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第十四章 结构动力学

第十四章 结构动力学. 简谐荷载. 周期. 非简谐荷载. 确定. 冲击荷载. 非周期. 突加荷载. 动荷载. 其他确定规律的动荷载. 风荷载. 地震荷载. 不确定. 其他无法确定变化规律的荷载. 14-1. 概述. 1.1 动荷载及其分类. 一 . 动荷载的定义. 大小、方向和作用点随时间变化 ; 在其作用下,结构上的惯性力 与外荷比不可忽视的荷载。. 自重、缓慢变化的荷载,其惯性力与外荷比很小,分析时仍视作 静荷载。 静荷只与作用位置有关,而 动荷是坐标和时间的函数。. 二 . 动荷载的分类. 输入 (动力荷载). 结构

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第十四章 结构动力学

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  1. 第十四章 结构动力学

  2. 简谐荷载 周期 非简谐荷载 确定 冲击荷载 非周期 突加荷载 动荷载 其他确定规律的动荷载 风荷载 地震荷载 不确定 其他无法确定变化规律的荷载 • 14-1. 概述 1.1 动荷载及其分类 一.动荷载的定义 大小、方向和作用点随时间变化;在其作用下,结构上的惯性力 与外荷比不可忽视的荷载。 自重、缓慢变化的荷载,其惯性力与外荷比很小,分析时仍视作 静荷载。 静荷只与作用位置有关,而动荷是坐标和时间的函数。 二.动荷载的分类

  3. 输入 (动力荷载) 结构 (系统) 输出 (动力反应) 输入 (动力荷载) 结构 (系统) 输出 (动力反应) 输入 (动力荷载) 结构 (系统) 输出 (动力反应) 1.2 结构动力学的研究内容和任务 结构动力学是研究动荷作用下结构动力反应规律的学科。 一.结构动力学的研究内容 当前结构动力学的研究内容为: 第一类问题:反应分析(结构动力计算) 第二类问题:参数(或称系统)识别 第三类问题:荷载识别。

  4. 输入 (动力荷载) 结构 (系统) 输出 (动力反应) 控制系统 (装置、能量) 第一类问题:反应分析(结构动力计算) 输入 (动力荷载) 结构 (系统) 输出 (动力反应) 第二类问题:参数(或称系统)识别 输入 (动力荷载) 结构 (系统) 输出 (动力反应) 第三类问题:荷载识别。 输入 (动力荷载) 结构 (系统) 输出 (动力反应) 第四类问题:控制问题 -----控制问题 -----正问题 -----反问题 -----反问题

  5. 二. 结构动力学的任务 讨论结构在动力荷载作用下反应的分析的方法。寻找结构固有动力 特性、动力荷载和结构反应三者间的相互关系,即结构在动力荷载作用 下的反应规律,为结构的动力可靠性(安全、舒适)设计提供依据。 1.3 结构动力分析中的自由度 一. 自由度的定义 确定体系中所有质量位置所需的独立坐标数,称作体系的动力自由度数。 二. 自由度的简化 实际结构都是无限自由度体系,这不仅导致分析困难,而且从工程 角度也没必要。常用简化方法有: 1) 集中质量法 将实际结构的质量看成(按一定规则) 集中在某些几何点上,除这些点之外物体是 无质量的。这样就将无限自由度系统变成一 有限自由度系统。

  6. ---广义坐标 ---基函数 1) 集中质量法 将实际结构的质量看成(按一定规则) 集中在某些几何点上,除这些点之外物体是 无质量的。这样就将无限自由度系统变成一 有限自由度系统。 2) 广义坐标法 广义坐标个数即 为自由度个数 3) 有限元法 和静力问题一样,可通过将实际结构 离散化为有限个单元的集合,将无限自由 度问题化为有限自由度来解决。 结点位移个数即 为自由度个数 二. 自由度的确定

  7. 4) 1) 平面上的一个质点 2) 6) 3) 计轴变时 W=2 不计轴变时 W=1 7) 二. 自由度的确定 W=1 W=2 5) W=2 W=2 弹性支座不减少动力自由度 W=2 自由度数与质点个数无关,但 不大于质点个数的2倍。 为减少动力自由度,梁与刚架不 计轴向变形。 W=1

  8. 4) W=1 5) W=2 6) 10) W=2 自由度数与质点个数无关,但 不大于质点个数的2倍。 7) W=1 二. 自由度的确定 8) 平面上的一个刚体 W=3 9)弹性地面上的平面刚体 W=3 W=2

  9. 二. 自由度的确定 11) 8) 平面上的一个刚体 W=3 12) 9)弹性地面上的平面刚体 W=3 10) W=2 W=1 W=13 自由度为1的体系称作单自由度体系; 自由度大于1的体系称作多(有限)自由度体系; 自由度无限多的体系为无限自由度体系。

