数学预备知识

1. 数学预备知识 第一部分 　 微积分初步 一、函数、导数与微分 (一) 变量、常量和函数 变量――在某种现象或过程中本身的取值会发生变化的量。 常量或恒量――在某种现象或过程中凡取值保持一定的量。

2. 绝对常量---在任何问题中均以确定的数值出现的常量。绝对常量---在任何问题中均以确定的数值出现的常量。 而另有一些常量的数值则需要在具体的问题中确定，这种常量称为任意常量或待定常量。 　常常用字母ｘ、ｙ、ｚ和ｔ等表示变量，用ａ、ｂ、ｃ、ｘ０、ｙ０、ｚ０或ｔ０等表示待定常量或任意常量。

3. 　现有相互联系的两个变量ｘ和ｙ，如果当ｘ在其变域Ψ内任意取定一数值时，ｙ都有确定的值与它相对应，则称ｙ是ｘ的函数。ｘ叫作自变量，函数ｙ又称作因变量，写作　现有相互联系的两个变量ｘ和ｙ，如果当ｘ在其变域Ψ内任意取定一数值时，ｙ都有确定的值与它相对应，则称ｙ是ｘ的函数。ｘ叫作自变量，函数ｙ又称作因变量，写作 y ＝ｆ（ｘ） 变域Ψ为自变量的变化范围，称作函数ｆ（ｘ）的定义域，而所有函数数值则构成ｙ的值域。

4. 　若ｙ为z的函数，y＝ｆ(z)；而z又是变量ｘ的函数，即z＝ｇ (ｘ)，则称ｙ为ｘ的复合函数，记作 ｙ＝φ（ｘ）＝ｆ［ｇ（ｘ）］ 其中z＝g(ｘ)则称为中间变量。

5. (二)　导　数 　　　　 １、极　限 　定义：当自变量x无限趋近某一值xo(记作x→ｘo)时，函数ｆ(x)的值无限趋近于某一确定的值a，则ａ叫做x→ｘo时函数ｆ(x)的极限值，记作

6. 例：函数

7. 实际计算时常用下列方法。 当ｘ≠１时，　　　　　　　　　　 由此可见，当x → 1时ｆ(x)的值趋近３×１+2＝5。根据函数极限的定义，有

8. （二）、导　　数 变量的增量：当变量由一个值变到另一个值时，后者减去前者之差。 设函数y ＝ｆ（ｘ），当自变量ｘ的值由ｘ０变到ｘ１时，其增量为 Δｘ＝ｘ１－ｘ０ 与此相应，函数y也发生一增量Δy＝ｙ１－ｙ０＝ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ０），

9. 又∵Δｘ＝ｘ１－ｘ０，即ｘ１＝ｘ０+Δｘ，∴Δy＝y1 - y0＝ f (x1) – f (x0)＝ f (x0+Δx）－f (x0)，则增量Δy与Δｘ之比为 叫作函数y ＝ｆ（ｘ）在ｘ０到ｘ０+Δｘ之间的平均变化率。 其值反映出函数ｆ（ｘ）在ｘ＝ｘ０附近是增加还是减少；其大小标志着函数ｆ（ｘ）在ｘ＝ｘ０附近增减的快慢。

10. 所以叫作函数 y ＝ｆ（ｘ）在ｘ０到ｘ０+Δｘ之间的平均变化率。 Δｘ愈小，Δｙ／Δｘ就愈能精确地反映出ｆ(x)在ｘ＝ｘ０这一点的变化率。 当Δｘ＝０时，Δy＝０，因此Δｙ／Δｘ＝０／０，但它的极限往往具有确定的有限值。

11. 若当Δｘ→０时，有极限，则称ｆ（ｘ）在ｘ处可导，并把该极限称作ｆ(x)在ｘ处的导数，记作ｆ′（ｘ）也可写做y′，或dy／dx、df／dx、df(x)／dx，于是对于任意的ｘ值有若当Δｘ→０时，有极限，则称ｆ（ｘ）在ｘ处可导，并把该极限称作ｆ(x)在ｘ处的导数，记作ｆ′（ｘ）也可写做y′，或dy／dx、df／dx、df(x)／dx，于是对于任意的ｘ值有 实际上，函数y＝ｆ(ｘ)在ｘ处的导数，就是函数在ｘ附近的平均变化率当自变量增量趋于零时的极限，它反映了在ｘ处函数ｆ(ｘ)随自变量而变的增减趋势和变化快慢。

12. 导数与增量比不同，它是函数在某一点的变化率，而不是在一个区间里的变化率。导数与增量比不同，它是函数在某一点的变化率，而不是在一个区间里的变化率。 在物理学中的瞬时速度和瞬时加速度也可写成导数的形式：

13. 若ｆ′(x)仍是ｘ的函数，可以再取ｆ′(x)对ｘ的导数，这叫做函数ｆ(x)对ｘ的二阶导数，记作ｙ″、ｆ″（ｘ）、d2y ／dx2等等。 如物理学中的瞬时加速度：

