FAKULTET GRAĐEVINARSTVA, ARHITEKTURE I GEODEZIJE SVEUČILIŠTA U SPLITU

1. FAKULTET GRAĐEVINARSTVA, ARHITEKTURE I GEODEZIJE SVEUČILIŠTA U SPLITU Doc.dr.sc. Hrvoje Gotovac MODELIRANJE TOKA I PRONOSA U PODZEMLJU Split, 04. 10. 2011.

2. Sadržaj kolegija • Uvod • Tečenje u poroznim zasićenim sredinama • Pronos u poroznim zasićenim sredinama • Stohastičko modeliranje toka i pronosa zagađenja i trasera u poroznim zasićenim sredinama • Tečenje i pronos u nezasićenim poroznim sredinama • Tečenje i pronos s promjenjivom gustoćom • Višefazno tečenje • Pronos energije u poroznim sredinama • Tečenje i pronos u raspucalim frakturiranim formacijama • Tečenje i pronos u kršu Dodatak: DVD s grafičkim programskim paketom Fi. kodovima i primjerima

3. Literatura • Interna skripta, 2010, Gotovac. • Geostatistika-umijeće prostorne analize, 2007, Andričević, Gotovac, Ljubenkov. • Osnove hidromehanike, 2006, Jović. • Uvod u inženjersko numeričko modeliranje, 1993, Jović. • Applied stochastic hydrogeology, 2003, Rubin. • Seawater intrusion in coastal aquifers, 1999, Bear i ostali.

4. 1. UVOD • Ovo poglavlje posvećeno je prvenstveno osnovnim pojmovima, parametrima i zakonima hidraulike podzemnih voda. • Značenje podzemne vode u kružnom ciklusu vode u prirodi • Značenje podzemne vode za vodopskrbu, gospodarstvo, navodnjavanje,… • Samo manji dio oborina probije se do podzemlja, no kroz geološko vrijeme ovakav proces rezultirao je velikim zalihama podzemne • Volumen podzemne vode predstavlja NAJVEĆI volumen nezaslanjene vode raspoložive za uporabu (preko 99 %) • Osim tečenja promatramo i pronos raznih čestica, tvari i/ili energije • Spominjemo razne vrste tečenja, pronosa, vodonosnih slojeva, poroznih sredina • Dajemo značaj modeliranja, različitih formulacija i tehnika rješavanja

5. Procjena vodnih resursa Zemlje • U SAD-u je procijenjeno da crpljenje podzemne vode za vodoopskrbu i navodnjavanje doseže 73 milijarde galona ili 277x106m3 dnevno, što čini otprilike 1/5 ukupne upotrebe voda u SAD-u.

6. Voda u podzemlju Hidrološki ciklus vode na Zemlji • Voda u podzemlje dolazi prvenstveno iz oborina procesima infiltracije i perkolacije kroz poroznu sredinu.

7. Voda u podzemlju • Brzinu i količinu vode koja će se infiltrirati u zasićenu zonu određuju vrsta geološke sredine sistema te stupanj heterogenosti. • NESTACIONARNOST RAZINE PODZEMNE VODE vrlo je važna karakteristika na koju treba obratiti posebnu pozornost pri projektiranju i analizi podzemnih voda

8. Osnovni termini • Hidraulika, hidrologija i hidrogeologija • Porozni medij ima ima dvije-tri faze: voda, zrak i čvrsta faza • Zasićena i nezasićena sredina • Akviferi i akvitardi (vodopropusni i vodonepropusni slojevi) • Vodonosnik sa slobodnim vodnim licem i pod tlakom • Saturirano i nesaturirano tečenje • Reaktivni i ne-reaktivni pronos • Jednofazno ili višefazno tečenje • Tečenje miješajućih i nemiješajućih fluida • Kontinuirana porozna sredina (npr. aluviji, pješčenjaci), raspucale frakturirane stijene (npr. dolomiti) i krške strukture (npr. vapnenci)

9. Trokomponentni (trofazni) sastav tla:

10. Primjer tečenja u vodonosniku • Najčešći primjeri vodonosnih slojeva su geološke formacije dobre hidrauličke vodljivosti (npr. > 10-5 [m/s] ). Tu prvenstveno spadaju aluvijalne formacije pijeska, šljunka te ostale provodljive sedimentne stijene (pješčenjaci, vapnenci itd.) Slika predstavlja vodnosnik sa slobodnim vodnim licem i pod tlakom. Između njih je akvitard ili vodonepropusni sloj.

