Projekt z „FIZYKĄ, MATEMATYKĄ I PRZEDSIĘBIORCZOŚCIĄ ZDOBYWAMY ŚWIAT” jest współfinansowany przez

1. Projekt z „FIZYKĄ, MATEMATYKĄ I PRZEDSIĘBIORCZOŚCIĄ ZDOBYWAMY ŚWIAT” jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki 2007 – 2013 CZŁOWIEK NAJLEPSZA INWYSTYCJA Publikacja jest współfinansowany przezUnię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Publikacja jest dystrybuowana bezpłatnie.

2. Temat projektowy: Liczby wymierne są ok Projekt wykonywany przez uczniów Gimnazjum nr 2 im. Powstańców Wielkopolskich w Wolsztynie ul. Mickiewicza 4 Uczniowska grupa projektowa o profilu matematyczno – fizycznym ID grupy: 98/4_MF_G1 Rok szkolny 2011/2012 Semestr 5

3. Temat projektowy: Liczby wymierne są ok Projekt wykonywany przez uczniów Gimnazjum im. Adama Mickiewicza w Brodach ul. Kilińskiego 11 Uczniowska grupa projektowa o profilu matematyczno – fizycznym ID grupy: 98/66_MF_G1 Rok szkolny 2011/2012 Semestr 5

4. AGENDA • Informacje o projekcie: • Realizatorzy i patroni projektu; • Informacja o projekcie; • Główne założenia i cel projektu. • Przebieg prac badawczych i doświadczenia. • Realizacja projektu. • Wyniki prac badawczych.

5. Realizatorzy projektu Uniwersytet Szczeciński – lider projektu COMBIDATA Poland sp. Z o.o. - Partner projektu

6. Patroni projektu Zachodniopomorski Kurator Oświaty Wielkopolski Kurator Oświaty Lubuski Kurator Oświaty

7. Projekt realizowany jest przez Uniwersytet Szczeciński w partnerstwie z Combidata Poland sp. z o.o. w ramach Programy Operacyjnego Kapitał Ludzki, Priorytet III ,,Wysoka jakość systemu oświaty”, Działanie 3.3 ,,Poprawa jakości kształcenia”, Poddziałanie 3.3.4. ,,Modernizacja treści i metod kształcenia projekty kursowe”. Projekt ,,Z FIZYKA, MATEMATYKĄ I PRZEDSIEBIORCZOŚCIĄ ZDOBYWAMY ŚWIAT!!!” jest współfinansowany przez Unię Europejskąw ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego.

8. Założenia projektu Projekt jest realizowany w województwach: zachodniopomorskim, wielkopolskim, lubuskim w okresie od października 2009r. – sierpnia 2012r. Zostaliśmy zakwalifikowani do projektu jako uczniowie klas pierwszych, gdyż będziemy uczestniczyć w projekcie praktycznie aż do skończenia gimnazjum, a dokładnie do sierpnia 2012r. , mając możliwość kompleksowego i bezpłatnego korzystania z działań, wydarzeń, atrakcji przewidzianych dla nas w projekcie. W naszej szkole zostały utworzone dwie Uczniowskie Grupy Projektowe, które skupiły wszystkich chętnych uczniów do rozwijania swojej wiedzy i umiejętności w obszarze wybranej kompetencji matematyczno – fizycznej.

9. Cel projektu • W okresie realizacji projektu rozwijamy swoje kompetencje, a więc wiedzę i umiejętności w obszarze matematyki i fizyki poprzez udział w następujących działaniach projektowych: • Zajęciach pozalekcyjnych naszej Uczniowskiej Grupy Projektowej prowadzonych przez opiekuna grupy; • Wykładach pokazowych organizowanych w szkole, prowadzonych przez kadrę naukową uczelni wyższej; • Festiwalach uczelnianych, w przypadku gdy efekty pracy naszej grupy zostaną nagrodzone przez ekspertów uczelni.

