O BIČNE DIFERENC I JALNE JEDNAČINE

1. OBIČNE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE

2. - Košijev problem (1) Teorema (o jedinstvenosti K. p.): Neka je funkcija neprekidna u oblasti , gde su a, b>0. Dalje, neka su ispunjeni uslovi: a) b) Tada postoji tačno jedno rešenje diferencijalne jednačine (1) koje je definisano i neprekidno za sve , pri čemu je . PIKAROVA METODA Spada u analitičke metode nalaženja približnog rešenja diferencijalne jednačine (1). Ovde je diferencijalna jednačina ekvivalentna integralnoj jednačini

3. Poslednja jednačina je oblika (2) pa se za njeno rešavanje može primeniti metoda uzastopnih aproksimacija. - niz rešenja jednačine (2) za koji se može pokazati da konvergira ka rešenju Košijevog problema. Teorema ( o oceni greške ): Neka su ispunjeni uslovi teoreme o jednistvenosti rešenja Košijevog problema i neka je y(x) rešenje Košijevog poblema i niz definisan formulom Tada za svako važi:

4. TEJLOROVA METODA - Košijev problem (1) Ideja metode je da se primeni Tejlorov razvoj na rešenje diferencijalne jednačine (1) u okolini neke izabrane tačke. Neka je niz tačaka definisan sa , pri čemu je h>0. Tada primenom Tejlorove formule dobijamo Uvodimo sledeće oznake: tj. u opštem slučaju: Neka označava vrednost rešenja y u tački , a neka označava aproksimaciju te vrednosti Tejlorovim polinomom u okolini tačke . Tada je (2)

5. Tejlorova metoda reda p sastoji se u primeni prethodne aproksimacije. Ako se uvede oznaka onda se relacija (2) može napisati u obliku Izborom vrednosti za p dobijaju se razne numeričke metode za rešavanje Košijevog problema. OJLEROVA METODA Ova metoda je specijalan slučaj Tejlorove metode kada je p=1. Tada je . Neka je niz tačaka definisan tačkom i korakom h na sledeći način Primenom Tejlorove metode polazeći od početnog uslova možemo formirati niz na sledeći način

6. Grafička interpretacija Greška metode na jednom koraku je oblika

7. METODE RUNGE – KUTA Ideja ovih metoda je da se u Tejlorovoj metodi izraz zameni jednostavnijim tj. vrednost se izračunava na sledeći način (1) pri čemu je Neodređeni koeficijenti se određuju iz jednakosti (2) tj. iz jednačina koji se dobija izjednačavanjem koeficijenata uz iste stepene h na levoj i desnoj strani. Izborom p odnosno r dobijaju se metode Runge – Kuta različitog reda.

8. - METODE RUNGE – KUTA 2. REDA Dobija se za p=2 i r=2. Prema (1) je pri čemu je Razvijanjem K2(n)primenom Tejlorove formule dobija se tj. Iz prethodne relacije i (2) izjednačavanjem odgovarajućih koeficijenata uz hk, dobija se sistem jednačina (3) Sistem (3) sastoji se iz tri jednačine sa četiri nepoznate, tako da ima beskonačno rešenja. Neka od njih su:

9. a) Tada (1) ima oblik Ova metoda je poznata kao modifikovana Ojlerova metoda. b) Tada (1) ima oblik Ova metoda je poznata kao poboljšana Ojlerova metoda. Greška na jednom koraku kod ovih metoda je .

10. - METODE RUNGE – KUTA 4. REDA Dobija se za p=4 i r=4 tako da je pri čemu je Slično kao kod metode drugog reda dobija se sistem jednačina, po neodređenim koeficijentima, koji ima beskonačno mnogo rešenja. Standardna metoda Runge – Kuta četvrtog reda dobija se za pa je

11. Greška metode na svakom koraku je . pri čemu je