广义行列式及其应用

1. 福建省《高等代数》与《线性代数》课程建设 第十五次研讨会 广义行列式及其应用 谭宜家 （福州大学） 厦门，集美，2013.11

2. 其中 是集合 中所有置换组成的集合。 一、引言 对于数域上一个给定的n阶方阵 ， 的行列式是 表示置换 的逆序数。 矩阵的行列式在线性代数中起着重要的作用，它有很多有趣的性质。

3. 实际上，行列式、矩阵和线性方程组的解是紧密地联系在一起的;利用行列式，可直接找到可逆矩阵的逆矩阵的计算公式。Cramer法则是利用行列式解线性方程组。我们说，以上事实对于交换环上矩阵的行列式都是成立的，不同的是数域上的一个方阵可逆当且仅当它的行列式不等于0，而交换环上矩阵可逆当且仅当它的行列式在环中可逆（参看[10]）。实际上，行列式、矩阵和线性方程组的解是紧密地联系在一起的;利用行列式，可直接找到可逆矩阵的逆矩阵的计算公式。Cramer法则是利用行列式解线性方程组。我们说，以上事实对于交换环上矩阵的行列式都是成立的，不同的是数域上的一个方阵可逆当且仅当它的行列式不等于0，而交换环上矩阵可逆当且仅当它的行列式在环中可逆（参看[10]）。

4. 其中 是集合 中所有置换组成的集合。由于矩阵积和式不涉及到负号，所以矩阵积和式在一般交换半环上也可以定义。 矩阵的积和式类似于矩阵的行列式。对于数域上一个给定的n阶矩阵 ， 的积和式是

5. 矩阵积和式的概念首先由Binet[1] 和 Cauchy [3]引入。自那以后，出版了大量关于积和式理论的研究工作。1978年, H. Minc [11]给出了关于积和式理论和应用的一些论述。自1980年以来，许多数学工作者研究了一些特殊半环上矩阵的积和式(例如，参看[5, 7, 8, 9, 13, 16,18]).这些特殊半环包括了模糊代数，分配格和坡代数。

6. 由上述可以看出，矩阵的行列式只能在交换环上定义，而积和式可以在一般交换半环上定义。那么，是否有一个方法可以将行列式与积和式统一起来呢？由上述可以看出，矩阵的行列式只能在交换环上定义，而积和式可以在一般交换半环上定义。那么，是否有一个方法可以将行列式与积和式统一起来呢？ 本文将引入一般交换半环上矩阵的行列式（或称广义行列式），并讨论它的一些基本性质。同时利用行列式给出半环上矩阵的可逆条件，并在半环上建立Cramer法则．所得的主要结论推广了交换环上矩阵的行列式[10]（特别是数域上矩阵的行列式），模糊矩阵的积和式[9,13],格矩阵的积和式[18]以及坡矩阵的积和式[8]中相应的结果。

7. 二、基本概念与记号 定义1[6]. 一个代数系统 称为一个半环。如果 是一个交换幺半群（其恒等元为0）， 是另一个幺半群（其恒等元为1）；同时 ,均有 , 并且 . 设 是一个半环。 称为交换的，如果 ,均有 ；

8. 一个半环 称为加法幂 称为一个零和自由半环[6]，如果 ,由 可推出 .零和自由半环又称为反环[14，17]。 等的[6]，如果 ,均有 。显然， 任何加法幂等半环是零和自由半环。 半环的例子是相当丰富的。例如，任何带有单位元的环都是半环，它不是零和自由的。特别地，我们所熟知的整数环，有理数域，实数域与复数域都是半环（实际上，它们都是特殊的环）。

9. 又如，每一个布尔代数 ，模糊代数 ，每一个有界分配格 以及任何坡代数 都是半环[2]（实际上，它们均为加法幂等半环，但它们不是环）。再如，max-plus 代数 和min-plus代数 都是交换半环，它们均为加法幂等半环[4, 19]，但它们不是环。另外，所有非负实数组成之集对于普通的加法与乘法构成一个半环 称为非负实数半环。显然，非负实数半环既不是加法幂等半环也不是环。

