symétrique, donc : ij = ji P1 – Propagation dans les solides 3/25 On a donc 9 composantes, notées ij, qui peuvent se regrouper sous la forme d’un tenseur : tenseur des contraintes Remarque : Pour un élément ij, le premier indice (i) repère la direction suivant laquelle s’exerce la contrainte ; le second indice (j) indique la direction normale à la surface sur laquelle s’exerce la contrainte. Remarque : Les élément ii (sur la diagonale du tenseur) sont appelés contraintes normales ; les éléments ij avec ji (hors-diagonale) sont appelés contraintes tangentielles. Remarque :

4. Université d’Angers DEUG STU2 Le tenseur est aussi toujours symétrique, donc : ij = ji P1 – Propagation dans les solides 4/25 L’application d’une contrainte provoque alors une déformation de l’élément de volume solide. Cette déformation peut également être décrite au moyen d’un tenseur : tenseur des déformations Remarque : Comme on a défini Ux la vibration d’une particule fluide dans la direction de propagation, dans un solide il nous faut définir 3 vibrations correspondant aux 3 directions de l’espace : Ux , Uy et Uz  au passage de l’onde, le solide peut se déformer dans les trois directions de l’espace.

5. Université d’Angers DEUG STU2 P1 – Propagation dans les solides 5/25 Le tenseur des déformations s’explicite alors en fonction de ces vibrations : Remarque : Les éléments diagonaux définissent les déformations d’élongation. La somme des 3 éléments diagonaux correspond alors à la dilatation : variation relative de volume

6. Université d’Angers DEUG STU2 où est le tenseur des constantes élastiques (caractéristiques intrinsèques du matériau). P1 – Propagation dans les solides 6/25 Remarque : Les éléments en dehors de la diagonale définissent les déformations qui ne sont pas dans l’axe de l’élongation : ce sont les déformations de cisaillement. cisaillement élongation  la déformation de l’élément de volume solide est une combinaison d’élongations et de cisaillements dans les 3 dimensions de l’espace. Les déformations résultent des contraintes appliquées. Il existe une relation entre les deux : loi de Hooke

7. Université d’Angers DEUG STU2 ij = cijkl kl  tenseur de rang 4 P1 – Propagation dans les solides 7/25 Remarque : Le rang d’un tenseur correspond au nombre d’indices nécessaires pour identifier une de ses composantes. ij tenseur de rang 2 ij tenseur de rang 2 Le nombre d’éléments composant un tenseur de rang n est donné par : 3n Par conséquent, on vérifie bien que ij et ij contiennent 32 = 9 composantes. Et on trouve que cijklcontient 34 = 81 composantes !!! Par exemple : Mais : les propriétés de symétrie du matériau, ainsi que la symétrie des tenseurs vont permettre de diminuer considérablement le nombre de composantes indépendantes à manipuler.

8. Université d’Angers DEUG STU2 au tenseur symétrique de rang 2, on associe un vecteur à 6 composantes : On peut procéder de même pour : P1 – Propagation dans les solides 8/25 Astuce : Afin de simplifier l’écriture de ces tenseurs et des relations qui les lient, on utilise l’astuce suivante : tenseur de rang 1 tenseur de rang 1

9. Université d’Angers DEUG STU2 est donc réduit à un tenseur de rang 2 correspondant à une matrice 6x6 : On a ainsi par exemple : Comme le tenseur est symétrique, c ne compte que 21 composantes indépendantes. P1 – Propagation dans les solides 9/25 En notation contractée, la loi de Hooke s’exprime alors comme : où , = 1,2,3,4,5 ou 6. Remarque :

10. Université d’Angers DEUG STU2 P1 – Propagation dans les solides 10/25 Voyons comment il est possible de réduire encore le nombre de composantes indépendantes en tenant compte de la symétrie du milieu solide : Si le milieu présente une symétrie cubique, alors il ne reste plus que 3 composantes indépendantes : Si, en outre, le milieu est parfaitement isotrope, alors on doit vérifier :  il ne reste plus que 2 composantes indépendantes : les coefficients de Lamé

11. Université d’Angers DEUG STU2 module de cisaillement (viscosité pour un fluide) module d’incompressibilité (1/ pour un fluide) P1 – Propagation dans les solides 11/25 Toutes les propriétés élastiques du solides se résument donc aux deux coefficients de Lamé : Pour comprendre la propagation d’une onde dans le milieu solide, il nous faut alors poser les équations relatives à la dynamique du processus : cela revient à considérer le Principe Fondamental de la Dynamique sur un élément de volume. la démarche consiste à faire le bilan des forces qui s’exercent (contraintes normales et tangentielles) et égaler la résultante au produit de la masse par l’accélération… … après calcul, on trouve…

12. Université d’Angers DEUG STU2 contrainte normale contraintes tangentielles accélération P1 – Propagation dans les solides 12/25 A ce stade, l’objectif est d’obtenir les équations de propagation n’impliquant que les vibrations Ux, Uy et Uz. Pour cela, appliquons la loi de Hooke sur les composantes ij :

