第八章 塑形本构关系

1. 第八章 塑形本构关系

2. 引言: 塑性变形规律的复杂性, 到目前为止这个塑性本构关系问题还没有得到满意的解决.经典塑性本构关系的理论分为两大类: (1)全量理论, 又称为形变理论, 它认为在塑性状态下仍有应力和应变全量之间的关系. 包括： Hencky(亨奇)理论（1924）：不考虑弹性变形和材料硬化。 （理想刚塑形模型） Nadai理论（1938）：考虑有限变形和材料硬化，但总变形中不考虑弹性变形。 Il’yushin (伊柳辛)理论（1943）：考虑有限变形和材料硬化。

3. (2)增量理论, 又称为流动理论, 它认为在塑性状态下是塑性应变增量和应力及应力增量之间的随动关系.增量理论能够反映应力历史的相关性，但数学处理相对复杂。塑性力学早期的增量理论有Levy-Mises(莱维-米泽斯)理论和Prandtl-Reuss(普朗特-罗伊斯)理论. 20世纪50年代，随着Drucker公设和稳定材料的定义，正交流动法则概念的提出，塑性力学有了很大的发展。 这些定义和概念建立了屈服面或加载面与塑性应变的联系，为塑性应力-应变关系的描述提供了统一方法。

4. Shield和Ziegler指出, 建立塑性本构关系需要考虑三个基本要素: (1)初始屈服条件;(2)流动法则;(3)加载条件. 其中(1) 在第六章已经解决, 本章要解决第(2) ;(3)点. yy

5. §8-1 塑性应变增量 进入塑性状态后，应变不仅取决于应力状态 ，而且还取决于达到该应力状态的历史，描述历史引入一个内变量 。 材料从当前状态卸载后，恢复的应变为弹性应变，保留的应变为塑性应变。即在某一状态下的应变可分解为：

6. 假设卸载过程为弹性 与开始卸载时的应力 和内变量 有关 非线弹性 加载塑性引起弹性性质改变 为常张量，可由弹性本构方程确定

7. 弹性本构方程

8. 卸载完成，应力状态为零， 对应的残余变形即塑性应变： 卸载过程中 对应的塑性增量 由： 得： 由： 得：

9. §8-2 加卸载判别准则 (1)理想塑性材料的加载和卸载准则. 理论塑性材料是无硬化的, 屈服条件与加载历史无关,, 初始屈服面和后继屈服面是重合的. 即 如图所示 弹性状态; 加载 加载; 卸载 卸载. 法线方向 的梯度方向 屈服面

10. 中性变载 (2)硬化材料的加,卸载准则. 加载 对于硬化材料,后继屈服面和初始屈服面不同, 与塑性变形的大小和历史有关. 卸载 加,卸载准则为: 加载; 后继屈服面 中性变载; 中性变载是指不产生新的塑性变形. 卸载.

11. §8-3 Drucker公设和Ilyushin公设 一、Drucker公设 1. 稳定材料和不稳定材料. 材料的拉伸应力应变曲线可能有: 所示的材料,随加载应力,应变都增加,材料是硬化的. 在这一变形工程中,附加应力在应变增量上作正功,这种特性的材料被称为稳定材料或硬化材料. 所示,应力应变曲线在过D点以后, 应变增加,应力减小,此时应力增量作负功, 这种特性的材料被称为材料不稳定或软化材料. 所示,与能量守恒矛盾,所以不可能.

12. 2. Drucker公设 • 从右边的单向拉伸应力应变曲线看, 对于稳定材料, 如果从 开始加载到 再到 , 然后卸载,此时弹性应变可以恢复, 相应的弹性应变能完成释放, 但塑性变形不能恢复被保留下来, 消耗的塑性应变能是图上的红框包围的两块面积A,B被保留下来.它们是恒大于零的: • Drucker把它引伸到复杂应力情况,这就是Drucker公设. 第二式中的等号适用于理想塑性材料. Drucker公设在塑性力学中有重要意义.

13. 3. 屈服面的外凸性和塑性应变增量的法向性 • 我们如将塑性应变空间与应力空间重合起来,由Drucker公设的第一式, 把它看成是两个矢量的点积. 图示即 为这两个矢量的夹角, 必定为锐角.在这种情况下, 一定在屈服面 点的外法线方向 上, 因为 点在屈服面内, 的活动范围是 点的切线方向到反切线方向( ), 要与它夹角是锐角就一定在法线方向上,并且屈服面一定是外凸的. 如果屈服面不是外凸的, 如左图所示,夹角有可能是钝角, Drucker公设不成立.

