Теорема отсчетов в приложении к задаче интерполирования данных

1. Теорема отсчетов в приложении к задаче интерполирования данных Ханян Гамлет Сократович С.н.с., к.т.н., IEEE Member khanian@mail.ru, dep007@rtc.ciam.ru Центральный Институт Авиационного Моторостроения им. П.И. Баранова 111116, Россия, г. Москва, ул. Авиамотороная, 2, www.ciam.ru

2. Содержание • Теорема отсчетов для сигнала конечной длительности в ограниченной полосе частот • Формула теоремы отсчетов как инструмент интерполирования данных • Интерполяционная формула Ньютона и метод полиномиальных сплайнов • Численные эксперименты по интерполированию тригонометрических функций • Сравнение ошибок интерполяции по теореме отсчетов и по методу сплайнов • Обсуждение результатов исследования и выводы

3. Теорема отсчетов для сигнала конечной длительности в ограниченной полосе частот  Формула для интерполирования отсчетов цифровой реализации сигнала верна для полигармонического сигнала с целыми и полуцелыми безразмерными частотами M гармоник с номерами от P доQ: (Ханян Г.С., МЭС’2012)  Ограничимся для простоты нулевым индексом полосыG = 0, четным числом узлов интерполяции (N mod 2=0) при t0=0, и введем безразмерное времяn =Ftи безразмерную частотуm = f T, где F- частота дискретизации, T -длительность сигнала. Тогда интерполяционная формула примет вид: и условию теоремы (тождественности преобразования: sn = sn) будет удовлетворять гармонический сигнал с полуцелой частотой:

4. Интерполяционная формула Ньютона Рекуррентная формула для восстановления функции sn по ее N+1 эквидистантным отсчетам sn N = 0 (кусочно-постоянная интерполяция) N = 1 (линейная интерполяция) N = 2 (квадратичная интерполяция) N = 3 (кубическая интерполяция)

5. n n +1/2 n+3/2 n+5/2 n n +1/2 n+3/2 n n +1/2 n n n +1 n +2 n +3 Интерполирование методом сплайнов и по формуле теоремы отсчетов Интерполирование в серединных точках n = n +1/2с помощью: Сплайны l=1,2,3,0-го порядка: a) - линейного сплайна b) - квадратичного сплайна c) - кубического сплайна d) - кусочно-постоянного сплайна Используемые сплайны являются: - полиномиальными e) - формулы теоремы отсчетов - непрерывными - периодическими

6. Численные эксперименты по интерполированию тригонометрических функций  Осциллограммы сигнала и отклонений от него результатов интерполирования  Запогрешность интерполяциипринимается относительное (нормированное по амплитуде a) средне-квадратичное отклонение вычисленных ординат гармонического сигнала частотыmот известных:

7. Сравнение ошибок интерполяции по теореме отсчетов и по методу сплайнов Зависимости погрешности интерполяцииS (m) от частоты m сигнала, изменяющейся с шагомm=1/10 при числе узловN=32 и начальной фазе: =/4, =/2, случайной.

8. Сравнение ошибки интерполяции по теореме отсчетов и по методу сплайнов Зависимости погрешности интерполяцииS (m) от частоты m сигнала, изменяющейся с шагомm=1/10, 2/N при числе узловN=128, 256 и начальной фазе=/4.

9. Заключение • Исследованы возможности применения формулы теоремы отсчетов для сигнала конечной длительности в качестве вычислительного средства по интерполированию ограниченного числа данных измерений колебательных процессов. • Осуществлена компьютерная верификация доказанной в 2012 г. версии теоремы отсчетов, что позволяет расценивать математические условия формулировки теоремы не только как достаточные, но и как необходимые. • Проведен сравнительный анализ погрешностей основанного на теореме отсчетов метода интерполирования и методов полиномиальных сплайнов первых трех порядков и показано преимущество над ними предлагаемого в работе тригонометрического метода применительно к дискретным полигармоническим сигналам.