11. ZASIĆENA SREDINA • nalazi se ispod vodnog lica u podzemlju • voda ispunjava sve povezane pore i vlažnost je jednaka efektivnom porozitetu • tlak vode je veći od atmosferskog (tako je mjereni tlak veći od nule) • hidraulička visina se mjeri u piezometrima • vodonosni sloj ili vodonosnik → svaka geološka formacija koja je porozna, zasićena vodom i može pronositi značajne količine vode pod utjecajem hidrauličkog gradijenta (riječ akvifer, koja se često susreće u stranoj literaturi, ima puno šire značenje) • vodonepropusni slojevi (ili akvitardi) → formacije koje nemaju sposobnost provođenja vode zbog slabe hidrauličke provodljivosti, bez obzira da li u sebi sadrže vodu u prostoru pora

12. NEZASIĆENA SREDINA • dijelovi podzemlja nisu uvijek ispunjeni vodom, a to se prvenstveno odnosi na one dijelove podzemlja koji su blizu površine zemlje • prostor pora u tom slučaju samo je parcijalno ispunjen vodom i stoga se taj dio zove NEZASIĆENA ZONA • osnovna fizikalna karakteristika nezasićene sredine je stupanj vlažnosti koji je prisutan u formaciji • ako podijelimo ukupni volumen poroznog uzorka VU, na volumen čvrste faze Vs, volumen vode prisutan u uzorku Vv i volumen zraka prisutnog u uzorku Vz, tada je stupanj vlažnosti definiran kao: Kao i porozitet, vlažnost se definira u postotku i u slučaju zasićene sredine, , dok kod nezasićene sredine vrijedi.

13. Heterogeni porozni medij

14. Realni fizikalni primjeri • Eksploatacija vodonosnika za vodoopskrbu ili navodnjavanje (hidrotehnički aspekt) • Utiskivanje nuklearnog ili drugog opasnog otpada (ekološki aspekt) • Interakcija slatke i slane vode u obalnim vodonosnicima (hidrotehnički i ekološki aspekt) • Utiskivanje trasera ili probna crpljenja radi određivanja disperzivnih ili drugih karakteristika vodonosnika (hidrogeološki aspekt)

15. Realni fizikalni primjeri • Višefazno tečenje nemiješajućih fluida (npr. interakcija vode i nafte pri procesu crpljenja nafte, ekonomski i energetski aspekt) • Eksploatacija geotermalne energije (medicinski aspekt)

16. MEĐUDJELOVANJE PODZEMNIH I POVRŠINSKIH TOKOVA

17. PRODOR SOLI U PRIOBALNE VODONOSNIKE

18. ZBRINJAVANJE NUKLEARNOG OTPADA U SLANE DOME

19. Nepropusna pokrovna stijena Utiskivanje otpada Nepropusna podinska stijena Širenje otpada ZBRINJAVANJE OTPADA IZ NAFTNOG RUDARSTVA U DUBOKE BUŠOTINE

20. Višefazno tečenje ulja, vode i plina

21. Reaktivni pronos - biodegradacija

22. GEOTERMALNI KONVEKTIVNI PROCESI U PODZEMLJU

23. Osnovne fizikalne varijable u podzemlju • Tlak • Piezometarska visina • Koncentracija • Brzina • Temperatura

24. Osnovne hidrauličke karakteristike • Gustoća • Viskoznost • Stišljivost fluida • Stišljivost poroznog medija • Poroznost • Permeabilnost

