Элементы общей алгебры

1. Элементы общей алгебры Алгебра, гомомофризм, изоморфизм, полугруппа, группа

2. Алгебраическая операция • На множестве А определена алгебраическая операция, если каждым двум элементам этого множества, взятым в определенном порядке, однозначным образом поставлен в соответствие некоторый третий элемент из этого же множества. • Пример: 3+2=5 (3,2)→5

3. n-арная операция • n-арной операцией на множестве М будем называть функцию типа φ: Mn→M. • Число n называется арностью операции. • Операция α, отображающая любой элемент множества M в себя, называется тождественной операцией. • Тождественной операцией на множестве R, например, является умножение на единицу.

4. Коммутативность • Функциональный вид φ(a,b) • Запись арифметических операций aφb • Операция φ называется коммутативной, если для любых элементов a,b выполняется: aφb=bφa.

5. Ассоциативность • Операция φ называется ассоциативной, если для любых элементов a,b,c выполняется: (aφb)φc=aφ(bφc). • Выполнение условия ассоциативности означает, что скобки в выражении (aφb)φc можно не расставлять.

6. Дистрибутивность • Операция φ называется дистрибутивнойслева относительно операции ψ, если для любых a,b,c выполняется: aφ(bψc)=(aφb)ψ(aφc), • и дистрибутивной справа относительно операции ψ, если для любых a,b,c выполняется: (aψb)φc=(aφc)ψ(bφc).

7. Наличие свойства дистрибутивности позволяет раскрывать скобки. Например, умножение дистрибутивно относительно сложения (и вычитания) и справа, и слева: • (b+c)a=a(b+x)=a(b+c)=ab+ac. • Возведение в степень дистрибутивно относительно умножения справа (ab)c=acbc, но не слева: abc≠abac. Сложение (и вычитание) чисел недистрибутивно относительно умножения: a+bc≠(a+b)(a+c).

8. Алгебра • Пусть дано некоторое множество M, на котором задана совокупность операций Ω={φ1, φ2,…, φm}. Структура вида A=(M; Ω) называется алгеброй; множество Mназывается несущим множеством, совокупность операций Ω - сигнатурой, вектор “арностей” операций (n1, n2,…, nm) называется типом. • Пример. A={R, +, *}

9. Подстановка • Рассмотрим множество чисел (1, 2, …, n). Подстановкой назовем всякую биекцию (взаимно однозначно равную) его на себя.

10. Композиция подстановок Пусть несущее множество – это множество подстановок длины n. Введем операцию, которую назовем композицией подстановок.

11. Единичная подстановка • Единичная подстановка • Рассмотрим уравнение α*x=e, x=α-1

12. Гомоморфизм • Пусть даны две алгебры • A=(M1; φ1, φ2,…, φn) и • B=(M2; ψ1, ψ2,…, ψn). • Гомоморфизмом алгебры A в алгебру B называется функция f : M1→M2, • такая, что для всех a∈M1 выполняется условие: • f(φi(a))= ψi(f(a)) для любого i=1,…, n. (*)

13. Гомоморфизм • Г: ln x=y • ln (ab)=ln a+ln b • (R+; φ), (R; φ+)

14. Виды гомоморфизма • Гомоморфизм, который является инъекцией, называется мономорфизмом. • Гомоморфизм, который является сюръекцией, называется эпиморфизмом. • Гомоморфизм, который является биекцией, называется изоморфизмом.

15. Примеры • Пусть N- множество натуральных чисел, N2 – множество натуральных чётных чисел. • Алгебры (N; +) и (N2; +) изоморфны; изоморфизмом является отображение f:n→2n, причём условие здесь имеет вид 2(a + b)=2a + 2b. • Поскольку N2⊆ N, то данный изоморфизм есть изоморфизм алгебры (N; +) в себя.

