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Problemas de Optimizaci n Combinatoria

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Problemas de Optimizaci n Combinatoria

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    1. Problemas de Optimizacin Combinatoria Gladys Maquera Rafael Marti Universidad Peruana Unin Universidad de Valencia Per Espaa

    2. Metodologa de aplicacin de Investigacin de Operaciones Pasos (a grandes rasgos): 1.- Planteo y Anlisis del problema a resolver 2.- Construccin de un modelo adecuado 3.- Obtencin de datos y ajuste de parmetros del modelo 4.- Deduccin de la(s) solucion(es) 5.- Validacin del modelo y evaluacin de solucion(es) 6.- Ejecucin y Control de la(s) solucion(es) Optimizacin: concierne fundamentalmente etapas 2 y 4.

    3. Algoritmos Heursticos Optimizar Problemas Combinatorios Calidad de los Algoritmos Mtodos Constructivos Mtodos de Bsqueda Local Mtodos Combinados

    4. Que significa Optimizar? Significa un poco mas que mejorar. Optimizacin es el proceso de encontrar la mejor solucin posible para un determinado problema.

    6. Problemas de Optimizacin Nomenclatura: x=(x1, x2, ..., xn) variables del problema. D espacio de soluciones factibles. f(x) funcin objetivo. Valor ptimo de f: f0 = min {f(x): x?D} Conjunto de soluciones ptimas S0 = {x?D: f(x)= f0} (tambin llamadas soluciones globalmente ptimas).

    7. Problemas de Programacin Matemtica Nomenclatura: x=(x1, x2, ..., xn) variables del problema. f(x) funcin objetivo. g(x) restricciones del problema X espacio de soluciones. D= {x?D: g(x)<=0 } espacio de soluciones factibles.

    8. Problemas de Optimizacin Combinatoria Nomenclatura: x=(x1, x2, ..., xn) variables del problema; Para todo i, xi ?Di dominio de la variable, que es un conjunto discreto (finito o infinito). X= D1?D2? ... ?Dn espacio de soluciones (discreto). D?X espacio de soluciones factibles.

    9. Problemas de OC Mochila Localizacin de Plantas Secuenciacin Cubrimiento de Conjuntos Empaquetado de Conjuntos Particin de Conjuntos Viajante de comercio Ruteo de vehculos Asignacin Cuadrtica Asignacin Generalizada Ordenacin Lineal

    10. Resolucin de Problemas Combinatorios Un mtodo exacto proporciona una solucin ptima del problema. Un mtodo heurstico o aproximado proporciona una buena solucin del problema no necesariamente ptima. Un mtodo heurstico es un procedimiento para resolver un problema matemtico bien definido mediante una aproximacin intuitiva, en la que la estructura del problema se utiliza de forma inteligente para obtener una buena solucin D. de Werra y otros Un heurstico es una tcnica que busca buenas soluciones con un tiempo de computacin razonable sin garantizar la optimalidad C.R. Reeves

    11. Una Clasificacin

    12. Algoritmos exactos para Optimizacin Combinatoria Enumeracin explcita o implcita de soluciones (programacin dinmica, branch and bound). Algoritmos basados en Programacin Matemtica (simplex, punto interior, branch&cut, branch&cut&price). Otros especficos de cada problema. nicos errores: redondeo, y eventualmente truncamiento.

    13. Mtodos de aproximacin Encuentra solucin con error mximo conocido a priori. En algunos casos, error de aproximacin fijo. En otros, posible elegir trade-off entre error de aproximacin y esfuerzo computacional (mayor esfuerzo, menor error).

    14. Mtodos aleatorios Con cierta probabilidad, encuentra solucin que tendr un error mximo dado. Ejemplo: Monte Carlo: siempre da una solucin y estimacin del error, con intervalo de confianza asociado; mayor esfuerzo computacional disminuye el error y aumenta la confianza.

    15. Heursticos Heurstica" deriva del griego heuriskein, que significa "encontrar" o "descubrir". Tcnicas que busca soluciones de buena calidad (de valor cercano al ptimo?) a un costo computacional razonable, aunque sin garantizar la optimalidad de las mismas. En general, ni siquiera se conoce el grado de error.

    16. Calidad del Algoritmo Heurstico Un buen algoritmo heurstico debe ser:

    17. O Problema de la Mochila 0-1

    18. Definicin del Problema Mochila 0-1 Un viajante desea llevar n items em su viaje; El peso de cada item i es dado por wi ; Los items deben ser cargados en una mochila cuya capacidad es C; Cuando la suma de los pesos wi de todos los items escogidos no ultrapasa C, entonces todos los items pueden ser cargados en la mochila; Caso contrario, algunos items debem ser dejados para atrs; Cuales son los items que deben ser llevados / dejados ? This is simply nonsmooth optimization, for which a number of methods are availableThis is simply nonsmooth optimization, for which a number of methods are available

    19. El viajante atribuye un valor (importancia) pi a cada item i; Todos los pesos wi y los valores pi son nmeros positivos; El viajante desea seleccionar un subconjunto de los n items para llevar en la mochila, y ellos deben satisfacer: El peso del subconjunto no puede exceder la capacidad de la mochila: (restriccin: ?i wi xi = C); No hay como seleccionar una fraccin de un item: (restriccin: xi=0 o xi=1); El valor del subconjunto es dado por la suma de los valores de los items seleccionados: (funcion objetivo: ?i pi xi); El valor del subconjunto seleccionado debe ser el mximo posible: (criterio de optimizacin: max).

