И нвестиции

1. Инвестиции Семинарские занятия

2. Группа задач I

3. Задача №1. Условия Найдите будущую стоимость FV 1 030 р., инвестированных на 2 года под 11,8% по схеме начисления сложных процентов.

4. Задача №1. Решение FVt = PV (1 + r)t = 1030 (1 + 0,118)2 = 1030×1,2499 = 1287,42 р.

5. Задача №2. Условия Найдите будущую стоимость FV 770 р., инвестированных на 1,5 года под 9,8% по схеме начисления сложных процентов каждые полгода.

6. Задача №2. Решение FVt = PV (1 + r/m)tm = 770 (1 + 0,098/2)1,5×2 = 770×1,1543 = 888,81 р.

7. Задача №3. Условия Вычислите приведенную стоимость PV 1759р., которые предполагается получить через 2 года, если сложная ставка процентов составляет 12,9%.

8. Задача №3. Решение PV = FVt/(1 + r)t = 1759/(1 + 0,129)2 = 1759/1,2746 = 1380,04р.

9. Задача №4. Условия Если в результате вложения средств на 2,5 года при ежемесячном начислении процентов по годовой ставке 12,3% вы получите 2037р., какова текущая стоимость PV вкладываемой суммы?

10. Задача №4. Решение PV = FVt/(1 + r/m)tm = 2037/(1 + 0,123/12)2,5×12 = 2037/1,3579 = 1500,11 р.

11. Задача №5. Условия Если будущая стоимость FV 830 руб., вложенных на 2 года, составляет 950 р., какова ставка сложных процентов?

12. Задача №5. Решение

13. Задача №6. Условия Вычислите годовую ставку процентов (APR – Annual Percentage Rate)по вложению, если 1470р., вложенные сегодня при ежемесячном начислении сложных процентов, приносят 1684руб. через 2 года.

14. Задача №6. Решение

15. Задача №7. Условия Предположим, вы сегодня положили на счет 1000р., и на эту сумму ежегодно начисляются 8%. • Сколько денег вы будете иметь через 4 года? • Сколько денег вы будете иметь, если деньги начисляются ежеквартально? • Сколько в таком случае вы будете иметь через 4,5 года?

16. Задача №7.Решение • Будущая стоимость 1000 р. при 8% через 4 года FV = PV(1+i)t = 1000×(1+0,08)4 = 1000×1,36049 = 1360,49 (р.) • Если 8% начисляются ежеквартально, то ежеквартальная ставка равна 8%/4квартала = 2% в квартал. Через 4 года, т.е. через 16 кварталов, получаем следующий результат FV = PV(1+i)t = 1000×(1+0,02)16 = 1000×1,37279 = 1372,79 (р.) Отметим, что мы можем посчитать эту величину следующим образом: EAR = (1 + 0,08/4)4 – 1 = 1,024 – 1 = 0,08243, EAR (Equivalent Annual Rate) – эффективная годовая ставка процентов, которая дает тот же результат что m-разовое начисление процентов по номинальной ставке. Коэффициент капитализации (множитель наращения - (1+i)t) был бы равен (1 + 0,08243)4 = 1,37277 В результате мы приходим к такому же результату.

17. Задача №7.Решение • а. С использованием фактической квартальной процентной ставки на 18 кварталов: FV = PV(1+i)t = 1000×(1+0,02)18 = 1000×1,42825 = 1428,25(р.) б. С использованием эффективной годовой процентной ставки на 4,5 года: FV = 1000×{1+EAR}4,5 = 1000×{1+[(1 + 0,08/4)4 – 1]}4,5 = 1000×[1,08243]4,5 = 1000×1,42823 = 1428,23 (р.)

18. Задача №8. Условия задачи Предположим, вы только что отпраздновали ваш 19-й день рождения. Богатый дядюшка основал для вас инвестиционный фонд, по которому по достижении 25 лет вы получите 100 000р. Если соответствующая учетная ставка равна 11%, то сколько этот фонд стоит сегодня?