25. FIZIKALNE KARAKTERISTIKE I PRINCIPI Osnovni fizikalni pojmovi: • Energija, E, je sposobnost tijela da izvrši rad koji je jednak produkt sile i puta na kome ona djeluje. Mjerna jedinica za rad je 1 Joul (J), to je ustvari sila od 1 N koja djeluje na putu od 1 m. • Sila,F, je produkt mase i akceleracije. Mjerna jedinica za silu je 1 Newton • (N) - 1 kg s akceleracijom od 1 . • Težina vode, G, gravitacijska je sila zemlje koja djeluje na tijelo, i ima istu mjernu jedinicu kao i sila

26. Gustoća vode: • Specifična težina: (težina po jediničnom volumenu) • Koncentracije faze (volumenska i masena): • Tlak: • Tenzor naprezanja je simetrični tenzor drugog reda. U svakoj ravnini su definirana normalna (tlak i vlak) i posmična naprezanja. U vodi imamo samo tlak.

27. GUSTOĆA • Ovisi o promjeni tlaka, temperature i/ili koncentracije • Za izotermne uvjete i klasične raspone tlakova • Slatka voda - more • Slani slojevi ili dome, zagađenja, otpad

28. VISKOZNOST • Dinamička viskoznost je svojstvo tekućine da se odupire posmičnoj ili tangencijalnoj deformaciji, a prikazuje odnos vremenske posmične deformacije i posmičnog naprezanja u fluidu (Jović, 1978). • Ovisi o promjeni tlaka, temperature i/ili koncentracije

29. STIŠLJIVOST • stišljivost - karakteristika materijala koja opisuje promjenu volumena ili napona u materijalu pod djelovanjem tlaka • standardni pristup u čvrstoći materijala je koncept modula elastičnosti koji je definiran kao odnos promjene naprezanja dσ prema rezultirajućoj promjeni relativne deformacije dε • stišljivost je inverzna modulu elastičnosti, definirana kao relativna deformacija/naprezanje dε/dσ

30. čvrstoća materijala u poroznoj sredini mjeri se modulom elastičnosti: gdje je dσ naprezanje, a dε deformacija. • stišljivost je obrnuto proporcionalna modulu elastičnosti: stišljivost • povećanje tlaka (p) vode može rezultirati smanjenju određenog volumena vode, VV. Stišljivost vode je tada definirana kao: negativan predznak potreban je da se dobije pozitivna vrijednost za - relativna deformacija u vremenu - promjena tlaka

31. Prethodni izraz prikazuje linearnu elastičnu relaciju između volumetrijske deformacije i tlaka induciranog u vodi sa promjenom tlaka dp. Dakle, stišljivost vode β predstavlja nagib linearnog odnosa relativne deformacije prema tlaku. β ima jedinice kao i inverzni tlak: ( ,Pa) tj.

32. Za poznatu masu vode može se pisati: ρ - gustoća vode - relativna deformacija volumena izražena kao relativna promjena gustoće Integracijom izraza β definiranim s gustoćom vode dobiva se jednadžba stanja vode: S tim da je gustoća ρ0 gustoća pri p0. Ako se uzme za p0=atmosferski, dobiva se: Za nestišljivu tekućinu vrijedi: konstanta Temperatura koja se uglavnom susreće u podzemlju ima zanemariv utjecaj naβ tako da u praksi uglavnom uzimamo β = const.

33. Pretpostavimo da je jedinična masa porozne sredine stavljena pod pritisak. Postoje tri načina kako može doći do smanjenja volumena u poroznoj sredini: • kompresijom vode u porama – kontroliran stišljivošću vode (β) • kompresijom individualnih zrna materijala - stišljivost individualnih zrna (taj mehanizam je zanemariv pod pretpostavkom da su zrna materijala nestišljiva) • preraspodjelom poroznog materijala u gušće pakiranu sredinu (taj mehanizam predstavlja stišljivost porozne sredine koji je bitan u izgradnji podzemnih objekata) • Koncept efektivnog tlaka predloženog od Terzaghi-a (1925) • Primjer: tlak je u ravnoteži na proizvoljnoj plohi (Sl.2.5). • σt - ukupni tlak koji djeluje prema dolje na plohu (može biti rezultat težine same porozne sredine s vodom, a može biti rezultat građevnog objekta)

