一 . 平衡微分方程

第四章平面问题的极坐标解答 一. 平衡微分方程径向ρ的平衡周向φ的平衡应力分量仍为三个，平衡方程二个

φ d ρ dφ 先假定只有径向位移而无环向位移：二.几何方程 ρ向线段PA，变形后为P ' A ' PA: φ方向上的位移为零。 φ向线段PB，变形后为P ' B ' 角APB的变化为PB的转角： PB:

二.几何方程 φ d dφ v 再假定只有环向位移而无径向位移：线段PA，变形后为P ‘A ’ ρ方向的位移为零，线段PA的转角是 1 线段PB，变形后为P'B'，B'点ρ方向上的位移为零。 2 PB正应变为 PB方向线1， PB方向线2. PB的转角POP'：（向角外转为负）

二.几何方程 总和上述两个方向的应变，得到：三.物理方程极坐标也是正交坐标，因此物理方程与直角坐标相同：

几何方程 平衡方程基本方程物理方程极坐标问题的解法和平面问题类似，通常采用应力函数法，为此需要将应力函数的直角坐标表达式化为极坐标，将相容方程化为极坐标。

四.应力函数和相容方程 利用极坐标和直角坐标的关系：得到

在φ=0时，极坐标的各分量和直角坐标各分量相同。将上面各式代入应力分量的表达式（常体力）在φ=0时，极坐标的各分量和直角坐标各分量相同。将上面各式代入应力分量的表达式（常体力）得到

代入直角坐标应力函数在常体力情况下的表达式代入直角坐标应力函数在常体力情况下的表达式得到极坐标中应力函数应满足的相容方程上式是极坐标中的重调和函数。现在的问题是求解上述方程的边值问题。和直角坐标系中类似，它的解答一般都不可能直接求出，在解决具体问题时，只能采用逆解法、半逆解法。

轴对称问题：几何形状和受力对称于通过z轴的任一平面。轴对称问题：几何形状和受力对称于通过z轴的任一平面。正应力（正应变）分量仅是半径ρ的函数，与φ无关，并且切应力（切应变）为零，称为轴对称应力（应变）。五 . 轴对称问题 1.应力函数（半逆解法）仅是径向坐标的函数: 2. 相容方程简化为: 展开欧拉方程引入变换变换为常系数的微分方程

通解为 注意到t =lnr，则 3. 应力分量: 应力轴对称

4. 应变分量和位移分量 将上述应力的表达式代入应力应变关系式中，可以得到应变的表达式: 应变轴对称再代入位移与应变的几何方程

积分后,得到位移的积分形式: • 轴对称应力的对应位移 • A，B，C，H，I，K都是待定常数，取决于边界条件 • 位移轴对称——位移与坐标j无关; • B = H = I = K = 0

内半径为a，外半径为b的圆环受内压力qa，外压力为qb的圆环，为轴对称问题内半径为a，外半径为b的圆环受内压力qa，外压力为qb的圆环，为轴对称问题六. 受均布压力的圆环 1. 应力分量: 2. 边界条件: 由边界条件得到:

3.位移单值条件 在这里只有两个方程，而有三个待定常数，需要从多连体的位移单值条件补充一个方程在环向表达式中，第一项是多值的，在同一ρ处， φ = φ0 和φ= φ0+2π时，环向位移成为多值，这是不可能的，因此，从位移单值条件必须有 B= 0 于是:

这样从上面两个方程中可解出A和C，代入应力分量表达式，得到拉密解答：这样从上面两个方程中可解出A和C，代入应力分量表达式，得到拉密解答： 1. 单受内压时，径向受压，环向受拉。 2. 单受外压时，径向、环向均受压。

七. 压力隧洞 有一内半径为a，外半径为b(如图所示)，受内水压力q作用的压力隧洞埋在岩层中。

八.应力分量的坐标变换式 φ φ φ 参看图(a)假设为已知, 参看图(b)假设为已知, φ φ φ φ φ φ 由平衡方程式得出应力分量由极坐标向直角坐标的变换公式: 由平衡方程式得出应力分量由直角坐标向极坐标的变换公式:

板中开有小孔，孔边的应力远大于无孔时的应力，也大于距孔稍远处的应力，称为孔边应力集中。板中开有小孔，孔边的应力远大于无孔时的应力，也大于距孔稍远处的应力，称为孔边应力集中。应力集中的程度与孔的形状有关，一般说来，圆孔孔边的集中程度最低。孔边应力集中圆孔在板边受力简单时，在这里进行分析，较为复杂的情况一般用复变函数方法。九.圆孔的孔边应力集中