19. Задача №8. Решение Современная (приведенная) стоимость инвестиционного фонда равна PV = FV/(1+i)t = 100000/(1+0,11)6 = 100000/1,87041 = 53464,21 (р.)

20. Задача №9. Условия задачи Первый отобранный в первом раунде футбольных игр защитник получает трехлетний контракт на 10млн.р. Игрок сразу получает бонус размере 1млн.р. Затем получает в качестве зарплаты 2млн.р. в конце первого года, затем 3млн.р. в конце следующего года и 4млн.р.в конце последнего года. Предположим, что учетная ставка 10% годовых. Стоит ли данный контракт 10 млн.? Сколько стоит данный контракт сегодня?

21. Задача №9. Решение Для решения данной задачи воспользуемся формулой: Подставляя данные задачи в формулу, получаем PV = 1/(1+0,1)0 + 2/(1+0,1)1 + 3/(1+0,1)2 + 4/(1+0,1)3 = = 1 + 2/1,1 + 3/1,21 + 4/1,331 = = 1 + 1,81818181 + 2,47933884 + 3,00525920 = = 8,30277985 (млн.р.) = 8 302 779,85 р.

22. Задача №10. Условия задачи Вы планируете вложить несколько сумм на счет с начислением процентов. Сегодня вы депонируете 1000р., 2000р.через 2 года и 8000р.через 5 лет. Вы снимаете со счета 3000р.через 3 года и 5000р.через 7 лет. • Сколько вы будете иметь через 8 лет при ставке 9%, т.е. чему равна FV через 8 лет при ставке 9%? • Чему равна PV этих денежных потоков?

23. Задача №10. Решение Приведенный ниже график помогает разобраться с движением денежных потоков при ответе на первый вопрос. IF, OF, р. FV +1000 × (1 + 0,09)8 +2000 × (1 + 0,09)6 +8000 × (1 + 0,09)3 8 0 1 2 3 4 5 6 7 t, лет -5000 × (1 + 0,09)1 -3000 × (1 + 0,09)5

24. Задача №10. Решение FV = +1000×(1+0,09)8+2000×(1+0,09)6–3000×(1+0,09)5+8000×(1+0,09)3–5000×(1+0,09)1 = = +1000×1,9926+2000×1,6771–3000×1,5386+8000×1,2950–5000×1,0900 = =+1992,6 +3354,20–4615,80 +10360,00 –5450,00 = = 5641,00 (р.)

25. Задача №10. Решение При ответе на второй вопрос (определение PV)также можно использовать график. IF, OF, р. PV +2000 (1 + 0,09)2 +8000 (1 + 0,09)5 +1000 8 0 1 2 3 4 5 6 7 Время, лет - 3000 (1 + 0,09)3 - 5000 (1 + 0,09)7

26. Задача №10. Решение PV = +1000/(1+0,09)0+2000/(1+0,09)2–3000/(1+0,09)3+8000/(1+0,09)5–5000/(1+0,09)7 = = +1000 +2000/1,1881 –3000/1,2950 +8000/1,5386 –5000/1,8280 = = +1000 +1683,36 –2316,60 +5199,53 –2735,23 = = +7882,89 –5051,83 = 2831,06 (р.) или PV = FV/(1+r)t = 5641,00/(1+0,09)8 = 5641,00/1,9926 = 2831,03(p.)

27. Задача №11. Условия Вы рассматриваете инвестицию, по которой вам будут выплачивать 12000р. в годв течение 10 последующих лет. Если вы требуете ставку доходности 15%, то какую сумму вы должны вложить сегодня?

28. Задача №11. Решение Максимальная сумма, которую нужно заплатить, равна текущей стоимости 12000р., выплачиваемых ежегоднов течение 10 лет с учетной ставкой 15%. Решить поставленную задачу можно 2 способами: • вычислить наращенную сумму аннуитетных платежей, затем вычислить ее текущую стоимость; • вычислить текущую стоимость аннуитетных платежей с помощью множителя текущей стоимости аннуитетов.