14. 基本导数公式如下： １、（ｃ）′＝０，（ｃ为常数）。 ２、（ｘｎ）′＝ｎｘｎ－１（ｎ为实数）。 ３、（sin x）′= cos x。 ４、(cos x)′= - sin x。 ５、(tg x)′= sec 2x。 ６、（ｃｔｇｘ）′＝－ｃｓｃ２ｘ。 ７、（ｌｎｘ）′＝ｘ－１。

15. ８、（ｅｘ）′＝ｅｘ。 ９、（ａｘ）′＝ａｘｌｎａ。 导数的基本运算法则，其中ｕ、υ均为ｘ的函数： １、（ｕ±υ）′＝ｕ′±υ′。 ２、（ｕυ）′＝ｕ′υ＋υ′ｕ； 　　（ｃｕ）′＝ｃｕ′， 　　　　　　　　　　（ｃ为常量）。

16. ３、　　　　　　　（υ≠０）。 (三)　微　分 若函数ｆ（ｘ）在点ｘ处可导，则y＝ｆ(ｘ)在点ｘ处的导数ｆ′（ｘ）与自变量的增量Δｘ的乘积称作函数y＝ｆ(ｘ)在点ｘ处的微分，记作dy， dy ＝ｆ′（x）Δｘ。

17. 将Δx记作dｘ，称作自变量的微分，于是 dy=ｆ′(ｘ)dｘ， 即函数的微分是自变量增量或微分dｘ的线性函数； 　　数图1表示当自变量改变Δx时，函数增量Δy等于函数曲线纵坐标的增量；而dy则为函数曲线切线纵坐标的增量。

19. 数图l中曲线表示ｙ＝ｆ（ｘ）的函数图像。在区间[ｘ０，ｘ０+Δｘ]上取函数增量Δy， Δy／Δｘ为函数在Δｘ上的平均变化率，在数值上等于与Δｘ相对应的函数曲线割线ＰＱ的斜率。 则，函数ｆ（ｘ）在点ｘ０处的导数等于[ｘ０，ｆ（ｘ０）]处ｆ（ｘ）曲线切线的斜率，这就是导数的几何意义。

20. 二、不定积分      　　（一）    原　函　数 当物体沿Ox坐标轴运动时，已知物体的坐标函数ｘ＝ｘ（ｔ），可通过计算该函数对时间的导数求出物体运动的速度。 但现在我们提出一个相反的命题：若已知速度函数 υ(ｔ)，怎样来求该物体运动的坐标函数。换句话说，已知某函数的导数，如何求这个函数？

21. 设ｆ（ｘ）是定义在某一区间上的函数，若存在函数Ｆ(ｘ)，使得在这个区间上的每一点有设ｆ（ｘ）是定义在某一区间上的函数，若存在函数Ｆ(ｘ)，使得在这个区间上的每一点有 Ｆ′（ｘ）＝ｆ（ｘ）， 则称Ｆ(ｘ)为ｆ（ｘ）在该区间上的一个原函数。 例如： ，则 为ｘ的一个原函数；(sin x)′= cos x,，故sin x为cos x的一个原函数。

22. 若Ｆ(ｘ)是ｆ(ｘ)的一个原函数，又若Ｃ为一任意常数。由于Ｃ的导数为零，故Ｆ(ｘ)+ Ｃ也是ｆ(ｘ)的原函数。由此可见，只要函数ｆ(ｘ)有一个原函数Ｆ(ｘ)，它就有无穷多个原函数，彼此间只差一常数，并可统一用Ｆ(ｘ) + Ｃ来表示。 (二) 不定积分 函数ｆ(ｘ)的所有原函数叫作ｆ(ｘ)的不定积分，记作∫ｆ(ｘ)ｄｘ。

23. 用Ｆ(ｘ)表示ｆ(ｘ)的一个原函数，则ｆ(ｘ)的不定积分可写作用Ｆ(ｘ)表示ｆ(ｘ)的一个原函数，则ｆ(ｘ)的不定积分可写作 ｆ(ｘ)称作被积函数，ｆ(ｘ)ｄx称为被积式，ｘ叫作积分变量，∫称为积分符号，而Ｃ则叫作积分常数。 应当这样去理解不定积分∫ｆ(ｘ)ｄx，它代表无穷多个ｘ的函数，所有这些函数之间都只差一个常数，它们的导数都等于被积函数ｆ（ｘ）。

24. 根据不定积分的定义，可给出不定积分的两条性质：根据不定积分的定义，可给出不定积分的两条性质： 前一式表明先对函数ｆ（ｘ）作不定积分再求导数，其结果仍为ｆ（ｘ）；后一式则指出先对Ｆ(ｘ)求导数再作不定积分，所得结果将只与原Ｆ(ｘ)差一常数。