10. 称为加法可逆 的，如果存在 ，使得 ， 称为 的负元。 设 表示半环 中所有 设 是一个半环， 。 加法可逆元构成的集合。 显然， 当且 仅当 是零和自由半环，而 当且 仅当 是一个环。 设 是一个交换半环， 表示 上所有 矩阵组成之集。 对于任意 用 表示 中 处的元素， 并记 的

11. 设 ， .定义 转置为 . 设 ， 是一个交换半环， 表示 中所有偶置换构成的集合， 表示 中所有奇置换构成的集合。 定义 的 正行列式 和负行列式 如下

12. 当 是一个交换环时， 显然 。 设 是一个半环， 上的一个映射 称为 上的一个 -函数如果对于任意 均有 显然

13. 注1：任何半环 至少有一个 -函数，因为 上的恒等映射： 是 上的一个 -函数。如果 是一个交换环，那么映射： 是 上的一个 -函数。 定义2. 设 是一个交换半环， 是 上的 一个 -函数， 。 定义 的 -行列式 如下 其中 是集合 中所有置换组成的集合， 表示置换 的逆序数。

14. 定义为 是正整数。 ，所以 因为 注2：如果 是一个交换环，那么映射： -函数。此时 是 上的一个 注3： 对于任何交换半环 ，恒等映射： R上的一个 -函数。此时 是

15. 三、基本结论 1. 定理1：对于任何 ，我们有 (1) 如果矩阵B是由A的某一行（或一列）乘以 中的一个元素 而得到，那么 (2) 如果A的第i行（或第i列）是矩阵B的第i行（或第i列）与矩阵C的第i行（或第i列）的和，而它们其他的行（或列）都相同，那么

16. (3) (4) 如果矩阵B是由A交换两行（或两列）而得到，那么 (5) 如果A的某两行（或两列）相同，那么 (6) 如果矩阵B是由A的第i行乘以 中的 一个元素 加到A的第j行而得到， 那么 其中 表示由A的第i行代替A的第j行而得到的矩阵。

17. 2.定理2：设 ，那么对于任何 这里 表示A中划去第i行第j行所得到的 阶矩阵。 • 3. 定理3：对于任何 ，存在 使得

18. 当且仅当 是一个 4.定理4：设 是一个交换半环， 是 上的一个 -函数， ,那么对于任何 交换环并且对于任何 均有 设 是一个交换半环， 是 上的一个 -函数， 定义 的 -伴随矩阵如下

19. 5.定理5：对于任何 ，我们有 （1） （2） 6. 定理6: 对于任何 ，存在 ，使得 这里 如果 是一个交换环，那么映射： 是 上的一个 -函数。此时 由定理6,我们有

20. 7.定理7：对于任何 ，我们有 （1） 其中 表示由A的第i列代替A的第j列 而得到的矩阵。 推论1：如果 是一个交换环，那么对于任何 ,均有 （2）存在 ，使得

21. 由定理7，我们有 推论2：如果 是一个交换环，那么对于任何 ，均有 （1） （2）

22. 四 、两个应用 1.交换半环上可逆矩阵的一个等价刻画。 设 是一个半环， 。 称为可逆的，果存在 ，使得 。 称为 的逆元，记为 设 ， 称为可逆的， 如果存在 ，使得 。 称为 的逆矩阵，记为 。

23. 定理8：设 是一个交换半环， 是 上的一个 -函数满足对于任意 ，均有 ，那么，对于任何 （1） 可逆当且仅当 在 中可逆并且对于任何 ，均有 在 中加法可逆。 （2） 可逆当且仅当 在 中可逆并且对于任何 ，均有 在 中加法可逆。 如果 可逆，那么

24. 由定理8，我们有 推论3：如果 是一个交换环，那么对于任何 ， 可逆当且仅当 在 中可逆,特别地,当 是一个域(数域)时, 可逆当且仅当 。如果 可逆，那么