29. Задача №11. Решение • Для вычисления наращенной суммы воспользуемся формулой: , где S – наращенная сумма; R – член ренты (размер отдельного платежа) i – ставка доходности; n – срок ренты. Подставляя данные задачи в формулу, получаем: Вычислим современную стоимость наращенной суммы: 243648/(1+0,15)10 = 243648/4,0456 = 60225,43(р.)

30. Задача №11. Решение • Согласно 2-ому способу вычислим множитель текущей стоимости аннуитетов (коэффициент приведения ренты): Используя множитель текущей стоимости аннуитетов, вычислим текущую стоимость аннуитетных платежей: 12000×5,0187687 = 60225,22(р.). Такой же результат мы получили и раньше.

31. Задача №12. Условия задачи Текущая ставка по студенческому кредиту котируется как 9% APR(Annual Percentage Rate). Условия кредита предполагают ежемесячные платежи. Чему равна эффективная процентная ставка EAR (Equivalent Annual Rate) по данному кредиту?

32. Задача №12. Решение Для решения данной задачи воспользуемся формулой: EAR = (1+APR/m)m – 1, где m – количество начислений процентов в год. Подставляя данные из задачи в формулу, получаем: EAR = (1+0,09/12)12 – 1 = 1,007512 – 1 = 1,0938 – 1 = 0,0938 или 9,38%.

33. Группа задач II

34. Задача №1. Условия Облигации фирмы Х имеют 10%-ную купонную ставку и номинальную стоимость 1000р. Проценты выплачиваются каждые полгода. Срок погашения облигаций – через 20 лет. Если инвесторы требуют 12%-ную доходность, то чему равна стоимость облигаций?

35. Задача №1. Решение Для определения стоимости облигации воспользуемся формулой: , где PV – стоимость облигации; In – процентные выплаты; i – требуемая инвестором норма дохода; FT – сумма, выплачиваемая при погашении облигации; n – конкретный период времени; T – число периодов до момента погашения облигации.

36. Задача №1. Решение Из условий задачи ясно, что In= (1000×0,1)/2 = 50 (р./полгода) i = 0,12/2 = 0,06 – полугодовая ставка процентов; FT= 1000р.; n = 20лет × 2раза в год = 40; T = 20лет × 2раза в год = 40. Подставляем данные в формулу, вычисляем стоимость облигации:

37. Задача №2. Условия Облигации фирмы Х имеют 8%-ный купон, выплачиваемый каждое полугодие. Номинальная стоимость равна 1000р., срок погашения наступит через 6 лет. Если в настоящее время облигации продаются по 911,37р., то чему равен процентный доход до погашения? Чему равен действительный годовой доход?

38. Задача №2. Решение Для нахождения процентного дохода i по облигациям, воспользуемся формулой: , где С – ежегодные купонные выплаты; F – номинальная стоимость облигации; P – цена акции; t – время до погашения. В результате подстановки всех известных величин получаем:

39. Задача №3. Условия Фирма Х только что выплатила денежные дивиденды в размере 2р. на акцию. От капиталовложений подобного рода инвесторы ожидают доходности по инвестициям в размере 16%. Если ожидается равномерный рост дивидендов на 8% в год, то чему равна текущая стоимость акций? Чему будут равны акции через 5 лет?

40. Задача №3. Решение Рассчитаем текущую стоимость акций по формуле постоянного роста дивидендов: Дивиденды через 5 лет будут равны D5 = D0(1+g)5 = 2×1,085 = 2×1,4693 = 2,9386 (р.) Следовательно, цена акции через 5 лет составит: Необходимо обратить внимание на то, что

41. Задача №4. Условия Фирма Х только что выплатила денежные дивиденды в размере 2р. на акцию. От капиталовложений подобного рода инвесторы ожидают доходности по инвестициям в размере 16%. Какова будет стоимость акций сегодня, если ожидается рост дивидендов на 20% в течение ближайших 3 лет, а затем рост остановится на 8% в год?

