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ESPAÇO VETORIAL

ESPAÇO VETORIAL. DE. MATRIZES. POLINÔMIOS. MATRIZES. 2 2 3 0. 1 2 5 6. 4 0 1 1. 3 1 2 2. M 4 =. M 1 =. M 2 =. M 3 =. a b c d. Para escrever a matriz na base acima, tem-se:. M =. 3X + 4Y + 2Z + 1W = a

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  1. ESPAÇO VETORIAL DE MATRIZES POLINÔMIOS

  2. MATRIZES 2 2 3 0 1 2 5 6 4 0 1 1 3 1 2 2 M4 = M1 = M2 = M3 = a b c d Para escrever a matriz na base acima, tem-se: M = 3X + 4Y + 2Z + 1W = a 1X + 0Y + 2Z + 2W = b 2X + 1Y + 3Z + 5W = c 2X + 1Y + 0Z + 6W = d a b c d X Y Z W 3 4 2 1 1 0 2 2 2 1 3 5 2 1 0 6 x = Sejam, por exemplo, as matrizes: XM1 + YM2 + ZM3 + WM4 = M Isto resultará no sistema: Que equivale à equação matricial Cada matriz se transforma no vetor (a11, a12, a21, a22) que, na equação matricial, se escreve em colunas.

  3. POLINÔMIOS Cada base de um espaço vetorial de polinômios de grau “n” é formada por n + 1 polinômios. Por exemplo: Para polinômios de grau 3, pode ser tomada como base o conjunto: {v1 = 2t3 + t; v2 = t2 + 2t – 1; v3 = t + 2; v4 = 5} formado por 3 + 1 = 4 polinômios. Alem disso, pelo menos em um dos vetores, deve figurar um dos graus 3, 2, 1, 0. A forma geral dos vetores de grau 3 é P3 = at3 + bt2 + ct + d Para escrever o polinômio P3 na base do exemplo, tem-se: Xv1 + Yv2 + Zv3 + Wv4 = P3

  4. 2X + 0Y + 0Z + 0W = a 0X + 1Y + 0Z + 0W = b 1X + 2Y + 1Z + 0W = c 0X – 1Y + 2Z + 5W = d 2 0 0 0 X a 0 1 0 0 Y b 1 2 1 0 Z c 0 -1 2 5 W d x = {v1 = 2t3 + t; v2 = t2 + 2t – 1; v3 = t + 2; v4 = 5} Base Polinômios P3 = at3 + bt2 + ct + d Xv1 + Yv2 + Zv3 + Wv4 = P3 Equação: X.(2t3 + 0t2 + 1t + 0) + Y.(0t3 + 1t2 + 2t – 1) + Z.(0t3 + 0t2 + 1t + 2) + W.(0t3 + 0t2 + 0t + 5) = = at3 + bt2 + ct + d Os polinômios podem ser escritos na forma de vetores (, , , ) cujas coordenadas são os coeficientes dos polinômios. Na matriz esses vetores são representados em colunas.

  5. EXERCÍCIOS 1 – Quais são as bases canônicas dos espaços vetoriais abaixo sobre o corpo dos reais (Pn – polinômio de grau n; Mn – matrizes de ordem n)? (a) P2 (b) P3 (c) P4 (d) M2 (e) M3 (f) M4 2 - Sejam A = {a1 = 2, a2 = x + 1, a3 = x2 + 2}, B = {b1 = 4, b2 =2x – 1, b3 = x2 – x + 1} e C = {c1 =1, c2 = x, c3 = x2}, bases do espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a dois.a) Transforme P(x)C = 4x2 – 2x + 7 para as bases B e A.b) Transforme P(x)A = 5a32 + 3a2 + 2a1 para as bases B e C.c) Escreva as matrizes que transformam as bases A para B, A para C, B para A, B para C, C para A e C para B 3 – Escreva um conjunto de matrizes quadradas de ordem 2 que seja uma base para o espaço M2. Verifique se esse conjunto é mesmo uma base.

  6. 3 - Sejam os conjuntos: 2 2 3 0 1 2 5 6 4 0 1 1 3 1 2 2  = M4 = M1 = , , , M2 = M3 = 3 0 1 4 5 1 2 6 2 3 4 5 1 1 2 3  = M’4 = M’1 = , , , M’2 = M’3 = • -12 • 5 9 (a) Escreva a matriz nas bases e . (b) Determine a matriz que transforma a base  na base . (c) Prove que  é uma base. 7 1 6 2 (d) Se M = é uma matriz escrita na base , escreva-a na  base .

  7. F I M

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