25. 2.交换半环上的Cramer法则 定理9：设 是一个交换半环， 是 上的一个 -函数满足对于任意 ，均有 ， ， 是 上的 维列向量。如果 可逆，那么矩阵方程 有唯一解 其中 ， ， 是由 中第 列用向量 代替所得到的矩阵。

26. 由定理9，我们有 推论4：设 是一个交换环， ， 是 上的 维列向量。如果 可逆，那么矩阵方程 有唯一解 其中 ， ， 是由 中第 列用向量 代替所得到的矩阵。

27. 五、意义与价值 1.理论意义：统一了行列式与积和式，方法需要创新。 2.应用价值：在许多应用学科领域（例如：并行计算机系统、形式语言理论、最优化理论、自动化理论、离散动力系统、流程图模式分析以及开关电路分析等）涉及到的代数系统除了环（或域）之外，还涉及大量的其他类型的半环，如布尔代数，模糊代数，分配格，坡代数格，max-plus 代数和min-plus代数以及非负实数半环等。

28. 3.教学参考：对于本科生，研究生论文的选题具有一定的参考价值。3.教学参考：对于本科生，研究生论文的选题具有一定的参考价值。 六、参考文献 • [1] J. P. M. Binet, Me moire sur un systµeme de formules analytiques, et leur application µa des considerations geometriques, J. Ec. Polyt.9 (1812)280-302 • [2] Z. Q. Cao, K. H. Kim, F.W.Roush, Incline Algebra andApplications, John Wiley, New York, 1984

29. [3] A. L. Cauchy, Memoire sur les fonctions qui ne peuvent obtenir que deux valeurs egales et de signes contraires par suite des traspositions operees entre les variables qu'elles renferment, J. Ec. Polyt. 10(1812) 29-11220 • [4] R. A. Cuninghame-Green, Minimax algebra, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems 166, Springer-Verlag, Berlin, 1979 • [5] J. S. Duan, The transitive closure, convergence of powers and adjoint of generalized fuzzy matrices. Fuzzy Sets and Systems 145(2004)301-311

30. [6] J. S. Golan, Semirings and Their Applications, Kluwer Academic Publishers,1999 • [7] S. C. Han, H. X. Li, Invertible incline matrices and Cramer's rule over inclines, Linear Algebra and its Applications 389(2004)121-138 • [8] Y. Huang, Y. J. Tan, A problem on incline matrices, J. of Fuzhou University 37(2009)12-18 (in Chinese) • [9] J. B. Kim, A. Baartmans, N. S. Sahadin, Determinant theory for fuzzy matrices, Fuzzy Sets and Systems 29(1989)349-356.

31. [10] B. R. Mcdonald, Linear Algebra over Commutative Rings, Marcel Dekker, INC. New York,1984. • [11] H. Minc, Permanents, Addison-Wesley Publishing Company, Massachusetts, U. S. A. 1978. • [12] P. L. Poplin, R. E. Hartwig, Determinantal identities over commutative semirings, Linear Algebra and its Applications 387(2004)99-132 • [13] M. Z. Ragab, E. G. Emam, The determinant and adjoint of a square fuzzy matrix, Fuzzy Sets and Systems 61(1994)297-307

32. [14] Y. J. Tan, On invertible matrices over antirings, Linear Algebra and its Applications 423(2007)428-444 • [15] Y. J. Tan, On invertible matrices over commutative semirings, Linear and Multilinear Algebra 61(2013)710-714 • [16] Z. J. Tian, K. M. Yan, D. G. Li, H. Zhao, Determinant of matrices over completely distributive lattices, J. Gansu Univ. Technol. 28 (4) (2002) 115-118 (in Chinese)

33. [17] E. M. Vechtomov, Two general structure theorems on submodules, Abelian Groups and Modules (in Russion), Tomsk State University, Tomsk, No15(2000)17-23 • [18] K. L. Zhang, Determinant theory for D01-lattices, Fuzzy Sets and Systems 62(1994)347-353 • [19] U. Zimmermann, Linear and combinatorial optimization in ordered algebraic structures, Annals of Discrete Mathematics, Vol. 10, North Holland, 1981.2

34. Thankyou!