Vacker och spännande matematik

1. Vacker och spännande matematik Lars-Erik Persson Luleå Tekniska Universitet http://www.ltu.se/inst/mat/staff/larserik

2. Den Gyllene Kunskapstriangeln Kunskap Själv-förtroende Intresse

3. Oväntade och vackra resultat väcker intresse….

4. 10 10 10 10 2358 7614 7 8 5 6 3 4 2 1 6174 6174 - - 1 2 3 4 5 6 7 8 6 6 1 1 7 7 4 4 Den magiska attraktorn

5. 10 10 10 10 6642 6 7 6 6 4 4 2 1 6174 - - 2 1 4 4 6 6 7 6 6 4 1 1 7 7 6 4 Den magiska attraktorn

6. 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 7218 8 9 6 7 7 9 6 6 4 7 4 2 4 6 4 3 1 2 3 1 6174 - - - - - 3 1 3 2 1 4 6 2 4 4 7 6 6 4 9 8 9 6 7 7 3 6 4 6 7 9 2 4 1 1 6 9 4 7 7 4 3 4 6 6 Den magiska attraktorn

7. Den magiska attraktorn • Välj nu ditt eget favorittal (ej alla siffror lika) och räkna på! • Gäller detta alltid? Ja, man kommer alltid till det magiska talet 6174 efter högst 7 upprepningar! • Vad händer om du gör samma sak med 3-siffriga eller 5 siffriga tal?

8. 6174 Den magiska attraktorn - historik Talet kallas för Kaprekars tal efter den indiska matematikern D.R. Kaprekar (1905-1986), som upptäckte egenskaperna hos talet år 1949.

9. Den magiska attraktorns pedagogiska värde

10. Fibonaccis kaninproblem 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144… = Fibonaccitalen http://www.bbc.co.uk/radio4/science/5numbers3.shtml

11. Pentagon

12. Pentagon och det gyllene snittet Förhållandet mellan längden av en diagonal och en sida är det Gyllene snittet Upprepa proceduren i den inre (mindre) pentagonen och du får en ny femuddig stjärna (Självlikformighet)

13. Leonardo da Vinci - Nattvarden a b

14. Gyllene snittet hos människan

15. En gyllene rektangel Höjden är sidan och basen diagonalen i en Pentagon, dvs. proportionerna är det gyllene snittet http://www.codefun.com/Geometry_golden1.htm

16. a b Gyllene snittet: sätt

17. Att förstå på flera olika sätt (flera sinnen) väcker intresse…

18. a b a b Räkneregler ba aa=a2 ab b2

19. 5 3 4 ”Snickartriangeln” (9+16=25)

20. c b a Pythagoras sats

21. Finns det fler ”Snickartrianglar”? Ja tex: a = 5, b = 12, c = 13 52 + 122 = 132 (25 + 144 = 169) men även a = 99, b = 20, c = 101 (9801 + 400 = 10201)

22. Finns det fler ”Snickartrianglar”? I själva verket finns det oändligt många snickartrianglar tex. alla tal av typen: a = m2 – n2 b = 2mnm > n c = m2+ n2 n = 1,2,… är snickartrianglar eftersom a2 + b2= (m2- n2)2 + (2mn)2 = m4– 2m2n2 + n4 + 4m2n2 = m4 + 2m2n2 + n4 = (m2 + n2)2 = c2 Exempel: m = 2, n = 1 ger a = 3, b = 4, c = 5 m = 3, n = 2 ger a = 5, b = 12, c = 13 m = 4, n = 3 ger a = 7, b = 24, c = 25 m = 10, n = 1 ger a = 99, b = 20, c = 101

23. Pythagoras sats

24. Ett ”vackert” bevis Pythagoras sats: a2 + b2= c2 ”Ytan av stora Kvadraten” (a+ b)2= c2 +4(ab)/2 a2 +2ab +b2 = c2 +2ab a2 +b2 = c2

25. Fermats gåta Finns det heltal a, b, c som uppfyller a3 + b3 = c3 ? Svar: NEJ! Finns det heltal a, b, c som uppfyller a4 + b4 = c4 ? Svar: NEJ! osv….

