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时间序列分析 中国人民大学统计学院 易丹辉

时间序列分析 中国人民大学统计学院 易丹辉. 二 ○ 一二 年七月. 参考书目. 易丹辉：时间序列分析：方法与应用，中国统计出版社， 2011 年 4 月 易丹辉：数据分析与 Eviews 应用，中国人民大学出版社， 2008 年 10 月 Philip Hans Franscs : 商业和经济预测中的时间序列模型，中国人民大学出版社， 2002 年 12 月 陆懋祖：高等时间序列经济计量学，上海人民出版社， 1999 年 8 月 罗伯特 S. 平狄克 丹尼尔 L. 鲁宾费尔德：计量经济模型与经济预测，机械工业出版社， 2000 年 9 月.

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  1. 时间序列分析中国人民大学统计学院易丹辉 二○ 一二年七月

  2. 参考书目 易丹辉：时间序列分析：方法与应用，中国统计出版社，2011年4月 易丹辉：数据分析与Eviews应用，中国人民大学出版社，2008年10月 Philip Hans Franscs : 商业和经济预测中的时间序列模型，中国人民大学出版社，2002年12月 陆懋祖：高等时间序列经济计量学，上海人民出版社，1999年8月 罗伯特 S. 平狄克 丹尼尔 L. 鲁宾费尔德：计量经济模型与经济预测，机械工业出版社，2000年9月

  3. 概 述 时间序列的含义 时间单位 年 季 月 周 日 时 低频数据 高频数据 时序数据特点

  4. 数据量 足够数量的数据反映变化规律 支持模型的建立 数据量并不是越大越好 注意延伸到未来的规律 数据管理 ——数据库 数据的更新

  5. 10000 8000 6000 4000 2000 0 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 Y

  6. 9000 8000 7000 6000 5000 4000 95:1 95:3 96:1 96:3 97:1 97:3 98:1 98:3 99:1 Y

  7. 数据表现 观察数据的变化 是否有异常数据出现 原因分析 规律分析 是否有冲击或干扰 瞬间 持续

  8. 140000 120000 100000 80000 60000 98 99 00 01 02 03 Y

  9. 3.5E+09 3.0E+09 2.5E+09 2.0E+09 1.5E+09 1.0E+09 5.0E+08 99:01 99:07 00:01 00:07 01:01 01:07 02:01 02:07 Y

  10. 时间序列分析方法 传统时序分析 四因素分解 长期趋势 T 季节变动 S 循环变动 C 偶然变动 I 加法形式 乘法形式

  11. 随机时序分析

  12. 一、ARMA模型 （一）模型的引进 多元线性回归 自回归 移动平均模型 简单平均：序列平稳 围绕均值波动 = = = =

  13. 移动平均：近期数据对预测的影响更重要 加进新数据，则删除远离现在的数据 = = = = T的作用：平滑数据 T的取值：自然数 数值大小对结果的影响

  14. 以均值替代 有 = + （ ） = + 特点：利用误差修正，调整前期预测值 跟踪数据变化 时间序列可以用过去的误差项表出 = + +……+ +

  15. （二）方法性工具 1. 自相关 含义：时间序列诸项之间的简单相关 自相关系数： 计算公式 取值 作用 自相关函数 抽样分布

  16. 2.偏自相关 含义：时间序列 ，在给定了 ， ，……， 的条件下， 与 之间的条件相关。 偏自相关系数： 计算公式取值作用 偏自相关函数

  17. （三）时序特性分析 1. 平稳性分析 （1） 平稳时序 描述性定义：序列的统计特征不随时间而变化 均值恒为常数；自相关系数只与时间间隔有关，与时间起始点无关。 自相关的特点： 自相关系数 在K等于2或3后迅速趋于零。

