第五章 向量空间

1. 第五章 向量空间 §5.1 定义及其背景 §5.2 基和维数 §5.3 子空间 §5.4 向量空间的内积和标准正交基 §5.5 概要及小结

2. §5.1、定义及其背景 这一章是上一章的续篇。上一章主要讨论的是一组（有限个）n元向量间的线性关系，本章将在上一章的基础上讨论所有（无限个） n元向量组成的向量空间的一些基本性质。 在4.1节中我们以平面2元向量，空间3元向量为背景，推而广之引入了n元向量，并定义了n元向量的相等、加法和数乘等运算。进而指出如把n元向量视为n×1矩阵，则n元向量的相等、加法和数乘就是第3章矩阵运算的相等、加法和数乘，所以向量的加法和数乘运算也适合矩阵运算的8条规律，即有如下性质。 性质 对任意的n元向量α、β、γ，任意数域P中的数k，t满足8条运算规律： (1)交换律 α＋β＝ β＋α；

3. 这样，数域P中所有满足这些运算规律的n元向量就构成了一个集合，我们称这个集合为“空间”这样，数域P中所有满足这些运算规律的n元向量就构成了一个集合，我们称这个集合为“空间” （2）结合律（α＋β）＋γ＝α＋（β＋γ）； （3）n元向量中存在零向量O，适合O＋α＝α； （4）n元向量中任意向量α存在负向量－α，使得 α＋（－ α）＝O; （5）k(α+ β)=kα+kβ; （6）(k＋t)α=kα+tα; （7）（kt）α＝k（tα）; （8） 1α＝α. 特别地取P=R，则

4. 规定了加法和数量乘法，容易知道它满足8条运算规律，我们称 为数域P上n元向量空间（或n维向量空间）. 特别地当P为实数域R时， 就是（欧氏）平面， 就是（欧氏）空间. 从上述定义知向量空间是具有两个封闭的运算加法和数乘，运算适合8条规则的非空集合 这个定义所表达的意思 实际上是，空间就是满 足某些性质的向量的集合。 是n元实向量构成地“空间”，称为实向量空间.它是平面，空间地自然推广，也是将要引入向量空间很好地背景. 定义 数域P上n元向量地全体

5. §5.2基和维数 现将这些概念放在整个向量空间 上来考察，即考虑 中全体向量组成的向量组的极大线性无关组，由于 中任意你n＋1个向量必线性相关，从而 中如果有n个线性无关的向量，它们就构成 的一个极大线性无关组. 而 中确实存在着n个线性无关的向量，由上一章的结论知 在第四章中我们阐明了由有限个n元向量组成的向量组必有极大线性无关组，且极大线性无关组可以不惟一，但其所含向量的个数是该向量组惟一确定的，称为该向量组的秩. 中的n个向量 线性无关 按照这样的观点，下面的例子

6. 都是 的极大线性无关组.从而 的秩为n.在向量空间中 的极大线性无关组和秩这两个概念有专门的术语来定义. 中满足下列条件的向量组 称为 的一组基： 中任意一个向量β均有 ，β线性相关，从而β可经 线性表出. 对 (Ⅰ): (Ⅱ): 定义 ⑴ 线性无关； ⑵

7. 向量空间 的基所含向量个数称为 的维数，记为dim 确定向量空间 的基和维数. 是线性无关的，且 中的任意向量 从而dim 这也是我们把 称为n维向量空间， 中的向量称为n维向量的原因. 此定义其实是说n维向量空间的基是n维向量空间的极大线性无关组，因而n维向量空间的两组基（极大线性无关组）由相同个数的向量组成，我们给这个惟一确定的数下一个定义. 定义 例 解 记 则 均可表为 . 故 为 的一组基（称为常用基）， .

