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RECURSIVITE

Licence Informatique Algorithmique sur les données Françoise Greffier. RECURSIVITE. Sommaire. Introduction et intérêt Pile des contextes (Factorielle) Arbre des appels (tours de Hanoi) Elimination de la récursivité Elimination : premier modèle Elimination : deuxième modèle

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  1. Licence Informatique Algorithmique sur les données Françoise Greffier RECURSIVITE Françoise Greffier -Licence informatique - Besançon

  2. Sommaire • Introduction et intérêt • Pile des contextes (Factorielle) • Arbre des appels (tours de Hanoi) • Elimination de la récursivité • Elimination : premier modèle • Elimination : deuxième modèle • Elimination : troisième modèle Françoise Greffier -Licence informatique - Besançon

  3. LA RECURSIVITE Définition La récursivité est un procédé pour lequel dans une définition apparaît la définition elle même. Quand ? • Suite récurrentes (exemple : factorielle) • Type récursifs Liste non vide = premier + liste Arbre binaire= racine + sous-arbre droit + sous-arbre gauche • Définitions récursives Grammaire : <E> ::= + (<E>,<E>) <E> ::= * (<E>,<E>) <E> := Nombre || identificateur Françoise Greffier -Licence informatique - Besançon

  4. FONCTION FACTORIELLE intfact (int n){ if (n = = 0) return 1; elsereturn (n * fact (n-1)); } Règle récursive : fact(n) = n * fact (n-1) Condition d’arrêt : fact (0) =1 Françoise Greffier -Licence informatique - Besançon

  5. PILE DES CONTEXTES • A chaque appel d’une fonction récursive, les arguments transmis par valeur et les variables locales sont empilés. • Ces valeurs constituent le contexte d’activation de l’appel. • A chaque retour le contexte situé en haut de la pile est disponible • Les contextes sont indépendants Françoise Greffier -Licence informatique - Besançon

  6. N° appel N° retour Contexte Action EXECUTION DE FACTORIELLE(3) 1(empiler) N=3 N*fact(2) 2(empiler) N=2 N*fact(1) 3(empiler) N=1 N*fact(0) 4(empiler) N=0 Return(1) (dépiler) =>3 N=1 Return (1*1) (dépiler) => 2 N=2 Return (2 *1) (dépiler) => 1 N=3 Return (3 *2) (dépiler) Pile vide Retour au point appelant Françoise Greffier -Licence informatique - Besançon

  7. ALGORITHME RECURSIF AVANTAGES Fiabilité : Solution naturelle et facile à concevoir : • si la fonction est récursive • quand la structure de données traitée est récursive Exemples : • Traitement sur les arbres • Tours de Hanoï Françoise Greffier -Licence informatique - Besançon

  8. Socle C Socle B Socle A Les tours de Hanoï Problème Problème : Soit n tours de tailles décroissantes sur un socle A, transférer les n tours sur le socle B en utilisant un socle intermédiaire C. Déplacement d’une tour : on ne peut empiler qu’une tour de plus petite taille sur une autre tour Françoise Greffier -Licence informatique - Besançon

  9. Paramétrage void Hanoi(int n, socle& A, socle& B, socle&C); n : nombre de tours A : socle de départ (valeur initiale : suite de n tours décroissantes) B : socle de d’arrivée (valeur initiale : vide) C : socle intermédiaire (valeur initiale : vide) Françoise Greffier -Licence informatique - Besançon

  10. Socle B Socle C Socle C Socle B Socle A Les tours de Hanoï : résolution Socle A Françoise Greffier -Licence informatique - Besançon

  11. RESOLUTION RECURSIVE • Cas trivial (arrêt) n=1 : il suffit de déplacer l’unique tour de A vers B • Règle récursive n>1 : Hanoi (n-1, A ,C, B) Déplacer (A,B) Hanoi (n-1, C, B, A) Françoise Greffier -Licence informatique - Besançon

  12. FONCTION HANOI void Hanoi (intn, socle& A, socle& B, socle&C){ if (n = = 1) Déplacer (A,B); else { Hanoi (n-1,A,C,B); Déplacer (A,B); Hanoi (n-1,C,B,A); } } A : départ B : arrivée C: intermédiaire Françoise Greffier -Licence informatique - Besançon