26. Fermats gåta P. Fermat påstod för mer än 350 år sedan att han bevisat att det inte finns några heltal a, b, c som uppfylleran+ bn = cn för n = 3,4,5..osv Påståendet var sant men kunde bevisas först 1995 av A. Wiles

27. Lösning av spännande problem väcker intresse…

28. Födelsedagsproblemet Hur stor är sannolikheten för att minst två personer i en grupp med n personer har födelsedag samma dag? 28

29. För sannolikhet 1 krävs minst 367 personer! Födelsedagsproblemet 29

30. Lösning födelsedagsproblemet 30

31. Schackbrädesproblemet Schackbrädet har 64-2 = 62 rutor Kan vi täcka alla rutor med 31 dominobrickor ? Svar: Nej! (Ledning: 32 svarta 30 vita rutor, en dominobricka täcker en svart och en vit…) Schackbräde utan två hörn 31

32. Snabbräkning på Gauss vis C.F. Gauss (1777-1855) fick följande problem som 10-åring 32

33. Snabbräkning på Gauss vis Gauss blixtsnabba lösning… (svar 5050) (100·101)/2 = 5050 33

34. Plattproblemet • Antal plattor = N • Hur långt om N = 1 ? • L = ½ • Hur långt om N = 2 ? • L = ½ + ¼ = ½ (1+½) • . • . • . • Hur långt om N är godtyckligt ? • L = ½ (1+ ½ + 1/3 + … + 1/N) Exempel: N = 3 L = 11/12 N = 4 L = 25/24 N = 100 L ~ 2.6 N = 1000 L ~ 3.8

35. Spännande exempel från modern matematik väcker intresse…

36. Von Kochs snöflingekurva Ett exempel på en (fraktal) figur som har oändlig omkrets men ändlig innesluten area. Area på snöflingan är 8/5 gånger så stor som bastriangelns area. Längden av kurvan efter n steg = (4/3)n

37. Fler fraktaler….Juliamängder och Mandelbrotmängd Mandelbrotmängden kan ses som ett register där varje punkt ger en Juliamängd.

38. Fler fraktaler….Juliamängder och Mandelbrotmängd • Den vanligaste Juliamängden fås ur den rekursiva ekvationen • f(z) = z2 + c där • z = en punkt i komplexa talplanet och • c = är en punkt i Mandelbrotmängden • Den franska matematikern Gaston Julia gjorde sin fundamentala upptäckt redan 1918. • Benoît B. Mandelbrot upptäckte sin mängd först 1976. (Varje c i Mandelbrotmängden ger en Juliamängd).

39. Fler fraktaler…. Exempel på Juliamängder = två sidor i min bok med oändligt många sidor

40. En resa in i Seahorse Valley…

41. Möbiusband Ett möbiusband har bara en yta och en kantlinje! Den kan konstrueras genom att en av ändarna på en lång rektangulär remsa vrids ett halvt varv, innan ändarna sätts ihop. 41

42. Denna typ av ytor är uppkallade efter den nederländske matematikern och astronomen August F. Möbius (1790-1868). Han beskrev den ungefär samtidigt som en annan matematiker, Johann Benedict Listing, år 1858, men de gjorde det oberoende av varandra. Möbiusband 42

43. Möbiusband …i tekniska tillämpningar

44. Möbiusband …i konsten ”Endless ribbon” av M. Bill 1935

45. Möbiusband …i konsten ”Immortality” av J. Robinson

46. Möbiusband …i konsten ”We have died and gone to Mobius heaven” av Teja Krasek & Cliff Pickover

47. Möbiusband …som frimärksmotiv

48. Referenser Bergius, Berit & Emanuelsson, Lillemor, Hur många prickar har en gepard?: unga elever upptäcker matematik, Nationellt centrum för matematikutbildning (NCM), Göteborg, 2008 Blatner, David, π - det fantastiska talet, Svenska förl., Stockholm, 1998 Dahl, Kristin, Den fantastiska matematiken, Fischer, Stockholm, 1991 Enzensberger, Hans Magnus, Sifferdjävulen: en bok att stoppa under huvudkudden, för alla som är rädda för matematik, Alfabeta, Stockholm, 1997 Eriksson, Kimmo & Rydh, Sten, Nöjesmatematik, 1. uppl., Liber, Stockholm, 2003 Helenius, Ola & Wallby, Karin (red.), Människor och matematik: läsebok för nyfikna, Nationellt centrum för matematikutbildning (NCM), Göteborgs universitet, Göteborg, 2008 48

49. Referenser Grevholm, Barbro. Utmaningen. Problem och tankenötter i matematik. Malmö: Liber. 1988 Grevholm, Barbro. Lilla utmaningen. Problem och tankenötter i matematik. Malmö: Liber. 1989 Lundy, Miranda, Den gyllene geometrin, Svenska förl., Stockholm, 2001 Peterson, Ivars, The mathematical tourist: new and updated snapshots of modern mathematics, [New ed], W.H. Freeman, New York, 1998 Singh, Simon, Fermats gåta: så löstes världens svåraste matematiska problem, Norstedt, Stockholm, 1998 Tönisson, Tönis, Högre matematik för poeter och andra matematiska oskulder, Prisma, Stockholm, 1982 Åberg, Leif (red.), Vetenskapens vackra verktyg: matematiken som arbetsredskap, Naturvetenskapliga forskningsrådet (NFR), Stockholm, 1993

50. Den Gyllene Kunskapstriangeln Kunskap Själv-förtroende Intresse Förstå med hela kroppen inte bara med knoppen!