  10. 力 物 体 m m m =1 l EI l 1.4 体系的运动方程 要了解和掌握结构动力反应的规律,必须首先建立描述结构运动的(微分)方程。建立运动方程的方法很多,常用的有虚功法、变分法等。下面介绍建立在达朗泊尔原理基础上的“动静法”。 运动方程 惯性力 柔度法步骤: 1.在质量上沿位移正向加惯性力; 2.求外力和惯性力引起的位移; 3.令该位移等于体系位移。 形式上的平衡方程,实质上的运动方程 一、柔度法 柔度系数

  11. y 1 一、柔度法 m m =1 柔度系数 l l EI EI l 二、刚度法 刚度系数 刚度法步骤: 1.在质量上沿位移正向加惯性力; 2.求发生位移y所需之力; 3.令该力等于体系外力和惯性力。 柔度法步骤: 1.在质量上沿位移正向加惯性力; 2.求外力和惯性力引起的位移; 3.令该位移等于体系位移。

  12. =1 =1 m l EI l l EI l m l P(t) EI EI l/2 l/2 Pl/4 三、列运动方程例题 例1. 例2. 刚度法步骤: 1.在质量上沿位移正向加惯性力; 2.求发生位移y所需之力; 3.令该力等于体系外力和惯性力。 柔度法步骤: 1.在质量上沿位移正向加惯性力; 2.求外力和惯性力引起的位移; 3.令该位移等于体系位移。

  13. m 1 l EI EI l m l/2 EI EI l/2 三、列运动方程例题 例3. 例4. 刚度法步骤: 1.在质量上沿位移正向加惯性力; 2.求发生位移y所需之力; 3.令该力等于体系外力和惯性力。 柔度法步骤: 1.在质量上沿位移正向加惯性力; 2.求外力和惯性力引起的位移; 3.令该位移等于体系位移。

  14. 三、列运动方程例题 m 例3. 1 1 l EI EI l 例4. m l/2 EI EI l/2

  15. m l EI EI l 1 l EI EI l EI EI 层间侧移刚度 对于带刚性横梁的刚架(剪切型刚架), 当两层之间发生相对单位水平位移时,两 层之间的所有柱子中的剪力之和称作该 层的层间侧移刚度.

  16. l EI EI l EI EI l EI EI l EI EI 层间侧移刚度 对于带刚性横梁的刚架(剪切型刚架), 当两层之间发生相对单位水平位移时,两 层之间的所有柱子中的剪力之和称作该 层的层间侧移刚度.

  17. ---P(t)引起的动位移 ---重力引起的位移 m EI l/2 l/2 W 三、列运动方程例题 例5. 质点的总位移为 加速度为 列运动方程时可不考虑重力影响

  18. m1 m2 EI l/3 l/3 l/3 = 加 速 度 向 量 三、列运动方程例题 例6. 简记为 位移向量 荷载向量 柔度矩阵 质量矩阵

  19. m2 m1 例7. = 刚度矩阵

  20. 例7. m2 m1 = +

  21. m2 例7. m1 A 2m m 2y(t) k y(t) 3y(t) l l l 例8 建立图示体系的运动方程

  22. A B m EI l l 例9 建立图示体系的运动方程

  23. 设 水平位移为x 竖向位移为y 转角为 2b 2a 例10 图示体系为质量均匀分布的刚性平板,试建立运动方程. 总质量为M,转动惯量为J.

  24. l EI • 2.单自由度体系的振动分析 • 2.1 不计阻尼自由振动 自由振动---由初位移、初速度引起的,在振动中无动荷载作用的振动。 分析自由振动的目的---确定体系的动力特性:频率、周期。 阻尼---耗散能量的作用。 一.运动方程及其解 m 令 二阶线性齐次常微分方程

  25. 其通解为 由初始条件 可得 一.运动方程及其解 m l EI 令 二阶线性齐次常微分方程 其中

  26. 其通解为 由初始条件 其中 可得 与外界无关,体系本身固有的特性 A振幅 初相位角 二.振动分析 单自由度体系不计阻尼时的自由振动是简谐振动. 自振周期 自振园频率(自振频率)

  27. 二.振动分析 单自由度体系不计阻尼时的自由振动是简谐振动. 自振周期 与外界无关,体系本身固有的特性 自振园频率(自振频率) A振幅 初相位角 三.自振频率和周期的计算 (2)利用机械能守恒 1.计算方法 (1)利用计算公式

  28. 三.自振频率和周期的计算 (2)利用机械能守恒 1.计算方法 (1)利用计算公式 m 1 l EI (3)利用振动规律 幅值方程 位移与惯性力同频同步.