8. 容易看出（欧氏）平面 ，（欧氏）空间 中常用基分别 就是我们熟悉的直角坐标系 从而 因 中任意n+1个向量必线性相关，所以有 的一组基. 中任意n个线性相关的向量均可作为 设 中任何一个向量 是 的一组基.据基的定义可知， 均可经 其中 是惟一确定的， 故可称为向量 在基 下的坐标，记为 注记 向量α 在基(Ⅰ)： 命题 下面来讨论基在向量空间中的作用. 线性表示，且表示方法惟一.即 下的坐标是与基向量 的书写次序有关的.

9. ，则(Ⅱ)也是 中不同的基.基的这种“有序”性在下文两组基的过渡矩阵 中，设向量 例 在向量空间 的常用基 下的坐标. 在 是 的一组基，且求出 在 故 在 例如将(Ⅰ)改写为(Ⅱ)： . 在基(Ⅰ)下的坐标为 的一组基，然而 ，在基(Ⅱ)下的坐标为 这表明基是与基向量书写的次序有关的，基(Ⅰ)与基(Ⅱ)是 的讨论中也显现出来，读者在做相应习题时要注意这一点. （1）求 （2）设 证明： 下的坐标. 解 （1） 下的坐标为

10. 的一组基.设 在 下的坐标为 （2）因 所以 中任意3个线性无关的向量均是 的一组基。现在 . 的行列式为 所以 线性无关，从而他们是 从该例子讨论中看到在向量空间中，一般说来同一个向量在不同基下的坐标是不同的.下面就来研究随着基的改变，向量坐标的变化规律. 则 即 解得

11. 这里A是由 作为列向量构成得矩阵，b是 因 是基时，任意一个向量在 下的坐标是惟一确定的. 的两组基， 与(Ⅱ)： 是 向量 经基(Ⅰ)线性表示为 以 在基(Ⅰ)下的坐标作为列向量构成的矩阵 实际上上个例题是在解线性方程组 . 利用克拉默法则知道有惟一解.这再次表明：当 定义 设(Ⅰ)：

12. 因为 为 的基，所以当然有 这个过渡矩阵在基与基之间 以及不同基下的坐标之间有 什么样的用处呢？ . 称为基(Ⅰ)到基(Ⅱ)的过渡矩阵. 借用矩阵表示形式有 所以上式两边取行列式可推得 所以过渡矩阵M为可逆矩阵.

13. 定理 设(Ⅰ)： 与(Ⅱ)： 的 是 中的一个向量， 是 在基(Ⅰ)，基(Ⅱ)的坐标分别为 两组基，M是基(Ⅰ)到(Ⅱ)的过渡矩阵, 则有 证 据题设有

14. 均为 和 例 在向量空间 在基(Ⅰ)下的坐标为 求 在基(Ⅱ)下的坐标 这意味着X与 在基(Ⅰ)下的坐标，据坐标惟一性得 . 由M可逆可推出 常称为基变换公式， 称为坐标变换公式. 中，设有两组基(Ⅰ)： (Ⅱ)： • 求基(Ⅰ)到基(Ⅱ)的过渡矩阵. • 若向量 . 解 （1）设基(Ⅰ)到基(Ⅱ)的过渡矩阵为M，则有

15. 现在记 . 则问题归结为求线性方程组 故有 故 （2）据坐标变换公式 ，同样由初等行变换的方法

16. 例 设在向量空间 求 在基(Ⅱ)下的坐标 . 故 中有两组基(Ⅰ)： (Ⅱ)： （1）求基（Ⅰ）到基(Ⅱ)的过渡矩阵. （2）设 在基（Ⅰ）下的坐标为 解 （1）因 在基（Ⅰ）下的坐标分别为