16. Примеры • Рассмотрим алгебры: A=(N,+,*), B(N7,⊕,⊗). • N7множество классов остатков (вычетов) по модулю 7, N7={K0, K1, …, K6}. • Покажем, что эти алгебры гомоморфные: Г(13)=К6,Г(28)=К0, Г(13+28)=Г(41)=К6, Г(13+28)=Г(13)+Г(28)=К6+К0=К6, Г(13*28)=Г(264)=К0=Г(13)*Г(28)=К6*К0=К0

17. Примеры • Изоморфизмом между алгебрами (R+;*) и (R;+) является, например, отображение a→lg a. lg ab=lg a+lg b. • Булевы алгебры, образованные двумя различными множествами одинаковой мощности, изоморфны: операции у них просто одинаковы, а отображением f может служить любое взаимно-однозначное соответствие.

18. Изоморфизм • Эквивалентность = рефлексивность + + симметричность + +транзитивность A~A – рефлексивность, A~D→B~A – симметричность, (A~B)∧(B~C)→(A~C) – транзитивность.

19. Полугруппа • Полугруппой называется алгебра вида (M; φ) с одной ассоциативной бинарной операцией φ. • (a φb) φc=a φ (b φc)=abc

20. Полугруппа • Как правило, в качестве такой операции φ используется умножение. • Поэтому результат её применения к двум различным элементам записывают в виде a∙b или ab, а результат неоднократного применения к одному элементу записывают в виде a2, a3 и так далее. Такая запись называется мультипликативной. • Полугруппу часто обозначают записью P=( M; ∙).

21. Абелева полугруппа • В общем случае, ab≠ba (как, например, произведение матриц), то есть данная операция некоммутативна. • Если же умножение коммутативно, то полугруппа называется коммутативной или абелевой полугруппой.

22. Моноид • Если множество-носитель полугруппы содержит такой элемент e, что для любого a выполняется ∀aae=ea=a, то этот элемент называется единицей (нейтральным элементом), а такая полугруппа называется моноидом.

23. Нейтральный элемент • Легко показать, что если полугруппа содержит единицу, то она единственна. Действительно, допустим, существуют две единицы e1 и e2. Тогда e1e2=e1 и e1e2=e2, следовательно e1=e2.

24. Примеры а) Алгебра (N2;*), где N2 – множество чётных чисел является абелевой полугруппой. Однако, очевидно, она не имеет единицы. б) Алгебра (M;*), где M – множество квадратных матриц одинаковой размерности образует некоммутативную полугруппу. Причём эта полугруппа является моноидом, а роль единицы в ней выполняет единичная матрица E. в) Алгебра (N;*) является коммутативной полугруппой с единицей.

25. Порождающее множество • Если любой элемент полугруппы P=( M; ∙) можно представить в виде произведения конечного числа элементов множества M0⊆M, то множество M0 называется порождающим множеством или системой образующих полугруппы, а его элементы называются образующими. • Например, в полугруппе (N;*) порождающим множеством служит бесконечное множество простых чисел.

26. Циклическая полугруппа • Полугруппа, которая имеет только одну образующую, называется циклической. • Можно показать, что в циклической полугруппе все элементы являются степенями (в смысле имеющейся операции) этой образующей. Например, циклической полугруппой является полугруппа (N;+), поскольку любое натуральное число – это сумма некоторого количества единиц.

27. Пусть полугруппа P=( M; ∙) имеет конечное число образующих {a1, a2,…, an}. • Слова в алфавите {a1, a2,…, an}. • Причём некоторые различные слова могут оказаться равными, как элементы (равные элементы 24=2*8=16*1 записаны различными словами). • В коммутативной полугруппе для двух любых элементов выполняется равенство ab=ba, позволяющее устанавливать равенство элементов, в том числе, записанных различными словами. • Подобные равенства называются определяющими соотношениями.

28. Свободная полугруппа • Полугруппа, в которой нет определяющих соотношений, и любые два различных слова обозначают различные элементы группы, называется свободной. • Доказано, что каждую полугруппу можно получить из некоторой свободной полугруппы введением некоторых определяющих соотношений.

29. Пример • А={a, b, c, …} A* - слова, сложенные из А, алгебра. • Введем алгебраическую операцию конкатенация, которая состоит в приписывании одному слову другого. Abba*cab=abbacab. • Данная полугруппа имеет 1 – пустое слово (моноид), т.к. приписываем его справа (слева), не меняет слово.