    20. Formulacin Matemtica Mochila 0-1 Variable de decisin:

    22. Problema de Localizacin de Plantas Estos problemas tratan de la localizacin de un nmero fijo o variable de plantas y de la designacin de las demandas de los clientes a las plantas de modo a minimizar los costos fijos y variables. El costo total est formado por los costos fijos para la localizacin de plantas y los costos de transporte para la distribucin de los productos entre las plantas y los clientes.

    24. Problema de Localizacin de Plantas Modelos matemticos de localizacin son construdos para abordar las siguientes preguntas claves: Cuantas plantas deben ser construidas? Donde cada planta debe ser localizada? Cul debe ser el tamao de cada planta? Como designar la demanda de los clientes a las plantas? Ej. de ventaja, desventaja, ventaja y desventaja.

    25. Problema de Localizacin de Plantas

    26. El Problema del Viajante (TSP) Un viajante de comercio ha de visitar n ciudades (una sla vez), comenzando y finalizando en su propia ciudad. Conociendo el coste de ir de cada ciudad a otra, determinar el recorrido de coste mnimo.

    27. Eleccin del Problema Es uno de los que mas inters ha suscitado en Inteligencia Artificial e Investigacin Operativa Sus soluciones admiten una doble interpretacin: mediante grafos y mediante permutaciones. Dada su gran dificultad (NP-duro), la gran mayora de las tcnicas de resolucin han sido probadas en l. Resulta muy intuitivo y con un enunciado muy fcil de comprender.

    28. Problema del Viajante

    29. Problema del Viajante

    30. Problema del Viajante

    31. Problema del Viajante

    32. Problema del Viajante Es uno de los mas estudiados en Investigacin Operativa Sus soluciones admiten doble interpretacin mediante grafos y mediante permutaciones. Dada su dificultad (NP-hard) la mayora de las tcnicas de solucin han sido experimentadas en l. Resulta muy intuitivo y con un enunciado muy fcil de entender.

    36. El Problema de Ruteo de Vehculos Clsico (PRV): Caractersticas Principales

    37. El Problema de Ruteo de Vehculos Clsico

    38. Resolucin de Problemas Combinatorios Un mtodo exacto proporciona una solucin ptima del problema. Un mtodo heurstico o aproximado proporciona una buena solucin del problema no necesariamente ptima. Un mtodo heurstico es un procedimiento para resolver un problema matemtico bien definido mediante una aproximacin intuitiva, en la que la estructura del problema se utiliza de forma inteligente para obtener una buena solucin D. de Werra y otros Un heurstico es una tcnica que busca buenas soluciones con un tiempo de computacin razonable sin garantizar la optimalidad C.R. Reeves

    39. Una Clasificacin

    40. Orgenes de las heursticas Tcnicas de inteligencia artificial para problemas de bsqueda en grafos: Demostracin automtica de teoremas, trayecto de robots, problemas de optimizacin vistos como bsqueda en grafos; Algoritmo A* (verso IA de B&B): Nilsson (1971).

    41. Motivacin de los algoritmos heursticos Mltiplos ptimos (funciones multimodales), obtener buenas soluciones Problemas NP Mayor flexibilidad para modelar (p.e. funciones discontinuas, no lineales,...) Robustez y post-optimalidad Resolver problemas en tiempos menores; ? Algoritmos heursticos

    42. Mltiplos ptimos locales

    43. Algoritmos Heursticos Mtodos Constructivos Mtodos de Bsqueda Local Mtodos Combinados

    44. Razones para utilizar mtodos heursticos Puede ser proyectado con base en las propiedades estructurales del problema o en las caractersticas de las soluciones del problema Complejidad reducida en relacin a los mtodos exatos. Proporcionan buenas soluciones factibles. (no garantizan en calidad).

    45. Razones para utilizar mtodos heursticos Resolucin de un problema difcil No se conoce ningn mtodo exacto para dar resolucin al problema Mismo que exista un mtodo exacto para resolver el problema, su uso es muy caro Mtodo heurstico es mucho mas flexible que un mtodo exato (incorporar restricciones que no son muy fciles de ser modeladas)

    46. Razones para utilizar mtodos heursticos Puede ser utilizado como parte de un procedimiento global que garantiza el ptimo global Proporciona una buena solucin inicial de partida Participa como un paso intermediario del procedimiento

    47. Calidad del Algoritmo Heurstico Un buen algoritmo heurstico debe ser: Los procedimientos para medir la calidad de un algoritmo son: Comparacin con la solucin ptima Comparacin con una cota Comparacin con un mtodo exacto truncado Comparacin con otros heursticos Anlisis del peor caso

    48. Conclusiones Los Problemas Combinatorios pueden ser resueltos mediante: Mtodos Exactos: Proporcionan el ptimo, pero en general son muy caros. Mtodos Heursticos : Son rpidos pero no garantizan el ptimo.

    49. Referencias Jnger, M., Reinelt, G. y Rinaldi, G. (1995), The Traveling Salesman Problem", En: Ball, M.O., Magnanti, T.L., Monma, C.L. y Nemhauser, G.L. (eds.), Handbook in Operations Research and Management Science, Vol. 7, Network Models, pg 225--330. North-Holland, Amsterdam. Lawler, E.L., Lenstra, J.K., Rinnooy Kan, A.H.G. y Shmoys, D.B. (eds.) (1985), The Traveling Salesman Problem. A Guided Tour to Combinatorial Optimization, John Wiley and Sons, Chichester. Reinelt, G. (1991), TSPLIB - A Traveling Salesman Problem Library, ORSA Journal on Computing 3, 376-384. Reeves, C.R. (1995), Modern Heuristic Techniques for Combinatorial Problems, McGraw-Hill, UK. Feo, T. and Resende, M.G.C. (1995), Greedy Randomized Adaptive Search Procedures, Journal of Global Optimization, 2, 1-27.