17. 所以 在基(Ⅱ)下的坐标 根据过渡矩阵的定义可以知道，基（Ⅰ）到基(Ⅱ)的过渡矩阵为 . ，相当于解线性方程组 （2）利用坐标变换公式

18. §5.3子空间 在（欧氏）空间 中，考虑一个通过坐标原点的平面 容易看出 这就是说 在一方面是 自身对于 的一部分（子集合），同时 的运算也构成了向量空间.本节将研究向量空间中这样的子集合. 的一个向量 的一个非空子集W称为 定义 数域P上向量空间 子空间（简称子空间），如果W关于 的两种运算也构成数域P 上的向量空间. 据此上述 就是 的一个子空间. 我们来分析一下 的一个子集合W要满足什么条件才能称为 1 W是 的非空子集； 2 对任意的 有 （加法封闭）； 上的所有向量的加法和数乘也构成一个R上的向量空间. 的子空间.按定义W应满足：

19. ，对任意的 有 中的向量，故关于 首先要指出的是W中向量也是向量空间 的加法和数乘下当然适合8条运算规律中的（1）、（2）、 是否成立，即是否有 ？及当 时是否有 ？ 而这只要注意到 于是有下列定理 故若（3）成立就能导出 向量空间 的一个非空子集W，若关于 的加法和数乘 封闭，则W就是 这结果使得检验 的非空子集 W是否构成子空间非常简便。 3 对任意的 （数乘封闭）； . 4 适合该章第一节的8条运算规律. （5）、（6）、（7）、（8）.进而考察运算规律中的（3）、（4） 定理 的一个子空间。

20. 例 在向量空间 中，由零向量单独组成的集合 ，及 的子空间。这两个子空间称为 自身均为 的平凡子空间， 例 在（欧氏）空间 中，设 是 平面， 是 平面，它们都是通过坐标原点 的平面，故 均是 的子空间，而 是 数乘封闭，故是 的子空间。注意到 的子空间， 也是 的子空间。 也是 的非空子集称为 子空间的是（ ） . 而其他子空间称为非平凡子空间（或真子空间）。 注意到 轴，它对加法、 所以 例 下述 （A）

21. 但 这表明 关于加法不封闭，故 的子空间.类似可以证明 不是 也不是子空间.取 但 这表明 不是 关于加法和数乘封闭，任取 （B） . （C） （D） 解 取 关于数乘不封闭，所以 的子空间.下证 则 从而 适合

22. 故 而 也适合 故 所以 是 从几何上看 是 中过原点的平面， 不是 矩阵，则齐次线性方程组AX=O的解 是 . 的子空间.因此该题选 D 注记 中过原点的平面，前着是子空间，后者不是子空间. 下面将介绍一类重要的子空间. 性质 设A是数域P上 向量的全体 的一个子空间. 证 首先由AX=O必有零解知，零向量 则 所以W非空，其次若

23. 的一个子空间. 即W对加法和数乘封闭。因此W是 设A是数域P上 矩阵，且秩（A）=r，则齐次线性 的一个子空间，且 方程组AX=O的解向量的全体W是 从而 这表明 . 类似可证明对任意的 有 由此我们将W称为齐次线性方程组AX=O的解空间. 向量空间的子空间自身也是向量空间，故有基和维数，当 时，规定 下面来讨论AX=O的解空间的基和维数. 我们已经知道齐次线性方程组AX=O有基础解系，基础解系是 AX=O全体解向量W的极大线性无关组.按现在观点基础解系就 是AX=O的解空间的一组基，且可叙述成下面的性质 性质

24. W中任意n-r个线性无关的解向量都可作为W的一组基，W中任意n-r个线性无关的解向量都可作为W的一组基， . 基础解系中的 就是W的一组基. 例 求齐次线性方程组 的解空间W的维数和一组基. 解 用初等行变换化系数矩阵A为阶梯形矩阵.