13. Université d’Angers DEUG STU2 Soit : On trouve de même : et P1 – Propagation dans les solides 13/25 Pour les contraintes tangentielles, on a : Avant de remplacer ces 6 composantes dans le système des 3 équations différentielles issues du PFD, posons quelques hypothèses simplificatrices…

14. Université d’Angers DEUG STU2 y x z et de même : P1 – Propagation dans les solides 14/25 Hypothèses simplificatrices : On considérera une onde se propageant suivant l’axe x, et générant des vibrations uniquement suivant les directions x et y. Dans ces conditions : (milieu isotrope) (onde plane)  onde longitudinale  onde transversale On a alors :

15. Université d’Angers DEUG STU2     P1 – Propagation dans les solides 15/25 Bilan :

16. Université d’Angers DEUG STU2 L’onde longitudinale se propage à la vitesse : L’onde transversale se propage à la vitesse : P1 – Propagation dans les solides 16/25 On a donc obtenu deux équations de propagation : onde longitudinale ondetransversale

17. Université d’Angers DEUG STU2 et  on retrouve le fait que dans un fluide seules des ondes longitudinales peuvent se propager à la vitesse P1 – Propagation dans les solides 17/25 Remarque : On peut facilement retrouver le résultat obtenu pour la vitesse de propagation dans un fluide : le module de cisaillement s’apparente à la viscosité, donc   0  Ordre de grandeur des vitesses de propagation : Typiquement, les vitesses de propagation longitudinale sont de l’ordre de 5000 à 6000 m.s-1. Dans tous les cas, la propagation d’ondes transversales est moins rapide que celle d’ondes longitudinales :

18. Université d’Angers DEUG STU2 P1 – Propagation dans les solides 18/25  Conversion des coefficients de Lamé On a vu que les 2 seuls coefficients de Lamé,  et , peuvent décrire le comportement élastique du solide dans lequel se propage l’onde. D’un point de vue pratique, il est plus fréquent d’utiliser deux autres coefficients : - le module d’Young : E - le coefficient de Poisson : P La conversion avec les coefficients de Lamé s’effectue ainsi :

19. Université d’Angers DEUG STU2 et P1 – Propagation dans les solides 19/25  Expression des vitesses en fonction de E et P On peut alors remarquer que :  le rapport des deux vitesses ne dépend que d’un seul coefficient : le coefficient de Poisson.

20. Université d’Angers DEUG STU2 L dL a da P1 – Propagation dans les solides 20/25 2 – Propagation dans un solide de dimensions finies  Définitions du module d’Young et du coefficient de Poisson On considère une tige homogène, de longueur L et d’épaisseur a. Soumise à une force de traction F, la tige s’allonge d’une longueur dL, et son épaisseur se contracte de da. L’allongement relatif et la contraction relative sont alors fonction du module d’YoungE et du coefficient de Poisson P du matériau. On a : Remarque : E a la dimension d’une pression. P est sans dimension.

21. Université d’Angers DEUG STU2 h D x x x+dx L’analyse dynamique que l’on va effectuer n’est valable que si : P1 – Propagation dans les solides 21/25  Application à la propagation d’une onde en milieu fini On considère un barre de hauteur h et de largeur D dans laquelle se propage longitudinalement une onde de longueur d’onde . Dû à la propagation de l’onde, une tranche de cette barre est soumise, en x, à une force Fx, et en x+dx, à une force Fx+dx.

22. Université d’Angers DEUG STU2 Or Donc P1 – Propagation dans les solides 22/25 équation de propagation

23. Université d’Angers DEUG STU2 onde longitudinale onde transversale milieu illimité milieu limité P1 – Propagation dans les solides 23/25 On peut alors formuler la vitesse de propagation d’une onde longitudinale dans un milieu solide de dimensions finies : On remarque que la vitesse de propagation d’une onde longitudinale est différente selon que le solide est limité ou illimité On admettra en revanche que la vitesse de propagation d’une onde transversale est la même, que le solide soit limité ou illimité. Bilan :

24. Université d’Angers DEUG STU2 P1 – Propagation dans les solides 24/25 Selon les dimensions du solide (limité ou illimité), la vitesse de l’onde longitudinale ne dépend alors que du coefficient de Poisson :  1er cas limite : P  0 Cela signifie qu’il n’y a pratiquement pas de variation des dimensions transversales, donc pas d’effet de traction latérale  la déformation locale n’a quasiment pas d’effet sur les liaisons voisines. C’est le cas de matériaux comme l’éponge ou le liège.  2ème cas limite : P 1/2 Au contraire, toute déformation agit directement sur les liaisons voisines. C’est le cas du caoutchouc.

25. Université d’Angers DEUG STU2 P1 – Propagation dans les solides 25/25  Quelques valeurs typiques :