10. Temat projektu: Liczby wymierne są ok

11. Liczby wymierne to wszystkie liczby, które można przedstawić w postaci ułamka p/q, gdzie p i q są liczbami całkowitymi (p, q  C) oraz mianownik q jest liczbą całkowitą różną od zera (q  0 ).

12. Zbiór liczb wymiernych oznaczamy symbolem W. Pamiętaj! Liczby wymierne to wszystkie liczby całkowite oraz wszystkie ułamki (zwykłe i dziesiętne, dodatnie i ujemne).

13. W C N N  C  W

14. Liczby rzeczywiste to wszystkie liczby wymierne i niewymierne. Zbiór liczb niewymiernych oznaczamy symbolem R. WNIOSEK! Każdą liczbę rzeczywistą można przedstawić w postaci rozwinięcia dziesiętnego.

15. W C N R NW NW  R N  C  W  R

16. Własności liczb wymiernych - liczby wymierne z dodawaniem, mnożeniem, zerem i jedynką określonymi w poprzedniej sekcji stanowią ciało - zbiór liczb wymiernych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych, czyli jest to zbiór przeliczalny - jako podzbiór przestrzeni liczb rzeczywistych R, liczby wymierne są gęste w R.

17. Dziesiętny system liczbowy Dziesiętny system liczbowy, zwany też systemem decymalnym lub arabskim to pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą pozycji są kolejne potęgi liczby 10. Do zapisu liczb potrzebne jest więc w nim 10 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciąg cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu. Część całkowitą i ułamkową oddziela separator dziesiętny. Np. zapis "5045,7" wynika z:

18. Dziesiętny system liczbowy Pozycyjny, dziesiętny system liczbowy jest obecnie na świecie podstawowym systemem stosowanym niemal we wszystkich krajach. Oryginalnie pochodzi on z Indii, z których przedostał się do Europy za pośrednictwem Arabów. Od XVI wieku stosowano go obok systemu rzymskiego, w nauce, księgowości oraz tworzącej się właśnie bankowości, gdyż system ten znacznie upraszcza operacje arytmetyczne.W oficjalnych dokumentach jednak nadal zamieniano liczby w zapisie arabskim na system rzymski. W końcu, dzięki praktycznym zaletom system rzymski został prawie zupełnie wyparty na korzyść arabskiego.

19. Przeliczanie systemu dziesiętnego na inne Aby przeliczyć liczbę z systemu dziesiątkowego na inny, wykonujemy dzielenie z resztą liczby przez podstawę systemu liczbowego, na który jest przeliczana. Iloraz tych liczb ponownie dzielimy przez podstawę systemu liczbowego, aż do wyniku 0. Zapisujemy reszty z dzielenia od końca. Przykład: 132 : 8 16 r 4 16 : 8 = 2 r 0 2 : 8 = 0 r 2 132(10) = 204(8)

20. CIEKAWOSTKA Liber abaci lub Liber abbaci - księga matematyczna z 1202, dotycząca arytmetyki, autorstwa Leonarda z Pizy, znanego później pod pseudonimem Fibonacci. Jej tytuł tłumaczony jest współcześnie jako Księga liczydła lub Księga rachunków. W pracy tej Fibonacci wprowadził w Europie cyfry arabskie, ważny element systemu dziesiętnego, który Fibonnaci poznał uprzednio podczas pobytu w północnej Afryce. Liber abaci nie była pierwszą księgą w świecie zachodu opisującą cyfry arabskie.

21. RACHUNKI Z UŁAMKAMI

22. DODAWANIE UŁAMKÓW ZWYKŁYCH Ułamki o tych samych mianownikach dodajemy w ten sposób, że dodajemy liczniki, a mianownik pozostaje bez zmiany. Jeśli mianowniki ułamków są różne, to najpierw rozszerzamy ułamki tak, aby miały te same mianownik. Dopiero potem dodajemy.