25. 由秩（A）=2知， . 一组基可取线性方程组的一个基础解系：

26. §5.4、 的内积和标准正交基 至今我们已经讨论了向量空间 的一些性质和结构，而我们 熟悉的（欧氏）空间 （欧氏）平面 的一些良好的性态能拓广到向量空间 尚没有 所具有的向量的度量（如长度、正交）性质.但向量 ）向量的长度与正交等度量性质都可以通过向量 所以取内积作为基本概念，在实数域R上的向量空间 中导入 . 可作为向量空间最好的 背景和模型.我们自然希望 中去，但迄今向量空间只有向量的运算（如加法、数乘）性质， 的度量性质在许多问题（其中包括几何问题）有着特别重要的地位，因而有必要在向量空间中引入度量的概念.在解系几何中，几何空间（即 的内积（或称数量积）来表示.而向量的内积有明显的代数性质， 内积，建立起具有度量的欧氏空间。

27. 中的任意两个向量 实数域R上的向量空间 定义了内积的向量空间 称为欧几里得(Euclid)空间，简称为 例 在欧氏空间 中，设 定义 . 称 称为向量α与β的内积. 欧氏空间. 求 与 解

28. 欧氏空间 的内积适合 这里 且 是 中任意向量， k是任意实数. 则 性质 . （1） （2） （3） （4） 我们只对性质（4）作说明，其余可由定义直接得到。 所以 设 且

29. 由于内积的性质 设α 为欧氏空间 的一个向量，则非负实数 称为向量α 的长度，记为 所以对欧氏空间中任意向量α 而言 是实数，故可借此引入向量长度的概念. 定义 此定义下有 这样定义的长度和几何空间中的向量长度是一致的，且符合 熟知的性质： 此处 长度为1的向量称为单位向量，若 我们知 的长度的倒数去乘向量 就是一个单位向量.用非零向量 ，得到一个与 同方向的单位向量，通常把这过程称为把向量 单位化（或标准化）.

30. 设 则称 α与β 正交（或互相垂直），记为 例 在欧氏空间 这表明 中这种基就构成直角坐标系.而直角坐标系使用 下面用内积来引入向量另一个度量概念. 定义 是欧氏空间两个向量，若 中常用基为 直接计算知 中常用基是两两正交长度为1的向量组成. 特别地在 起来特别方便，所以下面就研究有这种性质的基.我们先引入 一个概念.

31. 欧氏空间 的一组两两正交的非零向量称为 设 是欧氏空间 证 设有一组数 使得 用 时有 故 从而 如 定义 . 的一个正交向量组. 性质 的一个正交向量组，则 线性无关. 与等式两边的向量作内积，利用 可得： 因为 线性无关. 这就证明了 注意 本性质的逆命题不成立，即线性无关的向量组未必是 正交向量组. 中的 就是线性无关但是非正交的向量组。这同时说明正交向量组 的概念比线性无关向量组更强.

32. 在 据此，在欧氏空间 为 定义 中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基， . 由单位向量组成的正交基，称为标准正交基（或规范正交基）. 容易看出如有了正交基，则对其单位化即可得到标准正交基. 而常用基 就是一组标准正交基. 据定义有 为一组标准正交基 是否标准正交基 中检验一组基 可如下进行： 有 记 利用 的一组标准正交基

33. 在欧氏空间 . 对具有这样性质的矩阵我们专门下个定义 定义 n阶实矩阵A称为正交矩阵，若 据此定义有下述性质 性质 为标准正交基 中， 为正交矩阵. 欧氏空间中标准正交基的作用可从下述性质略见一二.

34. 设 为 性质 的一组标准正交基，向量 . 在该基下坐标分别为 （1） （2） （3） 证 （1）利用 直接计算有 （2） （1）中取 即得. （3）

35. 例 设欧氏空间 是 求 及 中 . （1）证明： 的一组标准正交基. （2）若 解 （1）方法一 计算 由定义直接推出结论. 方法二 记 因 所以结论也成立.

36. 方法二 利用上述性质，求出 (2) 由（1）知， 是标准正交基， 在该基下坐标为 . 所以有 计算 有两种方法. 方法一 故 在标准正交基 下坐标为

37. 上述表明使用标准正交基在计算中确有方便之处.然而在上述表明使用标准正交基在计算中确有方便之处.然而在 . 从而 中不是所有的基都是标准正交基，我们指出：欧氏空间的任何 一组基均可以改造成标准正交基. 介绍这个结论要涉及一个概念. 定义 若向量组 中每一个向量都可经向量组 线性表示，则称向量组 可经向量组 线性表示.若两个向量组可以互相线性表示， 则称这两个向量组等价.

