第6章多元函数微积分

第6章多元函数微积分 6.1空间解析几何简介. 6.2多元函数微分学. 6.3多元函数积分学.

6.1 空间解析几何简介 主要内容：一.空间直角坐标系. 二.向量的基本概念及其运算. 三.平面与直线的方程. 四.曲面方程的概念和常用曲面的方程. 五.空间曲线及其在坐标面上的投影.

拇指方向 z 四指转向 z轴(竖轴) 右手规则 y轴(纵轴) (坐标)原点 1 y 1 1 x轴(横轴) x 一、空间直角坐标系过空间一个定点O，作三条互相垂直的轴，它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位．它们的正向通常符合右手规则. O 这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系．

面面面坐标面：三条坐标轴中的任意两条都可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标面． x轴及y轴所确定的坐标面叫做 xOy面，另两个坐标面是 yOz 面、zOx面.

z O y x 卦限：三个坐标面把空间分成八个部分，第一卦限每一部分叫做一个卦限．

z O y x 卦限：第二卦限

z O y x 卦限：第三卦限

z O y x 卦限：第四卦限

z O y x 卦限：第五卦限

z O y x 卦限：第六卦限

z O y x 卦限：第七卦限

z O y x 卦限：第八卦限

z O y x 二、空间一点的坐标：设M为空间一已知点．过点 M 作三个平面分别垂直于x轴y轴和 z轴，三个平面在x 轴、y轴和 z轴的交点依次为P、Q、R， R z M 在 x轴、y轴和z 轴上的坐标依次为x、y、z，我们称这组数为点M的坐标， Q y 并把x、y、z分别称为点M的横坐标、纵坐标、竖坐标． x P 坐标为x、y、z的点M记为 M(x，y，z)．

及直角中 , 三、空间两点间的距离设为空间两点, 求在直角由勾股定理有:

所以之间的距离为 特殊地：若两点分别为

例1求之间的距离 解由距离公式，得

v v v F v v 三、向量的基本概念及其运算1.向量的基本概念向量：既有大小，又有方向的量叫做向量．例如力、力矩、位移、速度、加速度等都是向量．在数学上，用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量．有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．

z M 2 M1 y O x 向量的符号：向量可用粗体字母表示，也可用上加箭头书写体字母表示，例如，b，i，j，k，F，以M1为起点、M 2为终点的有向线段所表示的向量，记作

向量的模： 向量的大小叫做向量的模．单位向量：模等于1的向量叫做单位向量．零向量：模等于0的向量叫做零向量，记作0．零向量的起点与终点重合，它的方向可以看作是任意的．

自由向量： 由于一切向量的共性是它们都有大小和方向，所以在数学上我们只研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量，简称向量．如果向量a和b的模相等，又互相平行,且指向相同,则说向量a和b是相等的，记为 a b．相等的向量经过平移后可以完全重合．

向量平行： 两个非零向量如果它们的方向相同或相反，就称这两个向量平行．向量a与b平行，记作a // b．零向量认为是与任何向量都平行．

已知 ,则向量 的长度为 2．向量的运算 (1).向量的长度

任取一点A，作  a， 起点，作 =b，那么向量  c称为向量 a与 b a C c b b a A B (2).向量的加法,减法和数与向量的乘法设有两个向量 a 与 b ，再以B为连接AC，的和，记作 a b，即 c  a  b．这种作出两向量之和的方法叫三角形法则．

作  a，  b， 那么向量 a D b b a A B 平行四边形法则：当向量 a与 b不平行时，以AB、 AD为边作一平行四边形ABCD，连接对角线AC，等于向量 a与 b的和 a b ． C c

向量的加法符合下列运算规律： (1)交换律a b b a； (2)结合律(ab) c a (bc)．由向量加法的交换律与结合律，可知任意多个向量加法的法则：以前一向量的终点作为后一向量的起点，相继作向量，再以第一向量的起点为起点，最后一向量的终点为终点作一向量，

a a a -a -a -a b b ba ba 负向量：设 a 为一向量，与 a 的模相同而方向相反的向量叫做 a 的曲面向量，记为a．向量的减法：我们规定两个向量 b 与 a 的差为 bab (a)．即把向量 a 加到向量 b 上，便得 b 与 a 的差 ba．

向量与数的乘法： 规定 a 是一个向量，它的模|a|||| a |，向量 a与实数的乘积记作 a ，它的方向当>0时与 a 相同，当<0时与 a 相反．当0时，|a|0，即a为零向量，特别地，当1时，有 1a a，(1) a a．

基本单位向量：以分别表示沿 Z R M(x,y,z) Q O Y P X (3)．向量的坐标表示及其加法轴的正方向的单位向量，—称为基本单位向量设向量的始点在原点, 终点的坐标为 (如图), 利用向量的加法可得, 在中，而，又所以得

上式称为向量 的坐标表示式．由数与向量的乘积定义,得故

利用向量的坐标进行向量的加减和数乘： ，则  {ax bx ，ay by ，az bz}．  {ax-bx ，ay- by ，az- bz}．  {ax ，ay ，az}．

(4)向量的数量积 定义1 数量积也称为“点积”.

注：证

数量积符合下列运算规律： （1）交换律：（2）分配律：（3）

(5).两向量的向量积 // 定义向量积也称为“叉积注:

// // 证: 向量积符合下列运算规律：（1）（2）（3）

设向量积的计算公式

四. 平面与直线的方程 1.平面的方程 如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法向量．法向量的特征：垂直于平面内的任一向量．已知设平面上的任一点为必有

平面的点法式方程 已知点其中法向量平面上的点都满足上面的方程，不在平面上的点都不满足上面的方程．上面的方程称为平面的方程,平面称为方程的图形．

2.直线的方程 （1）空间直线的一般方程定义: 空间直线可看成两平面的交线．此方程组空间直线的一般方程

（2）空间直线的对称式方程与参数方程 方向向量的定义：如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量.

直线的对称式方程 令直线的参数方程得

例1 求其方程解所以交点为取所求直线方程

那么，方程 就叫做曲面Ｓ的方程，五.曲面方程的概念和常用曲面的方程1,曲面方程的概念曲面方程的定义： (1)曲面Ｓ上任一点的坐标都满足方程； (2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程；而曲面Ｓ就叫做方程的图形

坐标面是由坐标轴所确定的平面．以　　坐标面为例 在该平面上任取一点,它的　坐标为0,即　　　；反过来, 满足方程的任一组解所对应的点在所以　　坐标面的方程为坐标面上，坐标坐标面的方程为同样可以得到: 2，常用的曲面方程 1，坐标面的方程　面的方程为

２，球心在点 、半径为的球面的方程．是过点方程且平行于坐标面的平面方程类似地，

例1 面方程解根据题意有所求方程为特殊地：球心在原点时方程为

３，柱面的方程 平行于定直线并沿定曲线移动的直线L所形成的曲面称为柱面. 定义: 定曲线Ｃ叫柱面的准线动直线Ｌ叫柱面的母线

柱面举例 平面抛物柱面

柱面的特征： 角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面，其准线为 xoy面上的曲线C （其他类推）椭圆柱面双曲柱面抛物柱面

六.空间曲线及其在坐标面上的投影 1.空间曲线的一般方程空间曲线C可看作空间两曲面的交线. ----空间曲线的一般方程特点：曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上,不在曲线上的点不能同时满足两个方程

第6章 多元函数微积分