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经典统计力学 习题解答（部分）

16-1 ， 16-2 ， 16-3 ， 16-7 ， 16-8 ， 16-9 。. 经典统计力学 习题解答（部分）. 16-1 参考例题 16-2 如果把两个粒子的一个从上能级，一个从下能级转移到中间的能级， 试计算 (1) 分布几率的变化 ;.  3. n 3 = 299.  3. n 3 = 300.  2. n 2 = 1702.  2. n 2 = 1700.  1. n 1 = 1999.  1. n 1 = 2000. 解 : P 1 = g 4000 /2000! 1700! 300!

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  1. 16-1，16-2，16-3，16-7，16-8，16-9。 经典统计力学习题解答（部分）

  2. 16-1 参考例题16-2 如果把两个粒子的一个从上能级，一个从下能级转移到中间的能级， 试计算(1) 分布几率的变化; 3 n3 = 299 3 n3 = 300 2 n2 = 1702 2 n2 = 1700 1 n1 = 1999 1 n1 = 2000 解:P1 =g4000/2000! 1700! 300! P2 = g4000/1999! 1702! 299! P2 / P1 = 1999! 1702! 299! / 2000! 1700! 300! = 1701 1702 / 2000  300 = 4.825

  3. 3 n3 = 576 3 n3 = 577 2 n2 = 1148 2 n2 = 1146 1 n1 = 2276 1 n1 = 2277 (2) 对于例题16-3中求出的最可几配分，重复上述计算。 解: P1 =g4000/2277! 1146! 577! P2 = g4000/2276! 1148! 576! P2 / P1 = 2276! 1148! 576!/ 2277! 1146! 577! = 1147 1148 / 2277  577 = 1.002

  4. 16-2 当例题16-3的系统处于统计平衡时，试确定它的温度。假定ε= 0.02 eV。 解: e - = 0.5034  - = ln 0.5034 T = -  / k ln 0.5034 = - 0.02/( 8.6178  10-5  ln 0.5034 ) = 338 K

  5. 16-3 一个粒子系统的可能的粒子能量为 0，ε，2ε，3ε…nε，… (1)证明这系统的配分函数( gi = 1)为 Z = ( 1 - e -ε/kT ) -1 解: Z =  gi e -Ei / kT = ( 1 + e -ε/kT+ e -2ε/kT+ …… ) = ( 1 - e -ε/kT ) -1

  6. (2)计算粒子的平均能量 E平均 = kT2 d(lnZ)/dT = - kT2 d[ln( 1- e -ε/kT ) ]/dT = εe -ε/kT / ( 1- e -ε/kT ) (3) 试求当ε 比 kT 小很多时平均能量的极 限值 ε<< kT 时, e -ε/kT 1 1 - e -ε/kT ε/kT E平均 = ε/ ε/kT = kT

  7. 16-7 导体中自由电子的运动可看作类似于理想气体分子的运动(称电子气)。设导体中共有N个自由电子，其中电子的最大速率为 vF，电子在速率 v → v + dv 之间的速率分布为: dN/N= (4πA/N) v2dv vF ≥ v ≥ 0 dN/N= 0 v ＞ vF 式中A为常数。试求： (1) 用N，vF 定出常数 A 解: 归一化条件 1=  dN/N= oVF(4πA/N) v2dv = 4πAvF3/3N  A = 3N / 4πvF3

  8. (2) 证明电子气中电子的平均动能为 E平均 = ( 3 / 5 )( mvF2/ 2) E平均 =  (mv2/ 2) dN / N =  (mv2/ 2)(4πA/N) v2dv = o VF 2πm A v4 / N dv = 2πm A vF5 / 5N = 2πm ( 3N / 4πvF3 ) vF5 / 5N = ( 3 / 5 )( mvF2/ 2)

  9. 16-8 试证明每秒碰到单位面积器壁上的理想气体分子数为 n v / 4，其中 n 为单位体积内的气体分子数， v为气体分子的平均速率。 解：单位体积内，速度为 vx → vx + dvx 的分子在 1 秒钟与dA 碰撞的数目为： vx dA dn(vx) = vx dA n f(vx) dvx 每秒碰撞单位面积器壁上，速度为 vx → vx + dvx 的分子数为 nvxf(vx)dvx = nvx(m/2kT)1/2exp(-mvx2/2kT)dvx

  10. 碰撞总数 = o nvx(m/2kT)1/2exp(-mvx2/2kT)dvx = n (m/2kT)1/2o  vxexp(-mvx2/2kT)dvx = n (m/2kT)1/2 kT/m = n (kT/ 2 m)1/2 = n ( 8kT/  m)1/2 /4 = n v / 4

  11. f (v) v 2000 m/s 16-9 图示的两条 f(v)～v 曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克斯违速率分布曲线。由图上数据试问氢气和氧气的分子最可几速率分别为多少? 解：vP = (2kT/m)1/2  m -1/2  m(H2) < m(O2)  vP (H2) > vP (O2) 故 vP (H2) = 2000 m/s vP (O2) / vP (H2) = m(H2)1/2 /m(O2)1/2  vP (O2) = ( 2/32 ) 1/2 vP (H2) = 500 m/s

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