42. Задача №4. Решение В данном сценарии мы имеем супернормальный рост в течение последующих 3 лет. Нам необходимо посчитать дивиденды в течение периода быстрого роста и цену акции через 3 года. Дивиденды: D3 = D0(1+g)3 = 2×(1+0,2)3 = 2×1,728 = 3,456 (р.). Через 3 года темпы роста снижаются до 8% и держатся на таком уровне бесконечно. Цена в это время (P3)равна: Таким образом, получаем:

43. Группа задач III

44. Задача №1. Ожидаемая доходность и стандартное отклонение (expected rate of return and standard deviation) Этот пример позволяет на практике рассчитать показатели, которые можно ожидать от инвестиционного портфеля. Даны 2 виды акций и 3 состояния экономики Рассчитайте стандартное отклонение и ожидаемую доходность для каждого типа акций.

45. Задача №1. Решение Ожидаемая ставка доходности (expected rate of return) (среднее значение доходности) определяется как сумма всех возможных ставок доходности, умноженных на соответствующую вероятность их получения: Применив эту формулу к рассматриваемому случаю, мы обнаружим, что ожидаемая ставка доходности рассматриваемых акций равна: E(rA) = 0,1×(-0,2) + 0,6×0,1 + 0,3×0,7 = -0,02 + 0,06 + 0,21 = 0,25 или 25% E(rB) = 0,1×0,3 + 0,6×0,2 + 0,3×0,5 = 0,03 + 0,12 + 0,15 = 0,3 или 30%

46. Задача №1. Решение Стандартное отклонение (standard deviation)– статистический показатель, который вычисляется следующим образом: σ - стандартное отклонение; P – вероятностьполучения соответствующей ставки доходности; r - возможная доходность акции; E(r) - ожидаемая (средняя) доходность акции.

47. Задача №1. Решение Применив приведенную выше формулу, получим следующие результаты: σ2A = 0,1×(-0,2 – 0,25)2 – 0,6×(0,1 – 0,25)2 – 0,3×(0,7 – 0,25)2 = = 0,1×0,2025 – 0,6×0,0225 – 0,3×0,2025 = 0,02025 – 0,0135 – 0,06075 = = 0,0945 σ2B = 0,1×(0,3 – 0,3)2 – 0,6×(0,2 – 0,3)2 – 0,3×(0,5 – 0,3)2 = = 0 + 0,6×0,01 + 0,3×0,04 = 0,06 + 0,012 = 0,18 Стандартные отклонения равны:

48. Задача №2. Риск портфеля и доходность (risk of a portfolio and rate of return) Даны 2 виды акций и 3 состояния экономики (из Задачи №1) Пусть у вас всего имеется 20 000р.Если вы вложите 6 000р. в акции А, а остальное в В, какими будут: • ожидаемая доходность портфеля, • доходность портфеля при различных состояниях экономики, • стандартное отклонение портфеля?

49. Задача №2. Решение • Сначала рассчитаем вес каждого типа акций в портфеле: вес акции А составляет 6000р./20000р. = 0,3, вес акции В составляет 14000р./20000р. = 0,7. Тогда ожидаемая доходность портфеля составит: E(rP) = 0,3×E(rA) + 0,7×E(rB) = 0,3×0,25 + 0,7×0,3 = 0,075 + 0,21 = 0,285 или 28,5%

50. Задача №2. Решение • Теперь рассчитаем доходность портфеля для каждого состояния экономики: Тогда ожидаемая доходность портфеля составит: E(rP) = 0,1×0,15 + 0,6×0,17 + 0,3×0,56 = 0,015 + 0,102 + 0,168 = 0,285 или 28,5% Это тот же самый результат, что мы получили ранее.