38. 例 用施密特正交法将 定理 都可以 对于n维欧氏空间中任意一组基 与 找到一组标准正交基 且使得 等价， （证明略，详见教材） 下面通过一个例子来给大家介绍如何用施密特正交法把任意一组基化为与之等价的标准正交基. 的一组基 改造成一组标准正交基. 解 取

39. 就是所求的 ，欧氏空间是指 至此我们所讨论的向量空间是指 和 再单位化得 的一组标准正交基. 其实 仅仅是向量空间和欧氏空间的一个具体背景，一般的 向量空间（称为线性空间）和欧氏空间范围更为广泛，有兴 趣的读者可以参考教材的附录六.

40. §5.5概要与小节 1．我们是从（欧氏）平面 （欧氏）空间 的.向量空间最基本，也是最重要的概念是 而引入向量空间 2．附录六已阐明向量空间 仅仅是线性空间的一个背景，也 . 向量空间 经概括，拓广 它的基和维数.如我们知道了向量空间W的维数为r，一组基为 ，则W中的任一向量无非是 的线性组合， 即 而关于n元向量之间的线性关系和性质实际上都可归结为方程组 的理论来解决. 就是说可以从n元向量、矩阵、多项式、一元单值函数、数域 更为广泛的背景上来进行概括、升华。即把这些从表面上看起 来很不相同的数学研究对象（代数系统），摒弃了它们的一些

41. 中的n元向量，据上述1，坐标的线性 这表明向量空间 就知道了有限维线性空间， 也无妨。 具体的个别的属性，抽象出它们共有的属性：一个非空集合， 两个封闭的运算，8条运算规律，以公理化的方式建立起数域P 上线性空间的概念。我们原先熟悉的n元向量、矩阵、多项式、 一元单值函数、数域都是具体的线性空间，而一般的线性空间 范围更为广泛，当然也较为抽象。为了研究较为抽象的一般的 线性空间我们指出：在n维线性空间中向量间的线性关系（线性 相关，线性无关等）可由这些向量的坐标的线性关系来确定。 而这些向量的坐标就是 . 关系都有具体方法使之得以解决。 具有特殊地位：一方面它是一个具体的线性 空间，其运算可以具体计算，性质和结构都教清楚；另一方面 它又是一般n维的线性空间的代表，n维线性空间中的问题可通 过它得以解决。故可以认为掌握了 所以本书的正文只讨论向量空间

42. 为代表的。 就是这样的代表.在 中，向量的 我们最熟悉的几何空间 中向量！）代替该向量来研究，即可将V中问题 化为 中问题而得以解决。 欧氏空间 1．欧氏空间是特殊的向量空间，更确切地说是特殊的线性空间， 即具有内积的实线性空间。任何一个有限维实线性空间总可以适 当定义内积使之成为欧氏空间。n维欧氏空间是以 . 内积、长度、正交都可具体计算而得。在附录六中已阐明一般的 n维欧氏空间V中，只要取一组标准正交基后，以V中向量在这组 基下的坐标（ 2．欧氏空间是特殊的向量空间（线性空间），故它不仅具有向 量空间（线性空间）所有的性质，而且有其特殊性质，如度量 性质。这就使得在欧氏空间中可有比一般向量空间（线性空间） 更强的性态，例举如下：

43. 是否为零向量有一个独特 （向量空间）线性空间 欧氏空间 . （1） 线性无关向量组 正交向量组 （2） 基 标准正交基 3．在欧氏空间中要判断一个向量 的方法：计算 因由内积正定性有： 推而广之在欧氏空间中为证明表达式 只要计算出 即可.

44. 是n维欧氏空间 是 中向量 的一组基。所以 例 设向量 的一组基，证明：若 . 使得 则 证 因 可表为 利用 有 从而