23. DODAWANIE UŁAMKÓW ZWYKŁYCH PRZYKŁAD PRZYKŁAD

24. DODAWANIE UŁAMKÓW ZWYKŁYCH PRZYKŁAD

25. DODAWANIE UŁAMKÓW DZIESIĘTNYCH Dodawanie ułamków dziesiętnych wykonujemy podobnie, jak dodawanie pisemne liczb naturalnych. Liczby zapisujemy w ten sposób, aby przecinki znalazły się jeden pod drugim.

26. ODEJMOWANIE UŁAMKÓW ZWYKŁYCH Dla liczb wymiernych a/m i b/m odejmowanie wymaga najpierw tzw. sprowadzenia do wspólnego mianownika, czyli takiego przekształcenia tych ułamków, aby ich mianowniki były równe.

27. ODEJMOWANIE UŁAMKÓW DZIESIĘTNYCH Odejmowanie ułamków dziesiętnych wykonujemy podobnie, jak odejmowanie pisemne liczb naturalnych. Liczby zapisujemy w ten sposób, aby przecinki znalazły się jeden pod drugim. PRZYKŁAD

28. MNOŻENIE UŁAMKÓW ZWYKŁYCH Aby pomnożyć ułamek przez ułamek, należy pomnożyć licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego, a mianownik pierwszego ułamka pomnożyć przez mianownik drugiego ułamka.

29. MNOŻENIE UŁAMKÓW DZIESIĘTNYCH Aby pomnożyć liczbę dziesiętną 10, 100 lub 1000, należy przesunąć przecinek w prawo o jedno, dwa lub trzy miejsca.

30. MNOŻENIE UŁAMKÓW DZIESIĘTNYCH Ułamki dziesiętne mnożymy tak, jak liczby naturalne, przy czym w iloczynie oddzielamy przecinkiem tyle końcowych cyfr, ile było razem cyfr po przecinku w obu czynnikach

31. DZIELENIE UŁAMKÓW ZWYKŁYCH Aby podzielić przez siebie dwa ułamki zwykłe, mnożymy pierwszy ułamek przez odwrotność drugiego.

32. DZIELENIE UŁAMKÓW DZIESIĘTNYCH Aby podzielić liczbę dziesiętną 10, 100 lub 1000, należy przesunąć przecinek w lewo o jedno, dwa lub trzy miejsca.

33. DZIELENIE UŁAMKÓW DZIESIĘTNYCH Aby wykonać dzielenie dwóch ułamków dziesiętnych sposobem pisemnym, należy dzielną i dzielnik pomnożyć przez 10n, gdzie n oznacza liczbę miejsc po przecinku w dzielniku, aby dzielnik stał się liczbą naturalną a następnie wykonać dzielenie ułamka dziesiętnego przez liczbę naturalną.

34. DZIELENIE UŁAMKÓW DZIESIĘTNYCH

35. ROZSZERZANIE UŁAMKÓW ZWYKŁYCH Aby rozszerzyć ułamek, należy pomnożyć licznik i mianownik przez tę samą liczbę różną od zera. Rozszerzanie ułamków to mnożenie. Rozszerzając ułamek nie zmieniamy jego wartości. Dzięki tej własności operacje rozszerzania ułamka często wykorzystujemy w działaniach na ułamkach. Rozszerzanie wykorzystujemy w dodawaniu i odejmowaniu ułamków przy sprowadzaniu ich do wspólnego mianownika.

36. ROZSZERZANIE UŁAMKÓW ZWYKŁYCH

37. „Liczby rządzą światem.” Pitagoras ZAOKRĄGLENIA

38. Zaokrąglanie – w matematyce przybliżanie pewnej liczby do innej, mającej mniej cyfr znaczących Zaokrąglanie polega na:- odrzuceniu lub zastąpieniu zerami pewnej ilości cyfr końcowych danej liczby Żeby poprawnie zaokrąglić liczbę należy pamiętać o jednej ważnej zasadzie: Jeśli przed cyfrą, do której zaokrąglamy, stoi cyfra mniejsza od 5, zaokrąglamy w dół (zaokrąglenie z niedomiarem). Jeśli przed cyfrą, do której zaokrąglamy, stoi cyfra 5 lub większa niż 5, zaokrąglamy w górę (zaokrąglenie z nadmiarem).

