Hibaelmélet A mérési hibák

1. HibaelméletA mérési hibák Geodézia II. Tarsoly Péter

2. A mérési hibák • A leggondosabban végzett mérések eredményei is ellentmondásokhoz vezetnek, mert a méréseket hibák terhelik. • Hibakeresés: • Egymással matematikai, geometriai kapcsolatban lévő mennyiségeket mérünk meg, ezek nem elégítik ki a közöttük fennálló feltételeket • Fölös méréseket végzünk: olyan mérések, amelyeket a matematikailag szükséges mérések felett végzünk; fölös mérés≠fölösleges mérés

3. A mérési hibák csoportosítása • Durva hiba • Álhiba • Szabályos hiba • Szabálytalan hiba

4. A durva hiba és az álhiba • Durva hiba: az a hiba, amely lényegesen felülmúlja a mérésben tűrhető legnagyobb hibát is. • oka: gyakorlatlanság, szórakozottság, figyelmetlenség pl. szögmérésnél elolvassuk a fokértéket, szalagmérésnél az egész szalagfekvések számát • Álhiba: olyan hiba, amely a mérési eredményekből számítással levezetett értékekben hibás képleteknek eredményeképpen jelentkezik.

5. Szabályos hiba • Szabályos hiba: olyan hiba, amely a mérések megismétlése alkalmával értékét valami szabályossággal változtatja. pl. hosszmérésnél a hosszmérő eszköz hő hatására megváltoztatja a hosszát • Kiküszöbölése: • Igazítással: a műszer igazításával küszöböljük ki a hibát, általában sohasem sikerül tökéletesen, csak csökkenti a hiba hatását, de teljesen nem szünteti meg • Számítással: ha matematikailag kifejezhető a szabályosság, akkor a hiba kiszámítható, és vele a mérési eredmény megjavítható • Mérési módszer: olyan mérési módszert választunk, amellyel a hiba hatása kiejthető pl. két távcsőállásban való mérés

6. Szabálytalan hiba • Szabálytalan hiba: olyan hiba, amely a mérés megismétlése alkalmával mind előjelre, mind nagyságra nézve a véletlen szeszélye szerint jelentkezik. • Az ismételt mérések bizonyos határok közötti véletlen ingadozásokat mutatnak • Teljesen elkerülni vagy kiküszöbölni nem lehet, csak az ingadozások mértékét lehet csökkenteni pontosabb műszerek, jobb módszerek, gyakorlottabb észlelők alkalmazásával

7. Egyszerűsítő jelölések • Az összegzés egyszerűsítő jelölése: • A középértékképzés egyszerűsítő jelölése:

8. Hibaelméleti következtetések • A mérési eredményekben lévő valódi hiba (ε) általánosságban minden esetben egy szabályos és egy szabálytalan részből tevődik össze: ε= εszabályos+ εszabálytalan • A szabályos hiba középértéke nem nulla, hanem valamilyen számérték; ha a szabályos hibából levonjuk annak középértékét, a maradék a szabálytalan hibához hasonlóan nulla középértékű lesz. • Bármely mérés hibája: ε=θ+Δ,ahol • θ» az állandó hiba, vagy valamilyen törvényszerűségnek engedelmeskedő szabályos hiba • állandó hiba: pl. szalag komparálási hibája • szabályos hiba: pl. kollimáció – és indexhiba • Δ»szabálytalan hiba pl. szalag vízszintes kígyózásából eredő hiba

9. A pontosság és megbízhatóság megállapítására szolgáló mennyiségek Geodézia II.

10. Valószínűségi változó • Tétel:valószínűségi változónak nevezzük azokat a mennyiségeket, amelyek értékét a véletlen befolyásolja. • diszkrét: ha megszámlálhatóan sok értéke lehet • folytonos: ha nem megszámlálhatóan sok értéke lehet • A mérési eredmények folytonos valószínűségi változók, annak ellenére, hogy értéküket csak korlátozott élességgel határozzuk meg, mert ezen értékek végtelen sok lehetséges érték kerekítéséből származnak. • Folytonos valószínűségi változó tulajdonságainak vizsgálata: • eloszlásfüggvény • sűrűségfüggvény

