Definitezza

1. Definitezza • Vogliamo poter richiedere la “definitezza” delle funzioni • introduciamo nuovi atomi Def(t) con t TS(X)la cui validità vuol dire che t è definito in A rispetto a V, cioè tA,V  sA • Oppure per ogni sort s  S introduciamo un • predicato standard Defs:s • con interpretazione fissa e coincidente con tutto il carrier di s • Si ha che • t1=e t2 equivalente a t1 = t2  Def(t1) • Def(t) equivalente a t =e t • Esercizio 13:Precisare cosa significa l’“equivalente” usato sopra. Provare poi le due affermazioni.

2. La logica • Completiamo la nostra logica con l’uguaglianza esistenziale.Come derivati abbiamo l’uguaglianza forte e atomi per richiedere la definitezza dei termini • Esercizio 14:Completare la definizione di LS(X)e per includere le nuove formule e dare la corrispondente validità.

3. Esempi • “nuove” formule su Slist e X = {x: int, l: list} • Def(0), Def(empty) • top(push(x,l)) = x top(push(x,l)) =e x • top(empty) = 0, pop(empty) = empty • push(top(l),pop(l)) = l (*) • * è valida in L (L |= * ) ? • No, poiché • V1 t.c. V1(l) = 0 L L |=V1 * • V2 t.c. V2(l) = L L |≠V2 * • Invece  isEmpty(l)  push(top(l),pop(l)) = lè valida in L • Esercizio 15:dettagliare le affermazioni precedenti. • Esercizio 16:Esibire delle formula con ugualianza e definitezza valide e non valide in L.

4. Strettezza • Funzioni (e predicati) in quest’approccio sono stretti, cioè restituiscono un valore (sono veri) solo su argomenti definiti • Prop. Fissate una segnatura S = (S,F,P), una S-famiglia X di variabili, termini ti  TS(X)si, una S-algebra A e una valutazione V: XA. 1) Per ogni f: s1  …  sn s  F, A|=VDef(f(t1,…,tn)) implica A|=VDef(ti) 2) Per ogni p: s1  … sn  P, A|=Vp(t1,…,tn) implica A |=VDef(ti) • Prova 1)A|=VDef(f(t1,…,tn)) se e solo se f(t1,…,tn)A,V sA cioè, per definizione di interpretazione, se e solo se t1A,V= a1s1A,…,tnA,V = ansnA e f(t1,…,tn)A,V = f A(a1,…,an)sA, allora tiA,VsiA e quindi A|=VDef(ti). 2) Analogamente (per esercizio) • Quindi l’uguaglianza forte (che vale anche quando entrambi i lati non sono definiti) non può essere un predicato, mentre l’uguaglianza esistenziale sì.

5. Osservazioni • La logica parziale del prim’ordine ha lo stesso potere espressivo di quella totale. • Nel definire la validità di una formula abbiamo scelto di allontanarci il meno possibile dalla logica classica (totale). • Per questo non abbiamo cambiato il dominio di valutazione delle formule, che possono essere solo vere o false: Logica a due valori • Quindi abbiamo scelto che un’applicazione di predicato ad un termine indefinito valesse falso. Attenzione: questo non vuol dire che tutte le formule in cui compare un termine indefinito sono false, per esempio A|≠VDef(t) implica A|=VDef(t)

6. Logiche a tre valori • Una scelta più radicale sarebbe stata passare ad una logica a 3 valori, in cui una formula può essere vera, falsa o indefinita. • Logiche a 3 valori permettono di discriminare situazioni che le logiche a 2 valori inevitabilmente identificano. • Però ai fini delle specifiche del sw funzionale e sequenziale, non sono strettamente necessarie (e quindi non le facciamo)

7. Specifiche • Una specifica Sp è una coppia (S,Ax), dove Ax LS(X), detti assiomi di Sp. • I modelli di Sp (semantica di Sp) sono tutte le S-algebre che soddisfano tutti gli assiomi di Sp, cioè Mod(Sp) = {A | A S-algebra e A|= ax per ogni axAx}

8. * Proprietà di ogni funzione Esempio: specifica di “liste di interi”1 • Splist =(Slist,PROPlist) • PROPlist • Def(0), Def(succ(x)) -- 0, succ totali • 0 ≠ succ(x), x ≠ succ(x) t1 ≠ t2 equiv. a  t1 = t2 • x = y  succ(x) = succ(y) • x ≠ y  succ(x) ≠ succ(y) -- succ iniettiva • Def(empty), Def(push(x,l)) -- empty, push totali • -- pop e top parziali • l ≠ empty  Def(pop(l))  Def(top(l)) •  Def(pop(empty))   Def(top(empty)) • pop(push(x,l)) = l  top(push(x,l)) = x • Ci sono assiomi inutili ?