14. 上面提到 是在屈服面的 点的外法线方向上. 这称为塑性应变增量的法向性. 我们知道如果屈服函数为势函数, 屈服面即为等势面, 它的外法线方向和它的梯度方向一致, 则 和梯度矢量的分量成正比,即 其中 为一个大于零的比例系数.称为与屈服条件相关联的塑性流动法则.也称为塑性应变增量的正交流动法则 对研究塑性力学的本构关系有重要意义. • Drucker公设的第二式是加载准则. 它的几何意义是当 不为零时, 的方向必须指向加载面外法线一侧, 即 这就是加载准则. 因为 , 所以

15. Drucker共设是在应力空间中进行讨论的，只适用于稳定材料。 对应变软化材料（非稳定材料）---岩土材料---不能完全适用。 Ilyushin在应变空间中提出的塑性共设可适用于稳定材料和非稳定材料。 二、Ilyushin共设 将加载面中的应力由应变表示，得到应变空间表示的加载面。 Ilyushin共设认为：在一个应变循环中，只要产生塑性变形，外力所做的功不小于零。

16. §8-4 全量理论及本构方程（p:278) • 在弹性范围内, 广义Hooke定律可以表达为 • 也可以表示为: 我们来证明一下: 由应力和应变的分解式,即 代入上面广义Hooke定律的公式,考虑到 所以可以写成两个相应分解张量之间的关系.

17. 这是七个方程 第二个式子是六个方程,但因为有 , 所以有5个是独立的.从第二式可以看到在弹性范围内应力主轴和应变主轴是一致的. 应变偏量的分量和相应的应力偏量的分量成正比. 第二式也可以写成 ,把它代入等效应力的表达式就可以得到下面的第二式, 然后有 再代回上面第一式得到下面的第二式. • 所以也可写成如下形式 • 当应力从加载面卸载, 也服从广义Hooke定律,写成增量形式

18. 一、全量理论 Il’yushin在1943年提出的硬化材料在弹塑性小变形情况下的本构关系, 这是一个全量型的关系, 类似于广义Hooke定律. 在小变形的情况下作出下列关于基本要素的假定: (1) 体积变形是弹性的, 即 (2) 塑性应变张量和应力偏张量成比例 总的偏应变张量： • 这个假定就是应力和应变的定性关系, 即方向关系和分配关系. 方向关系指应变偏量主轴和应力偏量主轴重合, 也即应变主轴和应力主轴重合,而分配关系是指应变偏量和应力偏量成正比. • 形式上和广义Hooke定律相似, 但这里的比例系数不是一个常数.这是一个非线性关系.下面我们来看一下这个系数等于什么?

19. 因为等效应力和等效应变的公式为: 把 代入上面右式并考虑上面左式得到 (3)等效应力是等效应变的函数 , 实验证明：当材料为不可压缩时，按照不同应力路径所得出的 曲线与单轴拉伸时的 曲线相近，在工程计算中视为相同。即单一曲线假定.可用单轴拉伸曲线确定 。

20. 综上所述, 全量型塑性本构方程为 注意的是上式只是描述了加载过程中的弹塑性变形规律. 加载的标志是等效应力 成单调增长. 下降时为卸载过程, 它服从增量Hooke定律.

21. 对可压缩材料，按照不同应力路径所得出的 曲线与单轴拉伸时的 曲线不一致，不能用单轴拉伸曲线确定 。 对单一曲线假定做修改，表述为：按照不同应力路径所得出的 曲线与单轴拉伸时的 曲线一致。

22. 二、全量理论的基本方程及边值问题的提法 设在物体 内给定体力 ,在应力边界 上给定面力 , 在位移边界 上给定位移为 , 要求确定物体内处于塑性变形状态的各点的应力 , 应变 和位移 .

23. 按照全量理论,确定这些基本未知量的基本方程有按照全量理论,确定这些基本未知量的基本方程有 平衡方程 几何方程 本构方程 其中 边界条件 这就是对于全量理论的塑性力学的边值问题.