25. 这两条性质说明求不定积分实际上是求导数的逆运算。这两条性质说明求不定积分实际上是求导数的逆运算。 下面列出一些基本的积分公式，其中Ｃ为常数。

27. （三）不定积分的运算法则 １、被积式的常数因子可以提到积分号前面，若常数ｋ≠０，有 ２、两个函数的和（或差）的不定积分等于这两个函数的不定积分的和（或差），即

28. 　　三、定　积　分 　（一）定积分的概念　 (1) 关于曲边梯形的面积　　 在数图3中，由y = f (x)的函数曲线以及直线x = a，x =b和x轴所围成的图形叫作曲边梯形。

29. 为了求曲边梯形的面积，将区间［a，b］分成n等分，每一等分叫作一个子区间，并用Δx = b – a / n 表示各子区间自变量的增量。每一子区间均对应一狭长条面积，这一狭长面积近似等于对应的矩形面积。 用f(ξi)表示在第ｉ个子区间内函数y = f (x)在某一点的取值，则狭长条的面积可用下式近似表示

30. 对所有矩形面积求和，则得到数图3中台阶形的面积，它可作为曲边梯形面积的近似描述，对所有矩形面积求和，则得到数图3中台阶形的面积，它可作为曲边梯形面积的近似描述， 显然，［a，b］区间包含的子区间数目n越多，子区间内自变量的增量越小，则台阶形面积越接近于曲边梯形的面积。

31. 当n→∞而Δx→0时，和式的极限将精确地描述曲边梯形的面积ΔＳ，即当n→∞而Δx→0时，和式的极限将精确地描述曲边梯形的面积ΔＳ，即 （2）关于物体的位移 当物体作匀速直线运动时，很容易根据物体速度υ求出物体在时间ｔ＝ａ至ｔ＝b内经过的位移υ( b－a )。

32. 数图4表示物体作变速直线运动时速度随时间的变化情况，这时应怎样计算物体在时间b－a内的位移？数图4表示物体作变速直线运动时速度随时间的变化情况，这时应怎样计算物体在时间b－a内的位移？

33. 也把区间[ａ,ｂ]分成n个相等的子区间，用Δt = b – a / n 表示子区间内时间的增量，在每一时间间隔Δt内，可近似地认为物体作匀速直线运动，物体的位移近似等于 ξｉ表示在第ｉ个时间间隔内的某一时刻。

34. 物体在时间b－a内的总位移可用下式近似描述 这一和式的几何意义就是物体运动的υ—ｔ图中台阶形的面积。 子区间的数目n越多，各子区间对应的时间增量Δｔ越短，该和式越能精确地反映物体的位移。

35. 当ｎ→∞而Δｔ→０时，和式的极限能够精确描述物体的位移Δｓ，即当ｎ→∞而Δｔ→０时，和式的极限能够精确描述物体的位移Δｓ，即 设函数y = f (x)在区间［ａ，b］上连续，用一系列分点 ａ＝ｘ１<ｘ2< …<ｘｉ－１<ｘｉ<ｘｉ+１…<ｘｎ+１＝ b (1) 将区间［ａ，b］等分为n个子区间，

36. 在每一小区间［ｘｉ，ｘｉ+１］上任取一点ξｉ(ｉ＝1，2，…，n)，和式在每一小区间［ｘｉ，ｘｉ+１］上任取一点ξｉ(ｉ＝1，2，…，n)，和式 当n→∞即Δｘ→０时，和式Ｉｎ的极限叫作函数y = f (x)在区间[ａ，b]的定积分，记作

37. f (x)、f (x)dｘ和ｘ，分别称作被积函数、被积式和积分变量，∫叫作积分符号，ａ和b分别叫作积分下限和积分上限，区间［ａ，b］称为积分区间。 定积分的几何意义就是由函数曲线、自变量坐标轴以及积分上、下限所决定的曲边梯形的面积。

38. (二) 定积分的主要性质 (1)对调积分上下限则定积分改变 　符号： (2)　被积函数的常数因子可以提到积分符号前面，即 （常数ｋ≠０）。

39. (3)　两个函数的和(或差)在[ａ，b]上的定积分，等于这两个函数在[ａ，b]上的定积分的和(或差)，即(3)　两个函数的和(或差)在[ａ，b]上的定积分，等于这两个函数在[ａ，b]上的定积分的和(或差)，即 (4)　如果将区间[ａ，b]分成两个区间[ａ，ｃ]及[ c，b ]，则

40. (三)　牛顿—莱布尼茨公式 通过计算不定积分求得定积分。 设F(ｘ)为函数f (x)在区间[ａ，b]的一个原函数，即Ｆ′(ｘ)＝ｆ(ｘ)，则 这个公式就叫作牛顿—莱布尼茨公式。

41. 它把某函数在一定区间上的定积分和该函数的原函数在该区间的改变量联系起来了。上式提供了计算定积分的基本方法。它把某函数在一定区间上的定积分和该函数的原函数在该区间的改变量联系起来了。上式提供了计算定积分的基本方法。 常把原函数F（ｘ）在区间[ａ，b]的改变量写作　　　，故上式又可写为