  13. Hanoi (3,A,B,C) Hanoi (2,A,C,B) Hanoi (2,C,B,A) Hanoi (1,A,B,C) Hanoi (1,B,C,A) Déplacer (A,B) Déplacer (B,C) ARBRE DES APPELS (n=3) Déplacer (A,B) Déplacer (C,A) Déplacer (A,C) Déplacer (C,B) Déplacer (A,B) Françoise Greffier -Licence informatique - Besançon

  14. L’ELIMINATION DE LA RECURSIVITE • Pourquoi ? • Problème d’encombrement mémoire • = > Diminuer la taille de la pile • Comment ? • Écrire un algorithme itératif équivalent • Gérer dans l’algorithme la pile des sauvegardes => ne garder que celles utiles Transformer un algorithme récursif en une version itérative équivalente qui conduise à une diminution de la pile. Françoise Greffier -Licence informatique - Besançon

  15. Transformation : un cas simple voidfonction (H x){ if (c(x))A0(x); else { A1(x) ; fonction(F1(x)); } Un seul appel récursif terminal. => La pile est inutile. => Version itérative équivalente qui conduise à l ’élimination de la pile. voidfonction (H x){ while(! c(x)){A1(x); x=F1(x); } A0(x); } Françoise Greffier -Licence informatique - Besançon

  16. Transformation : un cas simple voidenumerer (int n){ if (n <= 0) cout << "fin"; else { cout << n ; enumerer (n - 1); } c(x) : n <= 0 A0 : cout << "fin"; A1 : cout << n; F1 (x) : n = n - 1; voidenumerer (int n){ while(n > 0){cout << n ; n = n - 1; } cout << "fin"; } Françoise Greffier -Licence informatique - Besançon

  17. Transformation : autre modèle T fonction (T2 x) { if (c(x))return f(x); else { returnu (g(x), fonction(h(x))); } T fonction (T2 x){ if(c(x))return f(x); else{p=g(x); x=h(x); while(! c(x)){p = u(p,g(x)); x=h(x); } returnu (p,f(x)); } } Françoise Greffier -Licence informatique - Besançon

  18. même résultat Exemple : un seul appel récursif Version récursive : • ! c(x) => u [ g(x),fonction(h(x)) ] puis c(h(x)) => u [ g(x),f(h(x)) ] Version itérative : • ! c(x) => p=g(x); x=h(x); puis c(h(x)) => u [ g(x),f(h(x)) ] Françoise Greffier -Licence informatique - Besançon

  19. même résultat Exemple : deux appels • Version récursive ! c(x) => u [ g(x),fonction (h(x)) ] ! c(h(x)) => u [ g(x), u [ g(h(x)),fonction (h2(x)) ]] c(h2 (x)) => u [ g(x), u [ g(h(x)),f(h2(x)) ]] • Version itérative ! c(x) => p=g(x); x=h(x); ! c(h(x)) => p = u [ g(x), g(h(x))] x= h2 (x) c(h2 (x)) => u [u [ g(x), g(h(x))] ,f(h2(x))] u doit être une relation associative Françoise Greffier -Licence informatique - Besançon

  20. Factorielle intfact (int x) { if (x = = 0) return 1; elsereturn (x * fact (x-1)); } intfact (int x){if (x==0) return 1; else{p=x; x=x-1; while (!(x==0)){p = p * x ; x= x-1; } return p*1; } } c(x) : x = =0 f(x) =1 u : * g(x) : x h(x)=x-1 Françoise Greffier -Licence informatique - Besançon

  21. Transformation : autre modèle algorithmeP (T x){ si (c(x))alorsA0(x) sinon { A1(x) P(F1(x)) A2(x) P(F2(x)) . . . Am(x) P(Fm(x)) Am+1(x) } } Françoise Greffier -Licence informatique - Besançon

  22. P(x) A2 P [F1(x)] P [F2(x)] A3 A0 On remonte A0 On remonte ARBRE DES APPELS (m=2) A1 A1 A2 A3 On remonte P [F1(F1(x))] P [F2(F1(x))] Françoise Greffier -Licence informatique - Besançon