11. Az eloszlásfüggvény • Valamely ξ folytonos valószínűségi változó F(x) eloszlásfüggvénye az e=ξ<x esemény valószínűségét írja le, tehát 0≤F(x)≤1. Monoton nem csökkenő, tehát F(x1) ≤F(x2), ha x1 ≤x2. Annak a valószínűsége, hogy ξ a (c, d) tartományba esik: F(d)-F(c). differenciahányados:az x értékek változásához mekkora függvényérték változás tartozik

12. A sűrűségfüggvény • Az f(x) sűrűségfüggvény az eloszlásfüggvény derivált függvénye, f(x)≥0, végtelen határok közötti integrálja 1-el egyenlő. Annak a valószínűsége, hogy ξ a (c, d) tartományba esik: ha F az f függvény primitív függvénye (azaz F deriváltja az eredeti függvény), a Newton-Leibnitz formula szerint

13. Normális eloszlás • Az eloszlások egyike a Gauss által meghatározott, geodéziában használt normális eloszlás. • Tétel:ha a valószínűségi változó értékét nagyszámú egymástól független véletlen tényező befolyásolja úgy, hogy a tényezők külön-külön csak igen kis mértékben érvényesülnek és a hatások összeadódnak, akkor a valószinűségi változó normális eloszlású. • A normális eloszlás sűrűségfüggvénye: Ahol - „a” a várható érték - „σ” a szórás - „exp” a természetes logaritmus e alapjának a szögletes zárójelben megadott kitevőjű hatványa

14. A haranggörbe • A normális eloszlás sűrűségfüggvényének a képe a haranggörbe vagy másnéven Gauss-görbe. • helyzetét a várható érték határozza meg • alakját a szórás határozza meg • inflexiós pontja (ahol a görbe görbületet vált) a várható értékhez képest szimmetrikusan és attól σ távolságra helyezkedik el • kisebb szórású eloszlás haranggörbéje meredekebb, nagyobb szórásúé laposabb

15. A három szigma szabály • Annak a valószínűsége, hogy a ξ normális eloszlású valószínűségi változó értéke a várható érték körüli és a szórás egy-, két-, háromszorosának megfelelő szélességű intervallumba esik: Tehát 99.7% valószínűségű, hogy a normális eloszlású valószínűségi változó értéke a várható érték körüli +/-3σ tartományba esik.

16. A pontosság és megbízhatóság fogalma • Jelöljük U-val a mérés tárgyát képező mennyiség hibátlan értékét, L-el a mérési eredményt, ε-al a valódi hibát. • Ekkor U=L-ε illetve ε=L-U azaz • Valódi hiba=hibás érték – hibátlan érték • A pontosság a valódi hiba abszolút értéke. • Ugyanazon mérési eredmények közül az a pontosabb, amelyik hibája abszolút értékre nézve kisebb. Mivel a valódi hiba ismeretlen, ezért a valódi pontosság is ismeretlen, minden esetben csak közelítőleg lehet meghatározni. • Megbízhatóság: a mérési eredmények egymáshoz való viszonyát fejezi ki, azt mutatja meg, hogy mi az az intervallum, amelyen belül a mérési eredmények szóródnak

17. A pontosság és megbízhatóság fogalma • A legvalószínűbb érték annál közelebb van a hibátlan értékhez, minnél pontosabb a mérés • Annál meredekebb a haranggörbe, minél megbízhatóbbak a mérések

18. Megbízhatósági mérőszámok • A mérési hiba értékét mint a mérési eredmény (L) és a mért mennyiség valódi értéke (U) különbségeként definiáljuk: • ε=L-U Mivel a mérési hiba valódi értékét nem ismerjük,ezért a mérési hibák jellemzésére megbízhatósági mérőszámokat vezettek be. Megbízhatósági mérőszám: azt fejezi ki, hogy egy mérési sorozat esetén a mérési eredmények milyen feltételezhető értékkel térnek el a valódi értéktől. Azt a mérési sorozatot tekintjük megbízhatóbbnak, amelyben a mérési hibák kisebb, szűkebb határok között ingadoznak és amelyben a nagyobb hibák értéke kevesebb.