  18. 平稳时序自相关分析图

  19. （2） 趋势消除 差分（逐期、短差） 2. 季节性分析 （1） 自相关的特点 注意时滞 （2） 季节差分 3. 随机性

  20. 纯随机序列的自相关图

  21. （四）ARMA模型及其改进 1. 自回归模型AR（p） 模型的一般形式 AR (p) 序列的自相关和偏自相关 ：拖尾性 ：截尾性 =

  22. 2. 移动平均模型MA( q ) 模型的一般形式 MA (q) 序列的自相关和偏自相关 = 截尾性 ： ：拖尾性

  23. AR与MA间的对偶性 相互表出 AR（P） 可以用既往的 有限加权和表出 可以用既往的 无限加权和表出 = = MA (q) = = 可以用既往的 有限加权和表出 可以用既往的 无限加权和表出

  24. 相关函数 平稳与可逆 若一个序列可以用无限阶的自回归模型逼近，即逆函数存在，称为具有可逆性，也就是可逆的。

  25. 3. 自回归移动平均混合模型 ARMA( p, q ) 模型的一般形式 ARMA (p , q) 序列 的自相关和偏自相关 4. 改进的ARMA模型 ARIMA( p , d , q ) ARIMA (P,D,Q ARIMA(p,d,q) (P,D,Q

  26. （五） 模型的建立 1. 模型识别 选择各个阶数 d ，D p, q P，Q 2. 参数估计 3.模型检验 残差序列的自相关检验 直观判断 残差序列的自相关系数是否落入随机区间

  27. 统计检验 检验法 m个独立N（0，1）随机变量的平方和，服从自由度 为m的 分布。如果将残差序列的自相关函数作为一 个整体考虑，当模型选择合适时，可以证明： Q = n (e) 为近似的 （m – p – q ）分布。其中，m 是最大时 滞数，n 为计算 （e）的数据个数。

  28. （六）预测 1. 最小方差预测： 使时间序列未来值的预测误差尽可能小 预测误差 （L）= - （L）的方差 E（ （L） = E（ - （L） 应达到最小 。

  29. 也就是要使选择的时间序列L步预测值（L）与时间序列实际值之间距离比其它任何一点都短。也就是要使选择的时间序列L步预测值（L）与时间序列实际值之间距离比其它任何一点都短。 2. 预测的递推形式

  30. (七）单位根过程 • 问题的提出 • 用于预测的线性平稳模型： • AR（p）模型 （B） = 方程（B）= 0称为过程的特征方程，过程平稳的条件是，特征方程所有根的绝对值都必须大于1，即在单位圆外。

  31. 2. 单位根的定义 随机过程{ ，t = 1，2，......}，若 = t = 1，2，...... 其中，= 1，{ }为一稳定过程，且E（ ）= 0， cov ( ， ) = < , 这里 s = 0，1，2，......，则该过程称为单位根过程（unit root process）。 + +

  32. 特别地，若 = + t = 1，2，...... 其中，{ }为独立同分布，且E（ ） = 0， D（ ） = < ，则{ }为一随机游动过程（random waik process)。可以看出，随机游动过程是单位根过程的一个特例。

  33. 若随机过程{ }的一阶差分过程（ = ）为一稳定过程，则{ }服从单位根过程。 分别以I（1）和I（0）表示单位根过程和稳定过程， 则可将 和 记为 ~ I（1）~ I（0）

  34. 3.趋势类型 确定性趋势模型趋势平稳 时间序列中的趋势有不同的表现形式，如，带趋势的稳定过程 = c + t + 其中，f ( t ) = c + t，表示时间序列{ }的确定性趋势（deterministic trend）。 的期望是时间t的线性函数,其值在c + t周围波动。 为一稳定过程。

  35. 随机性趋势模型差分平稳 带常数项的单位根过程 = c + + 其中，c是常数项。对 不断地向后迭代，得到 = c + （c + + ）+ = ....... = ct + 确定的时间趋势ct ，是由单位根过程中的常数项积累而成

  36. 时间序列的趋势大体有以下三种基本类型： （1）（1）序列不含常数项、时间趋势项 = + 若 =1 ，序列为一单位根过程；若< 1, 序列为一稳定过程。 （2）序列含常数项、不含时间趋势项 = c + + 若 =1 ，序列为一带常数项的单位根过程； 若< 1,序列为一带常数项的稳定过程。