24. 三、全量理论的适用范围 • 全量理论适用小变形并且是简单加载. • 简单加载：在加载过程中物体每一点的各个应力分量按比例增长. 即 其中 是某一非零的参考应力状态, 是单调增加的参数.这样定义的简单加载说明, 在加载时物体内应变和应力的主方向都保持不变. • 但是物体内的内力是不能事先确定的, 那么如何判断加载过程是简单加载? Il’yushin指出, 在符合下列三个条件时, 可以证明物体内所有各点是处于简单加载过程: (1) 荷载(包括体力)按比例增长.如有位移边界条件应为零. (2) 材料是不可压缩的. (3)等效应力和等效应变之间幂指数关系, 即 这就是Il’yushin简单加载定律.有人认为只有第(1)条就可以了.

25. §8-5 理想弹塑性材料的增量本构关系 一、Levy-Mises流动法则和Prandtl-Reuss流动法则 塑性应力应变关系的重要特点时它的非线性和不唯一性. 全量理论则企图直接建立全量形式表示的与加载路径无关的本构关系, 一般是不正确的. 本构关系应该是它们的增量之间的关系. 这就是增量理论, 也就是流动法则. 这里介绍两个增量理论. 即Levy-Mises流动法则和Prandtl-Reuss流动法则.

26. 1. Levy-Mises流动法则 这个理论认为应变增量主轴和应力主轴重合, 应变增量分量与相应的应力偏量分量成比例, 即 式中的比例系数决定于质点的位置和荷载的水平. 这一理论是Levy和Mises分别在1871年和1931年独立提出的, 所以被称为Levy-Mises流动法则. 这个关系式不包括弹性变形部分, 所以只适用刚塑性体. 2. Prandtl-Reuss流动法则 这个理论考虑了塑性状态变形中的弹性变形部分, 并认为弹性变形服从广义Hooke定律; 而对于塑性变形部分, 被认为塑性应变增量的主轴和应力偏量的主轴重合. 即 这就是Prandtl-Reuss流动法则 又由塑性不可压缩性,体积变化是弹性的,有

27. 二、理想弹塑性材料的增量本构方程 • 对于理想弹塑性材料, 后继屈服面和初始屈服面是重合的. 若采用Mises条件, 有屈服函数 Prandtl-Reuss本构关系

28. 又因为应变比能的增量为 上式第一项是体积比能增量,第二项为形状变形比能,记为 这样考虑Levy-Mises定律有: 所以有

29. 理想弹塑性材料的增量型本构方程可以写为 • 如果塑应变增量比弹性应变增量大得多： Levy-Mises本构关系 或 即理想刚塑性材料的增量本构方程

30. 关于比例因子 的讨论： 比例因子的 不能通过本构方程确定。 对于一个材料的微元体，给定应力，使材料进入屈服后。 公式 确定的是塑性应变 增量 的方向，即各分量的比例关系，但大小是任意的，即 是任意正值。 实际问题中，如已屈服的微元体周围的物体仍为弹性，由变形协调条件，微元体的变形要受到周围物体的限制，而不能任意发展，这时 是确定的。但不能由微元体本身的本构关系确定，而是由问题的整体条件确定。

31. §8-6 弹塑性硬化材料的增量型本构方程 • 对于弹塑性硬化材料, 采用等向硬化模型, 取Mises屈服条件, 即 上式微分得到 (对于理想弹塑性Mises条件为 ) 去掉弹性 理想弹塑性

32. 是函数 对自变量的导数, 有简单的物理意义, 见上图.在线性强化时 时常数. 所以 也称为塑性模量。

33. 将上面得到的 代入Levy-Mises流动法则就得到弹塑性硬化材料的增量型本构方程: 或写成:

34. 例题3-1 如图所示, 一薄壁圆管,其材料的拉伸硬化曲线为线性.试根据增量理论分别对下列三种加载路径求管的总轴向应变 和切向 应变 • 先拉后扭OAB • 先扭后拉OCB • 拉扭同时,并保持比例,如图OB. 屈服曲线

35. 解: 根据题意薄壁圆管的应力只有 , 其它为零. 名义应力为 那么Mises屈服条件是一椭圆: 在弹塑性阶段本构关系有: 每一加载路径分为弹性和弹塑性两个阶段, 在弹性阶段本构关系有: F为塑性模量（ ） 下面分三个路径进行计算.