9. Esempio: specifica di “liste di interi” 2 • Definizione di isEmpty A) isEmpty(empty),  isEmpty(push(x,l)) B) isEmpty(l) <=>l = empty F1 <=> F2 equiv. a F1 F2 F2 F1 C)  isEmpty(l) <=>l ≠ empty • Sono equivalenti le tre definizioni ? • B e C yes • A e B no • In una Slist-algebraesistono elementi che non sono rappresentati nè da empty nè da push(x,l) Esercizio 17:dare un ulteriore insieme di assiomi che definisca isEmpty. Esercizio 18:definire il predicato isIn. Esercizio 18bis:definire ulteriori combinatori derivati che si pensa possano essere utili.

10. Modelli term-generated • Fra i modelli di una specifica sono particolarmente interessanti i modelli term-generated (generati dai termini), cioè quei modelli in cui ogni elemento dei carrier è interpretazione di un termine senza variabili. • Una S-algebra A è detta term-generated se _A,: TS()A surgettiva • GMod(Sp) = { A | A Mod(Sp) e A è term-generated } • Ci sono solo gli elementi necessari per interpretare le asserzioni sull segnatura • Viceversa, ogni elemento in tali modelli è rappresentabile utilizzando la segnatura • Permettono di utilizzare tecniche induttive

11. Occorre saper • Leggere/comprendere una specifica ? Padronanza della semantica • Controllare se un’algebra è un modello di una specifica model-checking • Ragionare sulle formule • Proprietà derivate • Se un’algebra soddisfa una formula, allora deve soddisfare anche altre formule • Assiomi della logica • formule che valgono in ogni algebra Sistemi deduttivi • Controllare se una specifica verifica una certa proprietà (tutti i suoi modelli la verificano) Sistemi deduttivi • Trovare le proprietà di una struttura dati (assiomi di una specifica) ? guidelines

12. Esercizi • solita segnatura Slist • Assumendo che I predicati isEmpty ed isIn rappresentino le due ovvie condizioni • Dire usando la lingua italiana/inglese che proprietà sulle liste esprimono le seguenti formule • isEmpty(l) ˚isIn(x,l) • isEmpty(l) ˚x:int . isIn(x,l) • x:int . (isEmpty(l) ˚isIn(x,l)) • isEmpty(l) ˚$ x:int . isIn(x,l) • Dare una formula che richieda che • se un numero diverso da zero appartenesse ad una lista, allora anche 0 apparterebbe alla medesima lista • il top di una lista appartenga alla lista stessa • Se un numero appartiene ad una lista, allora esiste una lista il cui top è proprio tale numero

13. Model-checking • Data una specifica Sp = (S,Ax), ed una S-algebra A come si fa a verificare se A è un modello di Sp? • Basta usare la definizione • Si controlla se ogni assioma in Ax è valido in A • Controllando se è valido per ogni valutazione delle sue variabili libere

14. Esempio • solita segnatura Slist ed algebra L • L |= isIn(x,l)  isIn(x,push(y,l)) • Le variabili libere sono FV ={ x,y:int, l:list } • Si fissa una valutazione V per FV in A • Siano V(x), V(y)  N e V(l)  N* • Si applica la definizione di validità e di interpretazione un passo alla volta • L |=V isIn(x,l)  isIn(x,push(y,l)) sse L |≠V isIn(x,l) o L |=VisIn(x,push(y,l)) • L |≠V isIn(x,l) sse (xL,V,lL,V) isInL sse • ….. • Esercizio 19:completare la verifica della validità della formula. • Esercizio 20:L |= isIn(y,l)  isIn(y,push(x,l)) • Esercizio 21:L |= isIn(x,l)  isIn(x,push(x,l))