  23. Transformation : autre modèle SI (numret != 1) alors Anumret(x) empiler (x,numret+1) x <- Fnumret(x) FSI JUSQU ’A (numret = = 1) depiler (x, numret) // fin de // pile algorithmeP (T x){ empiler (x,1)// marque fin de pile REPETER { TANT QUE (non c(x)) FAIRE A1(x) empiler (x,2) x <- F1(x) FAIT A0(x)depiler (x, numret) TANT QUE(numret = = m+1)FAIRE Am+1(x) depiler (x, numret) FAIT • On empile : • le contexte (données) • n° de l ’action suivante Françoise Greffier -Licence informatique - Besançon

  24. FONCTION HANOI void Hanoi (int n, socle& A, socle& B, socle&C) { if(n = = 1)Déplacer (A,B); // A0(x) else{// A1(x) : action vide Hanoi (n-1,A,C,B); //P(F1(x)) Déplacer (A,B); // A2(x) Hanoi (n-1,C,B,A);} //P(F2(x)) } c(x) : n = =1A0(x) : deplacer (A,B)A1(x) : action videF1(x) : permuter(B,C); n=n-1;A2(x) : deplacer (A,B)F2(x) : permuter(A,C); n=n-1;A3(x) : action vide • m=2 • Am+1 : action vide • Dernier appel terminal=>Economie mémoire (pile) Françoise Greffier -Licence informatique - Besançon

  25. Transformation : Hanoi SI (numret != 1) alors deplacer (A,B); //A2(x)empiler (x,numret+1) permuter(A,C); n=n-1; FSI JUSQU ’A (numret = = 1) depiler (n,a,b,c,numret) void Hanoi (int n, ...) { empiler (x,1) REPETER{ TANT QUE (non c(x)) FAIRE //action vide empiler (n,a,b,c,2) permuter(B,C); n=n-1; FAIT deplacer (A,B); //A0(x)depiler (n,a,b,c,numret) TANT QUE (numret = m+1) FAIRE Am+1(x) depiler (x, numret) FAIT Pas d ’appel récursif suivant Dernier appel est terminal Françoise Greffier -Licence informatique - Besançon

  26. Algorithme à essais successifs AES ou encore algorithme de back tracking • idée : construire progressivement une solution à un problème donné en essayant toutes les possibilités à chaque étape de la construction. • Rqe : la complexité de ce genre d ’algorithme est de nature exponentielle => à utiliser si l ’on n ’en connaît pas de meilleur. Françoise Greffier -Licence informatique - Besançon

  27. Algorithme à essais successifs AES ou encore algorithme de back tracking • On part d’une situation initiale So (ex : échiquier vide) pour aller vers une situation finale Sf (ex : Huit reines placées). Plusieurs situations peuvent répondre au problème. • La situation finale est atteinte par le passage successif de situations jusqu’à atteindre Sf. • Le passage de la situation Si à Si+1 se fait par une action. • Pour chaque situation Si on a le choix entre plusieurs actions menant à des situations éventuellement différentes. Françoise Greffier -Licence informatique - Besançon

  28. Algorithme à essais successifs MODELISATION • Une fonction Succès(S) qui permet de savoir si une situation S répond au problème. • Une fonction EnsembleChoix(S) qui permet d ’obtenir à partir d ’une situation S donnée l’ensemble des actions possibles pour passer à une situation suivante. • Une fonction Successeur(S,A) qui donne la situation obtenue par l’application de l’action A à la situation S. • Pour chaque situation Si on a le choix entre plusieurs actions menant à des situations éventuellement différentes. • On appelle chemin une suite d ’actions : <A0, A1, …, An> Françoise Greffier -Licence informatique - Besançon

  29. Algorithme Fonction AES (s:Situation) : (Chemin,Situation) Variables trouvé, choix si succès(s) alors trouvé=vrai; retourner(vide,s) sinon trouvé=faux; choix <- ensembleChoix(s) tant que choix n’est pas vide et non trouvé faire action <-un élément de choix choix <-choix - {action} (chemin,situation)<- (AES (successeur(s,action))) fin tant que si trouvé alors ajouter(action, chemin),sf)) sinonretourner (Erreur Chemin, Erreur action); fin si fin si Françoise Greffier -Licence informatique - Besançon

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