19. Középhiba • Aközéphiba matematikai megfelelője a szórás, a mérési eredmények változékonyságának mértéke. Jele: m vagy μ • dimenziója megegyezik a mérési eredmény dimenziójával • a középhibát +/- előjellel írjuk • a megbízhatóság reciprok mértéke (minnél nagyobb a középhiba, annál kevésbé megbízható a mérési eredmény) • Legyenek L1, L2, L3......Ln mérési eredmények, és ehhez tartozzanak Δ1, Δ2, Δ3..... Δn véletlen hibák. Gauss-féle középhiba - a véletlen hibák négyzetösszegének középértékéből vont négyzetgyök Laplace-féle átlagos hiba - a véletlen hibák abszolút értékének a számtani közepe

20. A súly • A súly egyenesen arányos a megbízhatósággal. Jele: p, a latin pondus szóból származik • Valamely mérési eredmény súlya alatt azt a mennyiséget értjük, amely fordítva arányos a szóban forgó mérési eredmény μ-el jelölt középhibájának négyzetével, azaz Eszerint a súly mindig pozitív mennyiség, dimenziója pedig a négyzetre emelt középhiba reciprok értékének a dimenziójával azonos. A súlyokat csak mint viszonyszámokat alkalmazzuk, ezért azok értékét meg szoktuk szorozni valamilyen együtthatóval. Ebben az esetben μ0 a súlyegység középhibája, azaz az egység súlyú méréshez tartozó középhiba. Ha a súly az egységgel egyenlő:

21. Közelítő súlyok felvétele a gyakorlatban gyakrabban előforduló mérésekhez • Teodolittal való irányzás, iránymérés irányértékeit vagy egyenlő súlyúnak vesszük, vagy pedig az irányhosszak arányában súlyozzuk. Ez utóbbi esetben célszerű súlyegységnek az 1 km hosszú irányt választani. • Hosszmérés középhibája a távolság négyzetgyökével egyenes arányban növekszik: Hosszmérésnél a súlyegység a mérendő távolságnak megfelelően 10, 100, vagy 1000. Ha ez utóbbi a súlyegység akkor az μe érték a kilométeres középhiba. Optikai távmérés esetén a mérőszalaggal való hosszméréshez hasonlóan járunk el. Fizikai távmérésnél amérőműszerek prospektusai megadnak a távmérés megbízhatóságára vonatkozóan egy távolságtól független, és egy attól függő középhiba értéket is (pl. 2mm+2ppm). Ennek jelentése, hogy minden távolság mérése 2mm-es megbízhatósággal jellemezhető, plusz ehhez még hozzájön kilométerenként 2 mm. Amennyiben a mért távolság kisebb vagy nagyobb, mint 1 km, úgy a 2mm távolságtól függő középhiba arányos része jellemzi a távmérést.

22. Közelítő súlyok felvétele a gyakorlatban gyakrabban előforduló mérésekhez • Szintezési vonalban a középhiba értékét a távolság négyzetgyökével egyenes arányban növekedőnek tekintjük: A súlyegységet 100 m; 1 km, esetleg 10 km egységben szokás felvenni. Trigonometriai magasságmérésnél – ha a számított magasságkülönbségeket tekintjük mérési eredménynek, a meghatározott magasságkülönbség megbízhatósága:

23. Hibaterjedés Geodézia II.

24. A hibaterjedés törvénye • Hibaterjedés törvénye: ha hibával terhelt mennyiségekből valamilyen ismert függvény vagy függvények segítségével újabb mennyiségeket határozunk meg, akkor azok is hibával terheltek. A hibaterjedés törvénye azt fejezi ki, hogy a meghatározó adatok megbízhatósági mérőszámainak ismeretében hogyan határozhatjuk meg a meghatározott mennyiségek megbízhatósági mérőszámait. • A geodéziai mérési eredmények valószínűségi változónak tekinthetőek (egymástól függetlenek és csak szabálytalan hibák terhelik), tehát a mérési eredmények függvényei is valószínűségi változók. A hibaterjedés törvénye lehetőséget ad, hogy a függvények megbízhatósági mérőszámait meghatározzuk.