39. Po zaokrągleniu liczby 0,1239 do dwóch miejsc po przecinku otrzymamy 0,12, ponieważ pierwszą odrzuconą cyfrą jest 3. Po zaokrągleniu 0,7691 także do dwóch miejsc po przecinku otrzymamy 0,77, ponieważ pierwszą odrzuconą cyfrą jest 9. Przy zaokrąglaniu w miejsce znaku równości ( = ) używa się znaku przybliżenia ( ≈ ).

40. PRZYKŁAD Zaokrąglij podane liczby do setek: 4325 ≈ 4300 5467 ≈ 5500 Zaokrąglenie w dół Liczba < 5 Liczba setek Zaokrąglenie w górę Liczba ≥ 5 Liczba setek

41. PRZYKŁADY PRZYKŁAD 2. Podane liczby zaokrąglij do jedności. • 2,84 ≈ 3 • 4,06 ≈ 4 • 10,51 ≈ 11 PRZYKŁAD 3. Podane liczby zaokrąglij do części dziesiątych. • 0,143 ≈ 0,1 • 2,486 ≈ 2,5 • 0,066 ≈ 0,1

42. SYSTEM RZYMSKI

43. SYSTEM RZYMSKI System rzymski zapisywania liczb jest systemem addytywnym, czyli wartość danej liczby określa się na podstawie sumy wartości jej znaków cyfrowych. Wyjątki od tej zasady to liczby: 4, 9, 40, 90, 400 i 900, do opisu których używa się odejmowania. W systemie rzymskim posługujemy się znakami: I – 1V – 5 X – 10 L – 50 C – 100D – 500 M – 1000

44. Zasady zapisywania liczb w systemie rzymskim Podczas zapisywania liczb w systemie rzymskim należy dążyć zawsze do tego, aby używać jak najmniejszej liczby znaków, pamiętając przy tym o zasadach: 1. Obok siebie mogą stać co najwyżej trzy znaki spośród: I, X, C lub M. 2. Obok siebie nie mogą stać dwa znaki: V, L, D. 3. Nie może być dwóch znaków oznaczających liczby mniejsze bezpośrednio przed znakiem oznaczającym liczbę większą. 4. Znakami poprzedzającymi znak oznaczający większą liczbę mogą być tylko znaki: I, X, C.

45. ZAMIANA UŁAMKÓW ZWYKŁYCH NA DZIESIĘTNE

46. I sposób: rozszerzając je tak, aby w mianowniku otrzymać 10, 100, 1000. Ułamki te mają rozwinięcie dziesiętne (postać dziesiętną) skończone.

47. II sposób zamiany ułamków zwykłych na dziesiętne to dzielenie licznika przez mianownik.

48. Kiedy ułamek zwykły można zapisać jako skończone rozwinięcie ułamka dziesiętnego? Tylko wtedy, gdy nieskracalny ułamek ma mianownik będący iloczynami wyłącznie liczb 2 i 5 oraz ich potęg. Rozwinięcia dokonaliśmy rozszerzając przez 5 ułamek zwykły do ułamka o mianowniku 10. Inny przykład znalezienia rozwinięcia dziesiętnego ułamka zwykłego poprzez wykonanie rozszerzenia ułamka.

49. Nie zawsze jest to wykonalne. Ułamek nieskracalny musi mieć mianownik będący iloczynem tylko potęg liczby 2 i potęg liczby 5. Jak w prostszy sposób dla ostatniego ułamka znaleźć rozwinięcie dziesiętne? Można wykorzystać kalkulator. Wykorzystamy kalkulator znajdujący się z systemie Windows.

50. Przykład zamiany ułamka o czynnikach pierwszych dwa i pięć na ułamek dziesiętny za pomocą dzielenia Wprowadzamy 1 Wygląd kalkulatora nie zmienił się. Teraz znak dzielenia – czyli ukośną kreskę