34. Ravnotežu ukupnom tlaku daje tlak tekućine p i efektivni tlakσe . Upravo ovaj efektivni tlak djeluje na skelet porozne sredine i uzrokuje preraspodjelu zrna poroznog materijala koja konačno rezultira kompresijom skeleta porozne sredine. U ravnotežnom stanju možemo pisati odnosno u obliku promjene (diferencijalnom obliku) . Ravnoteža tlakova • U većini slučajeva težina porozne formacije ili težina objekta konstantna u vremenu što rezultira jednakosti, (porast tlaka tekućine prati pad efektivnog tlaka). • Dakle, efektivni tlak u bilo kojoj točci poroznog sistema kontroliran je tlakom tekućine u toj točci.

35. kako je u bilo kojoj točci tj. z = konst., svaka promjena efektivnog tlaka je kontrolirana promjenom hidrauličke visine, • ova kratka analiza efektivnog pritiska omogućava definiciju stišljivosti porozne sredine u obliku: • gdje je VU ukupni volumen porozne mase, definiran kao VU= Vs+Vv, pri čemu Vs označava volumen krute faze dok Vv označava volumen tekućine • povećanje efektivnog napona σe rezultira smanjenjem dVU ukupnog volumena porozne sredine kao rezultat reorganizacije zrnatog materijala porozne sredine • kako se općenito može pisati, dVU = dVs+ dVv, tada pod pretpostavkom da je kruta faza nestišljiva (npr. dVs = 0  pišemo dVU = dVv) • na istom principu odnosa efektivnog napona i promjene volumena temeljeni su i instrumenti za mjerenje stišljivosti porozne sredine odnosno procesa konsolidacije koji ima važnu primjenu u analizi i projektiranju hidrotehničkih objekata.

36. Kada se uspostavi ekvilibrij onda je dp = 0 Odnos volumena vode prema čvrstoj fazi: početni • α za razliku od β nije konstanta već funkcija tlaka te prijašnjeg opterećenja. • Za vodonosnik α je samo jednodimenzionalna veličina. Ako je tlak samo vertikalni onda b postaje debljina vodonosnika i α postaje vertikalna stišljivost. U stvarnosti je α = α (x,y) iako se smatra da je vertikalni najvažniji.

37. TOTALNA ILI APSOLUTNA POROZNOST • Poroznost zemljanog materijala odnos je volumena otvorenog prostora (pora) prema totalnom volumenu promatranog uzorka. To je bezdimenzionalna veličina najčešće dana u postotku gdje je Vv volumen otvorenog prostora, V totalni volumen promatranog prostora i n je totalna poroznost uzorka. Poroznost se laboratorijski određuje uzimanjem uzorka spoznatim volumenom (V). Uzorak se potom suši do konstantne težine na temperaturi od 105 °C. • Uzorak se potom suši do konstantne težine na temperaturi od 105 °C. Time se odstrani sva voda iz pora, ali ne i voda koja je kemijski vezana uz minerale. Osušeni uzorak se zatim potopi u posudu s poznatim volumenom vode i ostavi dok se potpuno ne saturira. Volumen otvorenog prostora u uzorku, Vv, jednak je razlici poznatog volumena vode u kojeg je uronjen i volumena vode u posudi kada je uzorak izvađen.