25. Hibaterjedés adott számmal való szorzás esetén • Tétel:Egy állandó számmal való szorzás esetén a szorzat középhibáját úgy kapjuk, hogy a mért mennyiség középhibáját megszorozzuk a megadott állandó számmal. • A függvénykapcsolat: U=a*x • Az x mennyiségre végzett mérések eredményei: x1, x2, ....xn • Helyettesítsük be a mérési eredményeket az eredeti függvénykapcsolatba:

26. Hibaterjedés adott számmal való szorzás esetén • Az egyes U értékek véletlen hibái: ΔU1, ΔU2,... ΔUn • A mérési eredmények véletlen hibái: Δx1, Δx2,... Δxn • Ekkor:

27. Hibaterjedés adott számmal való szorzás esetén • Négyzetre emelve, majd összegezve: Jobb és bal oldalt osztva n-el: De a Gauss-féle középhiba képlete miatt:

28. Hibaterjedés összeg és különbség esetén • Tétel: összeg vagy különbség középhibájának négyzete egyenlő az egyes tagok középhibájának négyzetösszegével. • Legyen a függvényünk: U=x+y • A mérési eredmények: x1, y1, x2, y2, ... xn, yn • Az egyes U értékek véletlenhibái: ΔU1, ΔU2,... ΔUn • A mérési eredmények véletlen hibák: Δx1, Δy1, Δx2, Δy2, ... Δxn, Δyn • Ekkor:

29. Hibaterjedés összeg és különbség esetén • Négyzetre emelve: Mivel Δx és Δy ugyanolyan valószínűséggel lehet pozitív vagy negatív, ezért ha n a végtelen felé tart:

30. Hibaterjedés összeg és különbség esetén • Ekkor: Tetszőleges lineáris függvény középhibája: U=±ax±by ±cz ±... ±const Lineáris függvény: az elsőfokú (képük mindig egyenes) és konstans függvényeket nevezzük lineáris függvényeknek.

31. Hibaterjedés általános esetben • Nem lineáris függvények középhibája:a legegyszerűbben valamilyen lineáris függvényre vezetjük vissza Taylor-sorba fejtéssel; csak a lineáris tagokat tartjuk meg, és ezekre alkalmazzuk a fent megismert törvényszerűségeket. A hibaterjedés tehát alkalmazható minden olyan függvényre, amely folytonos, differenciálható és Taylor-sorba fejthető. A csak lineáris tagok megtartása és az összes többi felsőrendű tag elhanyagolása megengedhető közelítést jelent. • Legyen U ismeretlen mennyiség a megmért x, y, z... mennyiségek tetszőleges f függvénye, ezek véletlen hibái ΔU, Δx, Δy, Δz ..., középhibái μU, μx, μy, μz ... U=f(x, y, z...)

32. Hibaterjedés általános esetben Az x, y, z ... mennyiségek meghatározására általában n számú mérést végzünk, így az eredmények x1, y1, z1...,x2, y2, z2...,xn, yn, zn..., ezek véletlen hibái Δx1, Δy1, Δz1 ..., Δx2, Δy2, Δz2..., Δxn, Δyn, Δzn... .Ha ezeket behelyettesítjük az f függvénybe, U értékére különböző eredményeket fogunk kapni. Ragadjuk ki az i-dik értéket:

33. Hibaterjedés általános esetben Az f függvényt sorba fejtve és csak a lineáris tagokat tartva meg: Emeljük négyzetre, és írjuk fel i=1-től n-ig:

34. Hibaterjedés általános esetben • A valódi hibák előjele éppen úgy lehet pozitív, mint negatív, ezért a kettős szorzatok előjele is részben pozitív, részben negatív, így azok összege ha a tagok száma a végtelen felé tart, zérus felé konvergál. osztva n-el: Hibaterjedés alapképlete

35. Hibaterjedés általános esetben • Határozzuk meg a függvényérték súlyát pU-t, ha ismerjük az egyes mennyiségek px, py, pz,... súlyát. C tetszőleges, nem negatív szám Behelyettesítve a hibaterjedés képletébe:

36. Hibaterjedés általános esetben Következtetés: számtani középérték középhibája egység súlyú mérés esetén számtani középérték súlya egység súlyú mérés esetén mérési eredmény többszöröse függvény középhibája mérési eredmény többszöröse függvény súlya összeg függvény középhibája összeg függvény súlya

37. Parciális deriválás • Tétel: Parciális deriváltnak nevezzük a többváltozós függvények olyan deriváltját, mikor a függvényt egy rögzített változójának függvényeként fogjuk fel, eszerint deriválunk, miközben a többi változót konstansnak tekintjük. Elemi deriváltak:

38. Parciális deriválás • Deriválási szabályok: Összeg és különbség deriváltja: Szorzat deriváltja: Hányados deriváltja: Összetett függvény deriváltja:

39. Példák • 1. Egy AC hosszúságot két darabban tuduk csak megmérni, az AB és BC darabban, mikor AB+BC=AC. A kapott értékek: • AB=112,00m±0,015m és BC=108,42 ±0.05m • Mekkora AC középhibája? • AC=112,00+108,42=220,42m Vagyis AC=220,42m ±0.052m 2. Egy álláspontról megmértünk két irányszöget lA-t és lB-t. Számítsuk ki a köztük lévő szöget, és annak középhibáját! lA=34-48-52 ±20”; lB=122-35-21 ±10”; S=lB-lA=87-46-29 Vagyis S=87-46-29 ±22”

40. Példák • 3. Megmértük egy téglalap alakú földrészlet hosszát és szélességét. Mennyi a terület és annak a középhibája? • a=20.00m±5cm; b=80.00m ±20cm • T=a*b=1600m2 Vagyis: T=1600m2 ±5,7m2 Tanulság: Az egyik mérési eredmény mindig a másik középhibájával szerepel, tehát a kisebb méret mindig gondosabban mérendő, mint a nagyobb!

41. Példák • 4. Adott egy kör sugara, mekkora a kerületének és területének a középhibája? • r=12,000m±0.005m • K=2*Π*r=75.398m • T=r2*Π=452.39m2 Vagyis: K=75.398m ±0.0314m; T=452.39m2±0.377m2

42. Példák b • 5.Megmértük egy háromszög két szögét és egy oldalát, számítsuk ki a b oldalt és határozzuk meg a középhibáját! • α=32-43-15±2”; β=59-03-21 ±5”; a=312,24 ±1cm • b=?; μb=? a α β Vagyis: b=495.42 ±1.9cm

43. Példák • 6. Egy háromszögnek megmértük három oldalát, határozzuk meg az α szöget és annak középhibáját! • a=526.35m±1.5cm; b=843.12m ±1.5cm; c=1206.45m ±1.5cm b a α c

44. Példák

45. Példák Vagyis: α=21-45-57±5.99”

46. A kiegyenlítő számítás alapfeladata Geodézia II.

47. A kiegyenlítő számítás feladata és szükségessége • Valamely mennyiség meghatározására a matematikailag szükséges mennyiségeken kívül fölös méréseket is végzünk. A meghatározandó mennyiséget egyetlen értékkel kell jellemeznünk, függetlenül attól, hogy mely mérési eredmények felhasználásával határozzuk meg. Ez szükségessé teszi a mérési eredmények megváltoztatását, javítását. • Tétel: a kiegyenlítő számítás feladata, hogy a mérési eredményeket úgy javítsuk meg, hogy a megjavított mérési eredmények ellentmondás nélkül kielégítsék a köztük fennálló matematikai, geometriai feltételeket.

48. A kiegyenlítő számítás feladata és szükségessége • A mérési eredmények javítását olyan módon kell végezni, hogy a javítások lehetőség szerint kicsik legyenek. A javítások minimalizálandó függvényét a kiegyenlítés célfüggvényének nevezzük. • Célfüggvények felvételére több elfogadható megoldás alakult ki: • ∑|v|»min (Boskovič 1770, Laplace 1799) • javítások abszolut értéke összege legyen minimális • ∑v2»min (Legendre 1805, Gauss 1794, 1809, Adrain 1808) • javítások négyzetösszege legyen minimális • ∑v2n»min (Beckenbach 1916) • javítások párosszámú hatványösszege legyen minimális • |vmax|»min (Gauss 1809, Csebisev 1853) • a maximális javítás abszolútértéke legyen minimális

49. A kiegyenlítő számítás feladata és szükségessége • A geodéziai gyakorlatban a ∑v2»min célfüggvényt használjuk. A feladat megoldásához meg kell határoznunk a számtani középértéket, amely tulajdonképpen a javítások négyzetösszegét teszi minimummá. Ezt a módszert nevezik a legkisebb négyzetek módszerének Legendre nyomán; először Gauss haszálta 1794-ben csillagászati feladatok megoldásához. Carl Friedrich Gauss 1777-1855 Adrien-Marie Legendre 1752-1833

50. A kiegyenlítő számítások csoportosítása Geodézia II.