36. (1) OAB路径,分OA和AB段. 屈服曲线 OA段是弹性阶段, A点是屈服点, 则有 AB段是弹塑性阶段, 保持不变, 变化, 其它应力分量为零, 则有 从Mises屈服条件得

37. 代入弹塑性本构关系, 沿路径AB积分, 屈服曲线

38. 得到: 屈服曲线 总应变为

39. (2)OCB路径总应变 屈服曲线 OC段是弹性阶段, C点是屈服点, 则有 CB段是弹塑性阶段, 保持不变, 变化, 其它应力分量为零, 则有

40. 代入弹塑性本构关系, 沿路径CB积分, 并加上OC段变形，得 屈服曲线

41. 屈服曲线 (3)OB路径总应变 时屈服，即 弹性阶段变形： 弹塑性阶段应力分量： ，其它应力分量为零。

42. 代入弹塑性本构关系, 沿路径积分, 并加上弹性段变形,得 屈服曲线

43. (1)OAB路径总应变 (2)OCB路径总应变 (3)OB路径总应变 可以看到应力状态相同,由于路径不同所得应变状态不同.

44. §8-7增量理论的基本方程及边值问题的提法 • 问题的提法 在加载过程的某一瞬时, 已知 , 和外荷载的增量: 求:

45. 基本方程 这些基本物理量必须满足增量型基本方程. 其中 是卸载或中性变载, 是加载. • 边界条件 在弹塑性区交界面上还应满足一定的连续条件. • 上述条件下可求出 这15个量, 然后叠加到原来的 上, 最后确定新的屈服面, 再求下一步增量.

46. §8-8 全量理论与增量理论的比较 • 增量理论在加载过程中最后的应变状态取决于应变路径, 而全量理论不管应变路径. 特别是在中性变载情况, 两者相差最明显. 因为九个实验观察, 对中性变载不产生塑性应变的改变, 增量理论反映了这一特点, 而按全量理论只要应力分量改变, 塑性应变也要发生改变. 这是因为加载条件中的中性变载就是增量理论的塑性部分等于零. • 增量理论在中性区可以保证应力应变的连续性, 而全量理论不能. • 在小变形且简单加载的情况下, 这两个理论是一致的. 现在我们来证明一下,下面是这两个理论. 全量理论 增量理论 小变形且简单加载

47. 简单加载各分量成比例 代入增量理论公式,因为简单加载所以在加载过程中主方向不变,又是小变形,下面积分存在. 增量理论第一式有: 增量理论第二式有:

48. 上面就证明了在简单加载,小变形情况下:增量理论=全量理论.上面就证明了在简单加载,小变形情况下:增量理论=全量理论. • 虽然增量理论比较合理, 但全量理论仍有很大的工程应用范围. 这不仅因为全量理论适用于简单加载, 数学处理方便, 而且对于偏离简单加载一个相当大的范围全量理论也适用.

49. §8-9 塑性势理论 前面所讨论的基本上是由Mises条件和Prandtl-Reuss流动法则建立的塑性本构关系.本节应用塑性势的概念讨论一般的屈服和流动问题. Mises在1928年把弹性势的概念推广于塑性力学以后, 使得塑性力学中的屈服条件,硬化条件和塑性应变增量建立了联系. 1.塑性势 • 弹性势 大家知道, 在弹性力学中应变和弹性应变比能有下列关系,即

50. 式中 是弹性应变比能, 对理想弹性体它是正定函数, 称为弹性势. 若把 看成应力空间的一个等势面, 则上式可以理解为: 应变矢量的方向与弹性势的梯度方向,即等势面的外法线方向一致. • 塑性势 Mises在1928年提出了类似与弹性势的塑性势理论.他考虑到塑性变形的特点, 提出塑性势不仅与应力状态有关,而且与加载历史有关, 即 , 类似与弹性势有 式中 是一个非负的比例系数, 是标量. 如果 ,它在应力空间中表示的面就是等势面. 上式即表示塑性应变增量矢量的方向与塑性势的梯度方向, 即等势面外法线方向一致. • 把屈服条件和本构关系联系起来, 称为联合流动法则. 回忆Drucker公设导出的式子 与上式比较很自然可取屈服函数作为塑性势函数