38. = bruto gustoća uzorka Efektivna poroznost je prostor u poroznoj formaciji, raspoloživ za protok vode i transport zagađenja kroz podzemlje. Za potpuni saturirani uzorak, efektivna poroznost se (kinematički) definira prema izrazu: postoje u slijedećim Ograničenja za izračunavanje efektivne poroznosti situacijama: • nepovezanost pora • postojanje tzv. mrtvih zona • dominiranje pukotina na većoj skali

39. Efektivni porozitet (raspoloživ za tok vode) ima važnu ulogu u procesima transporta zagađenja u podzemlju. U nekim slabo poroznim materijalima (npr. glina ) razlika između totalnog i efektivnog poroziteta je velika i njihovo točno mjerenje je imperativ. • Primarni porozitet je nastao za vrijeme taloženja sedimenata i uglavnom predstavlja prostor između zrnatog materijala. Njegova veličina ovisi o stupnju sortiranja i obliku deponiranog zrnatog materijala. • Sekundarni porozitet nastaje hidrološkim i kemijskim procesima nakon formiranja sedimenata. Najčešći procesi koji utječu na sekundarnu poroznost su rastvaranje karbonatnih stijena, pukotine nastale tektonskim pomacima, te ostali procesi vlaženja i rastvaranja stijena kemijskim utjecajem. Sekundarni porozitet doprinosi povećanju efektivne poroznosti . S obzirom na način postanka stijena razlikujemo: 1. Dolomiti i vapnenci su najčešće formirani od kalcijevog karbonata, gipsa, kalcijevog sulfata i drugih klorida. Cirkulacija podzemnih voda s vremenom rastvara stijenu prolazeći kroz povezane pore i pukotine.

40. 2. Stijene metamorfnog podrijetla su nastale pod jakom toplinom i pritiskom na već postojeće stijene. Njihov porozitet je uglavnom mali i rezultat je procesa vlaženja i pukotina nastalih tektonskim pomacima. 3. Stijene vulkanskog podrijetla formirane su hlađenjem lave i u sebi sadrže otvore i pukotine kao rezultat razlike bržeg i sporijeg hlađenja. Ti otvori mogu biti nepovezani i tada malo doprinose protoku vode, dok u slučaju njihove povezanosti mogu predstavljati značajnu trajektoriju za tok vode i pronos zagađenja kroz podzemlje.

41. U tablici je prikazan srednji porozitet nekih stijena. Vrijednosti su samo indikativnog karaktera, dok stvarne vrijednosti mogu značajno varirati. Primjer sredine u kojoj je ukupni porozitet jednak efektivnom porozitetu su špekule ( franje ), tj. volumen ispunjen špekulama.

42. Porozitet u točci je jedanako je točka mjernog instrumenta pala u poru ili je nulaako je pala u čvrstu fazu (npr.zrno poroznog materijala). Tek povećanjem veličine uzorka na neku konačnu skalu, uvodimo obje faze i time porozitet dobiva smisao izraza. Drugim riječima, dajemo matematičkoj točci u prostoru vrijednost poroziteta za određeni volumen koji okružuje tu točku. Ovaj se koncept zove reprezentativni elementarni volumen(REV) i predstavlja vrst prostorne integracije (odnosno osrednjavanja). Veličina REV-a treba zadovoljavati slijedeća dva uvjeta: • dovoljno velika da sadrži dovoljan broj pora kako bi se srednja vrijednost mogla naći uz istodobno zanemariv utjecaj fluktuacija na skali pora (npr.1 dm3za nekonsolidirane materijale). • dovoljno malena kako bi se varijacije parametara u prostoru mogle opisati kontinuiranim matematičkim funkcijama. Praktično se smatra da veličina REV-a odgovara veličini uzorka kada mjerni parametar (npr.porozitet) dobiva konstantnu vrijednost u grafu kada je prikazan kao funkcija veličine uzorka (Slika 2.3).

43. Drugi pristup mjerenju relevantnih fizikalnih karakteristika podzemnih formacija je koncept slučajne funkcije. Zamislimo, na primjer, da imamo više uzoraka poroznog medija iste veličine (npr. veliki broj kolona ispunjenih poroznim materijalom), te u svakom uzorku mjerimo porozitet u točci (dakle, mjerimo ili jedan ili nula, ovisno da li je mjerna točka pala u poru ili na zrno materijala). Srednja vrijednost (osrednjena po broju kolona) svih mjerenih poroziteta u točci predstavlja osrednjavanje po realizacijama porozne sredine i jednaka je prostornom osrednjavanju po jednom takvom uzorku. Vrlo bitna razlika je u tome što je osrednjeni porozitet po skupu realizacija jednak za svaku točku uzorka.