  37. （3）序列带常数项和时间趋势项 = c + + t + 若 =1 ，序列为一带常数项和时间趋势项的 单位根过程； 若< 1，序列为一带常数项和时间趋势项的稳定过程。

  38. 4. 单位根检验 （1）迪基—福勒（DF）检验 一阶自回归模型 = + ：= 1 为真时 最小二乘估计的t统计量为 t = 式中，为 的最小二乘估计，SE（ ）为 的标准差。

  39. 检验标准： t统计量有非标准和非对称的极限分布， 记作 ，对于给定的样本量n和显著性水平 , 若统计量的实际计算值 小于临界值，则拒绝原假设 。

  40. （2）ADF检验 DF检验只对存在一阶自相关的序列适用。 ADF检验适用于存在高阶滞后相关的序列。 = + 表述为 = + 存在高阶滞后相关的序列，经过处理可以表述为 = + + + ....... + + 上式中，检验假设为 或加带常数项，或加带趋势项，或加带常数项和趋势项， ：= 0 检验标准同DF检验。

  41. 二、向量自回归过程（vector autoregressive process） 向量自回归过程简称VAR过程，是分析多变量时间序列的有力工具。 （一）传统的向量自回归模型 1. 模型 VAR(p)模型表示为 其中， 是n维变量序列， （i = 1,2, ...... ,p）为n n维模型系数矩阵，{ }为n维独立同分布随机向量，E（ ）= 0 ，D（ ）= 。 = + + ...... + +

  42. 2. 互相关函数 协方差矩阵 设 = [ , , ... , ], (t = 0 , 1, 2 , ... ) 为n维联合平稳实向量过程. 对于每一个分量序列 ( i = 1, 2, ... , n ) ,其均值E( ) = 是常数, 对于每一个分量序列 和 ( i = 1, 2, ... , n ; j = 1, 2, ... , n)之间的互协方差仅与时间间隔 (k = t - s)有关,是时间间隔k的函数.

  43. 可以得到均值 E( ) = = 和协方差矩阵 (k) = Cov( , ) = E [( -- ) ( -- ] = Cov( , )

  44. 记 = E ( - )( - ) = E ( - )( - ) k = 0 , 1 , 2 , ... ; i = 1 , 2 , ... , n ; j = 1 , 2 , ... , n . 当i = j时, 是i个分量的自相关函数; 当i j时, 是 和 之间的互协方差函数.

  45. （2）互相关函数 和 之间的互相关函数可以表示为 3. 参数估计 普通最小二乘法 =

  46. 4. 模型识别 对模型阶数p作出选择 （1）阶数的初选 阶数p的初选，通常可以借助序列间的互相关函数进行。 阶数p要足够大，以完整反映变量之间的动态特征； p不宜过大，模型待估计参数增多，自由度减少，没有足够的样本数目时，可能导致参数不能得到正确有效的估计。 和普通线性回归一样，一个待估计参数，一般来说，至少需要10个观测期的数据。

  47. （2）利用评价指标确认 利用初选的阶数p可以构建VAR模型，参数估计后，可以利用几个评价指标帮助判断合适的阶数 1）LR检验（似然比检验） ：附加约束是正确的 服从自由度为M的分布 2）最终预测误差FPE（Final prediction error ） 其中， 是滞后p期时模型残差的方差估计， n是样本量，k是待估计参数的个数 。 FPE（p）=

  48. 3）AIC（Akaike inof criterion） 准则 其中：∣∣指VAR(p) 模型残差的协方差阵的行列式；n是有效的观测数目；m是变量序列的数目；p是阶数 4）SC（Schwarz criterion）准则 5）HQ（Hannan-Quinn criterion）准则 其中：L是似然函数，k是待估计参数的个数，其它符号意义同上 AIC=log∣ ∣+2m2p/n，p=1, …, k ∣+（logn） ，p=1, …, k SC=log∣ ∣+（logn） HQ =

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