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I.T.C.G. MOSE' BIANCHI - MONZA

I.T.C.G. MOSE' BIANCHI - MONZA. FUNZIONI GONIOMETRICHE: SENO, COSENO, TANGENTE & COTANGENTE. by ITALIANO MANUEL A3 GEOMETRI DIURNO A.S. 2000/2001. INDICE. Circonferenza goniometrica Seno di un angolo Coseno di un angolo Tangente di un angolo Cotangente di un angolo

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Presentation Transcript

  1. I.T.C.G. MOSE' BIANCHI - MONZA

  2. FUNZIONI GONIOMETRICHE: SENO, COSENO, TANGENTE & COTANGENTE by ITALIANO MANUEL A3 GEOMETRI DIURNO A.S. 2000/2001

  3. INDICE • Circonferenza goniometrica • Seno di un angolo • Coseno di un angolo • Tangente di un angolo • Cotangente di un angolo • Segno delle funzioni goniometriche • Relazioni fondamentali

  4. CIRCONFERENZA GONIOMETRICA Circonferenza con centro nell’origine e avente per raggio il segmento di misura 1; la sua equazione è: x2 + y2 = 1. Sia dato un angolo orientato (in senso antiorario) , chiameremo il punto B punto associato all’angolo  sulla circonferenza goniometrica.

  5. SENO DI UN ANGOLO Si dice seno di un angolo  l’ordinata del punto associato ad  nella circonferenza goniometrica. Quindi: sen  = yB = BH. Al variare dell’angolo  il seno assume valori appartenenti all’intervallo [-1; 1].

  6. GRAFICO DELLA FUNZIONE y=senx Il grafico della funzione y=senx si chiama sinusoide. Il seno è una funzione periodica con periodo uguale a 360°, cioè: sen( + k360°) = sen  (k Z).

  7. COSENO DI UN ANGOLO Si dice coseno di un angolo  l’ascissa del punto associato ad  nella circonferenza goniometrica. Quindi: cos  = xB = OH. Al variare dell’angolo  il coseno assume valori appartenenti all’intervallo [-1; 1].

  8. GRAFICO DELLA FUNZIONE y=cosx Il grafico della funzione y=cos x si chiama cosinusoide. Il coseno è una funzione periodica con periodo 360°, cioè: cos( + k360°) = cos  (k  Z)

  9. TANGENTE DI UN ANGOLO Si definisce tangente dell’angolo  l’ordinata del punto T d’intersezione tra il secondo lato dell’angolo e la retta tangente alla circonferenza goniometrica nel punto A : tg  = yT = AT. I triangoli OTA e OBH sono simili, quindi: AT : OA = HB : OH, Ma OA = 1, AT = tg , HB = sen  e OH = cos ; perciò:

  10. GRAFICO DELLA FUNZIONE y=tgx Se cos  = 0, quindi se  = 90° + k180° (k  Z) la tangente non esiste. La tangente è una funzione periodica con periodo 180°, cioè: tg ( + k180°) = tg  (k  Z).

  11. COTANGENTE DI UN ANGOLO Si definisce cotangente dell’angolo  l’ascissa del punto S d’intersezione tra il secondo lato dell’angolo e la retta tangente alla circonferenza goniometrica nel punto C : cotg  = xS = CS Poiché i triangoli OCS e OBH sono simili, risulterà che

  12. GRAFICO DELLA FUNZIONE y=cotgx Se sen  = 0, quindi per  = k180° (k  Z), la cotangente non esiste. La funzione cotangente è periodica di periodo 180°, cioè: cotg  = cotg( + k180°) con k  Z.

  13. ANGOLI DI 45° sen 45° = yB = HB e cos 45° = xB = OH; OA = OB = 1. Essendo OHB un triangolo rettangolo isoscele, è HB = OH. Per il teorema di Pitagora, applicato al triangolo OHB, si ha:

  14. SEGNO DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE

  15. RELAZIONI FONDAMENTALI Consideriamo una circonferenza ed un angolo orientato  (vedi D4). Sia B il punto ad esso associato. Poiché il punto B appartiene alla circonferenza di equazione x2 + y2 = 1, le sue coordinate devono soddisfare a tale equazione. Si avrà dunque, qualunque sia l’angolo , (sen )2 + (cos )2 = 1, cioè: sen2  + cos2  = 1. • La somma dei quadrati del seno e del coseno di uno stesso angolo è uguale all’unità. • Il rapporto tra seno e coseno di uno stesso angolo è uguale alla tangente dell’angolo stesso.

  16. ANGOLI ASSOCIATI • Angoli opposti • Angoli supplementari • Angoli che differiscono di 180° • Angoli esplementari • Angoli complementari

  17. ANGOLI OPPOSTI Due angoli sono opposti quando la loro somma è zero. cos(-x) = cos x sen(-x) = -sen x tg(-x) = -tg x cotg(-x) = -cotg x Angoli opposti hanno coseno uguale, seno, tangente e cotangente opposti.

  18. ANGOLI SUPPLEMENTARI Due angoli si dicono supplementari quando la somma delle loro misure è uguale a 180°. Le loro funzioni saranno pertanto: cos (180°- ) = -cos , sen (180°- ) = sen , tg (180°- ) = -tg , cotg (180°- ) = -cotg . Angoli supplementari hanno seno uguale e coseno, tangente e cotangente opposti.

  19. ANGOLI CHE DIFFERISCONO DI 180° • sen (180° + ) = -sen  • cos (180° + ) = -cos  • tg (180° +  ) = tg 

  20. ANGOLI ESPLEMENTARI • sen (360° - ) = -sen  • cos (360° - ) = cos  • tg (360° - ) = -tg 

  21. ANGOLI COMPLEMENTARI Due angoli si dicono complementari quando la somma delle loro misure è uguale a 90°. sen (90° - x) = cos x cos (90° - x) = sen x tg (90° - x) = cotg x cotg (90° - x) = tg x Il coseno, il seno, la tangente e la cotangente di un angolo sono rispettivamente uguali al seno, coseno, cotangente e tangente del suo complementare.

  22. VALORI DI ANGOLI NOTEVOLI

  23. ESERCIZI SVOLTI • sen150° = sen (180°- 30°) = sen30° = 0,5 • cos120° = cos (180°- 60°) = - cos60° = - 0,5 • tg135° = tg (180°- 45°) = - tg45° = -1 • cos300° = cos (360°- 60°) = cos60° = 0,5 • cos1260° = cos (3 * 360°+ 180°) = cos180° = -1

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