44. DARCY-ev EKSPERIMENT • francuski inženjer Henry Darcy • studija vodoopskrbe grada Dijon-a u Francuskoj • eksperiment protoke vode kroz cilindar pijeska Rezultat eksperimenta je slijedeći: protok vode je proporcionalan razlici stupca vode na oba kraja te obrnuto proporcionalan dužini toka vode (npr. dužini cilindra pijeska,

45. Dakle, Darcy-ev empirijski zakon se može pisati kao: ili u diferencijalnom obliku: gdje dh/dl predstavlja hidraulički gradijent, K je konstanta proporcionalnosti, A je poprečni presjek cilindra pijeska. Negativni znak u gornjem izrazu rezultat je tečenja u smjeru opadanja hidrauličkog potencijala. K evidentno mora biti u funkciji poroznog materijala koji ispunjava cilindar, jer će držanjem konstantnog gradijenta, protok varirati za različiti porozni materijal.

46. Parametar K koji se naziva hidraulička provodljivost (konduktivitet) ima veću vrijednost za pijesak i šljunak, a manju za glinu i veliku većinu stijena. Budući je hidraulički gradijent, K, bezdimenzionalna veličina, imadimenziju dužina/vrijeme, tj. dimenziju brzine. Darcy-eva konstanta proporcionalnosti,K, ovisi ne samo o vrsti materijala, već i o fizikalnoj karakteristici vode koja prolazi kroz porozni materijal. Ako bi ponovili Darcy-ev eksperiment sa zrnima materijala jednoličnog dijametra protok vode bi bio proporcionalan kvadratu dijametra zrna pri čemu C predstavlja novu konstantu proporcionalnosti, zvanu faktor oblika. C i su karakteristike poroznog materijala, dok su i karakteristike tekućine.

47. Sada možemo definirati novi parametar zvani permeabilitet, tj. propusnost porozne sredine, koji je funkcija samo porozne sredine i slobodnim riječima označava veličinu otvora kroz koji tekućina prolazi, k ima dimenziju površine te se konačni oblik Darcy-evog eksperimentalnog zakona može pisati za Darcy-evu i stvarnu brzinu: Na osnovi ovog izraza, jedinica za permeabilitet je 1 darcy koji je definiran kao permeabilitet koji rezultira specifičnim protokom ] q,od 1 [ . kroz sekciju od 1 [ ] za tekućinu viskoznosti 1 [ ] ). uz gradijent pritiska od 1 ( Jedan darcy jednak je 9.87 Ako se prisjetimo definicije hidrauličkog potencijala, onda se za nestišljivu tekućinu može pisati :

48. Iz gornjeg izraza definicija hidrauličke vodljivosti je čije su dimenzije iste kao i za brzinu: Premda se Darcy-ev zakon potvrdio eksperimentalno na raznim primjerima, postoje slučajevi kada linearni odnos ne vrijedi. To su slučajevi s vrlo niskim i vrlo visokim hidrauličkim gradijentom.

49. U slučajevima visokih gradijenata može se eksperimentalno pokazati da je proporcionalnost između brzine filtracije i gradijenta kvadratnog oblika: • gubici zbog viskoznog trenja • označava gubitke zbog inercije tekućine U praksi se kaže da Darcy-ev zakon vrijedi pri Reynolds -ovom brojumanjem od limita 1 – 10. U tim slučajevima tečenje je laminarno unutar pora. Kad počinje dosezati vrijednosti 10 – 100 dolazi do nestacioniranih pojava i sile inercije nisu više zanemarive što rezultira nelinearnosti između brzina filtracije i gradijenta - kvadratni oblik u gornjoj jednadžbi počinje dominirati. Tipičan primjer takvog stanja su tečenja u kršu gdje je disipacija kinetičke energije značajna.

50. Tablica pokazuje neke približne raspone hidrauličkog konduktiviteta za razne vrste poroznih sredina.