1. 矩形板四边受均布拉力q 矩形板在离边界较远处有半径为a的小孔。直边的边界条件，宜用直角坐标，圆孔边界宜用极坐标，因此需要将直边的边界条件变为圆边的边界条件。为此，以远大于a的半径，以小孔中心为圆心作圆，根据直角坐标与极坐标的变换公式，大圆边界上的应力为: 可见，问题与受外压力的圆环相同，其解可由拉密解答得出，

τ σ ρ ρ φ 2. 一对边受集度均布拉力q ，另一对边受集度均布压力q 以远大于a的半径，以小孔中心为圆心作圆，根据直角坐标与极坐标的变换公式，大圆边界上的应力为: φ 1）.应力函数假设为： 2）. 相容方程

代入相容方程得到 求解这一方程,得到于是: 3）应力分量

4）边界条件 联立可确定待定常数A、B、C、D 5）回代应力分量

3. 矩形板一对边受集度为q的均布拉力 以远大于a的半径，以小孔中心为圆心作圆，根据直角坐标与极坐标的变换公式，得到大圆的边界条件边界条件比较复杂，难于找到合适的应力函数。设为cosφ或cos2φ都不行。

矩形板一对边受集度为q的均布拉力的解答可由矩形板四边受集度为q/2的均布拉力与一对边受集度为q/2的均布拉力，一对边受集度为q/2的均布压力的解答叠加而得。矩形板一对边受集度为q的均布拉力的解答可由矩形板四边受集度为q/2的均布拉力与一对边受集度为q/2的均布拉力，一对边受集度为q/2的均布压力的解答叠加而得。 = +

矩形板一对边受集度为q的均布拉力的解答可由矩形板四边受集度为q/2的均布拉力与一对边受集度为q/2的均布拉力，一对边受集度为q/2的均布压力的解答叠加而得。矩形板一对边受集度为q的均布拉力的解答可由矩形板四边受集度为q/2的均布拉力与一对边受集度为q/2的均布拉力，一对边受集度为q/2的均布压力的解答叠加而得。厚壁圆筒轴对称应力正应力切应力

孔口应力 最大环向应力圆孔边界 j =p/2和j =3p/2处 sj max =3q 应力集中因子薄壁圆孔的孔口应力集中因子为3

1. 在顶部受集中力F 十. 楔形体在楔顶或楔面受力 1) 应力函数(量纲分析方法) 楔形体内一点的应力分量决定于α、β、F、ρ、φ，因此，应力分量的表达式中只包含这几个量。其中α、β、φ是无量纲的量，因此根据应力分量的量纲，应力分量的表达式应取FN/ρ的形式，其中N是α、β、φ、组成的无量纲的量。由应力函数的表达式可以看出应力函数中ρ的幂次应当比各应力分量的幂次高出两次，因此可设

2).相容方程 其中 • 不影响应力，代入得：求解这一微分方程，得：取: 3). 应力分量:

4). 边界条件: 边界条件楔形体左右两面：应力分量满足该边界条件。集中力F按圣维南原理处理，取出任一圆柱面ab，则该截面上的应力和F成平衡力系：将σρ的表达式代入，可求出C、D 5). 回代应力分量最后得到解答：

时当成为弹性半平面受垂直集中力的问题，该问题在建筑工程中有十分重要的意义。

2. 设在顶部受有力偶M作用 1) 应力函数根据和前面相似的分析，应力分量应为MN/ρ2的形式，而应力函数应与ρ无关 2).相容方程代入相容方程后得求解这一微分方程，得

3). 应力分量: 力偶可看成反对称力，正应力和应力函数应当是φ的奇函数，从而A=D=0,于是 4). 边界条件: 楔形体左右两面边界上述应力分量自动满足第一式，根据第二式，可得

集中力偶M按圣维南原理处理，取出任一圆柱面ab，则该截面上的应力M成平衡力系：集中力偶M按圣维南原理处理，取出任一圆柱面ab，则该截面上的应力M成平衡力系： 5). 回代应力分量最后得到解答：

3. 一面受均布压力q 1) 应力函数应力分量应为qN的形式，而应力函数应为qNρ2的形式 2).相容方程代入得 ρ 求解这一微分方程，得: 3). 应力分量:

4). 边界条件: 求解常数，A、B、C、D 5). 回代应力分量最后得到解答： ρ

φ 极坐标习题图示的圆环,试证应力函数能满足相容条件，并求出对应的应力分量。设在内半径为a，外半径为b的圆环中发生上述应力，试求出边界上的面力，并求出每一边界上的主矢量与主矩。解：1.检验相容条件: 满足相容条件: 2.应力分量:

极坐标习题 φ 3. 边界条件(面力):

一 . 平衡微分方程

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