  29. m l EI EI =1 l =1 l l l/2 三.自振频率和周期的计算 2.算例 例一.求图示体系的自振频率和周期. 解:

  30. m/2 m l =1 l EI EI l EI l EI k l 1 k 例二.求图示体系的自振频率和周期. 解: 例三.质点重W,求体系的频率和周期. 解:

  31. m m m k k l l l l 例四.求图示体系的自振频率和周期. 解: 1.能量法 A 2.列幅值方程

  32. m ---荷载频率 P(t) l EI • 2.2 简谐荷载作用下的受迫振动(不计阻尼) 受迫振动---动荷载引起的振动. 一.运动方程及其解 P ---荷载幅值 运动方程 或 设 代入方程,可得 二阶线性非齐次常微分方程 通解 通解为 其中

  33. m P(t) l EI 设 代入方程,可得 通解为 二.纯受迫振动分析 ---稳态振幅 ---荷载幅值作为静荷载所引起的静位移 ---动力系数

  34. 二.纯受迫振动分析 m P(t) ---稳态振幅 l EI ---荷载幅值作为静荷载所引起的静位移 ---动力系数 1 1 ---频比

  35. 增函数 减函数 为避开共振 一般应大于1.25 或小于0.75. ---稳态振幅 ---荷载幅值作为静荷载所引起的静位移 ---动力系数 ---频比 1 1 0.75 1.25 ---共振 共振区

  36. 增函数 ---共振 减函数 为避开共振 一般应大于1.25 或小于0.75. 通过改变频比可增加或减小振幅. 若要使振幅降低,应采取何种措施? 增加结构自频. 增加刚度、减小质量. 应使频比减小. 减小结构自频. 减小刚度、增大质量. 应使频比增大.

  37. 例1 求图示体系振幅和动弯矩幅值图,已知 m l Pl/4 EI EI Pl/3 动弯矩幅值图 计算步骤: 三.动位移、动内力幅值计算 1.计算荷载幅值作为静荷载所引起的 位移、内力; 2.计算动力系数; 3.将得到的位移、内力乘以动力系数 即得动位移幅值、动内力幅值。 解.

  38. 例2 求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移 已知: Q l/2 l/2 l/4 解. 重力引起的弯矩 重力引起的位移 振幅 动弯矩幅值 跨中最大弯矩 跨中最大位移

  39. m =1 P =1 仍是位移动力系数 是内力动力系数吗? [动荷载不作用于质点时的计算] 运动方程 振幅 令 稳态解

  40. 同频同步变化 例:求图示体系振幅、动弯矩幅值图.已知 P P =1 m EI l/2 l/2 [列幅值方程求内力幅值] 解:

  41. P 例:求图示体系振幅、动弯矩幅值图.已知 P P =1 解: m EI l/2 l/2 动弯矩幅值图

  42. P 动弯矩幅值图 P m m k A l l l 例:求图示体系右端的质点振幅 o 解:

  43. m • 2.3 阻尼对振动的影响 一.阻尼与阻尼力 阻尼:使振动衰减的作用. 阻尼产生原因: 材料的内摩擦,连接点、支承面等处的外摩擦及介质阻力等. 阻尼力: 在振动分析当中用于代替阻尼作用的阻碍振动的力。 粘滞阻尼理论假定阻尼力的大小与速度成正比,方向与速度相反。 c-----阻尼系数 二.计阻尼自由振动 运动方程 1.运动方程及其解 令 设 特征方程

  44. 根为 令 由初始条件 二.计阻尼自由振动 运动方程 1.运动方程及其解 m 令 设 特征方程 小阻尼情况 临界阻尼情况 方程的通解为 不振动 --临界阻尼系数 超阻尼情况 ---阻尼比 不振动

  45. 根为 小阻尼情况 令 临界阻尼情况 方程的通解为 不振动 --临界阻尼系数 由初始条件 超阻尼情况 ---阻尼比 不振动 2.振动分析 周期延长 计算频率和周期可不计阻尼

  46. 2.振动分析 周期延长 计算频率和周期可不计阻尼 振动是衰减的 利用此式,通过实验可确定 体系的阻尼比.上式也可写成 对数衰减率

  47. 振动是衰减的 利用此式,通过实验可确定 体系的阻尼比.上式也可写成 对数衰减率 2cm 例: 对图示体系作自由振动试验.用钢 丝绳将上端拉离平衡位置2cm,用 力16.4kN,将绳突然切断,开始作 自由振动.经4周期,用时2秒,振幅 降为1cm.求 解: 1.阻尼比 1.阻尼比 2.刚度系数 3.无阻尼周期 4.重量 5.阻尼系数 2.刚度系数 6.若质量增加800kg体系 的周期和阻尼比为多少

  48. 例: 对图示体系作自由振动试验.用钢 丝绳将上端拉离平衡位置2cm,用 力16.4kN,降绳突然切断,开始作 自由振动.经4周期,用时2秒,振幅 降为1cm.求 解: 1.阻尼比 1.阻尼比 2.刚度系数 3.无阻尼周期 4.重量 5.阻尼系数 2.刚度系数 2cm 6.若质量增加800kg体系 的周期和阻尼比为多少 5.阻尼系数 3.无阻尼周期 6.若质量增加800kg,体系的周期和阻尼比 为多少 4.重量

  49. 三.计阻尼简谐荷载受迫振动 1.运动方程及其解 或 通解 设

  50. 初位移、初速度引起的自由振动分量 动荷载激起的按结构自振频率振动的分量,称为伴随自由振动 纯受迫振动

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