30. Группа • Группой называется полугруппа с единицей, в которой для каждого элемента a существует элемент a–1, называемый обратным к элементу a и удовлетворяющий условию aa–1=e.

31. Группа • Множество А с определенной на нем алгебраической операцией (например, умножением) называется группой, если выполнены следующие условия: • для любых трех элементов a, b,cA выполняется свойство ассоциативности: a(bc)=(ab)c • Ассоциативность (всякая группа есть подгруппа) – (g1°g2)°g3=g1°(g2°g3)

32. Группа • в множестве А существует такой элемент е, что для любого элемента а из этого множества выполняется равенство: ae=ea=a • Существование единицы ∃e∈G∀g∈G (e°g=g°e=g - моноид) • для любого элемента а существует элемент а-1 из этого же множества такой, что aa–1=a–1a=e • Существование обратного элемента ∀g∈G ∃g–1∈G(g°g–1=g–1°g=e)

33. Группы • Число элементов в множестве-носителе называется порядком группы. • Группа, в которой операция коммутативна, называется коммутативной или абелевой. • Группа, в которой все элементы являются степенями одного элемента, называется циклической. • Для абелевых групп часто применяется аддитивная форма записи: операция обозначается, как сложение, а единица обозначается, как 0. • Существуют конечные и бесконечные группы. Если группа конечная, т.е. |G|=n, то n –порядок группы.

34. Свойства групп • Обратный к данному элемент всегда определяется однозначно. (a−1)-1 = a, aman = am+n, (am)n = amn. (ab)−1=b−1a−1. • Законы сокращения: c∙a=c∙b⇔a=b, a∙c=b∙c⇔a=b. • Обратный элемент к нейтральному есть сам нейтральный элемент. • Группа содержит единственное решение x любого уравнения x · c = b или c · x = b; то есть в группе возможны однозначно определённые правое и левое «деление». • Пересечение двух подгрупп группы G есть подгруппа группы G.

35. Примеры а) Алгебра (Z;+) является абелевой циклической группой, в которой роль единицы играет 0, а роль элемента, обратного к элементу a играет (– a). б) Алгебра (Q\0;∙), где Q\0 – множество рациональных чисел без нуля, является абелевой группой. Обратным к элементу a является 1/a. в) Множество невырожденных квадратных матриц порядка n с определителем, отличным от нуля с операцией умножения является некоммутативной группой. г) Множество матриц одинакового порядка m×n с операцией сложения образует абелеву группу.

36. Нахождение элемента, обратного данному, в общем случае, есть унарная операция. Поэтому тип любой группы (2,1). Иногда, при записи конкретной группы указывают в скобках кроме бинарной операции ещё и эту унарную операцию, либо (чаще) нейтральный элемент группы. Например, для группы из примера а соответствующая запись имеет вид (Z;+;0), а для группы из примера б - (Q\0;∙;1).

37. Пусть M и N – подмножества группы, т.е. M∈G, N∈G, тогда введем множество M-1={x∈G|∃h∈M,x=h-1}, MN={x∈G|∃ h1∈M,∃h2∈N,x=h1*h2} • NM≠MN в силу некоммуникативности.

38. Рассмотрим элемент а из группы G: a0=e, аk+1=ak*a=a*ak. • Порядок элемента а группы G – минимальное натуральное число n такое, что an = e. В случае, если такого n не существует, считается, что a имеет бесконечный порядок

39. Подгруппа • Подгруппа ― подмножество H группы G, само являющееся группой относительно операции, определяющей G. • Подмножество H группы G является её подгруппой тогда и только тогда, когда: • содержит единичный элемент из G, • содержит произведение любых двух элементов из H, • содержит вместе со всяким своим элементом h обратный к нему элемент h−1. • Более подробно это означает, что h,h’∈H⇒h*h’∈H, e∈Hи h∈H⇒h–1∈H.

40. Коммутативная операция • Если операция в группе коммутативна, она обозначается (+) и называется сложением. • В этом случае нейтральный элемент называется нулем и удовлетворяет условию: g+0=g. • Обратный элемент в этом случае называется противоположным и обозначается (–g). • Степени элемента g имеют вид g+g+...+g , называются кратными элемента g и обозначаются ng.