第二章线性系统的数学模型

第二章线性系统的数学模型 §2-1线性系统的输入-输出时间函数描述 §2-2线性系统的输入-输出传递函数描述 §2-3非线性数学模型的线性化 §2-4典型环节的数学模型 §2-5方框图 §2-6信号流图

§2-1 线性系统的输入-输出时间函数描述 一、线性系统输入-输出微分方程描述的建立（机理分析法）例1 机械位移系统

例2 R-L-C 系统

微分方程的一般形式： 其中 n＞＝m

二、脉冲响应（实验辨识法） 描述线性定常系统的微分方程为：实验辨识方法的理论依据：假设线性系统是定常的，初始条件为零或初始状态为零，其响应和输入之间满足齐次和线性关系，即： C(t)=H(t)r(t)

给定输入是单位脉冲函数时实验辨识基本原理 脉冲函数的表达式为：，令 A为脉冲面积或脉冲强度。。脉冲强度A=1时的脉冲函数记为，令并求取极限，则称为单位脉冲函数

零初始条件的线性定常系统的输入δ(t)，得到的输出称为系统的单位脉冲响应，也称为权函数，记作g(t)。零初始条件的线性定常系统的输入δ(t)，得到的输出称为系统的单位脉冲响应，也称为权函数，记作g(t)。

§2.2 线性系统的输入—输出传递函数描述 为什么采用传递函数来描述？微分方程描述不直观、求解困难。　　线性常微分方程经过拉氏变换，即可得到系统在复数域中的数学模型，称之为传递函数。　　将单位脉冲响应g(t)的曲线转换成相应的传递函数。表示其输入输出关系。

R(s)输入r(t)的像函数，即输入函数的拉氏变换；R(s)输入r(t)的像函数，即输入函数的拉氏变换； C(s)输出c(t)的像函数，即输出函数的拉氏变换。传递函数—— 　　初始条件为零的线性定常系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。几点说明： • 只适用于线性定常系统。 • 是系统的动态数学模型。 • 分母的阶数一定高于分子的阶数。(为什么？）有惯性元件和受到功率的限制

一个传递函数只能表示一个输入量对一个输出量的关系。单输入-单输出系统，若多输入多输出要采用传递函数矩阵。一个传递函数只能表示一个输入量对一个输出量的关系。单输入-单输出系统，若多输入多输出要采用传递函数矩阵。 • 传递函数可以表示成有理分式，也可以表示成零极点表示的形式。也可以表示成时间常数的形式相似原理: 有相同的数学模型，有相同的运动形态

§2-3 非线性数学模型的线性化 非线性方程难于求解，用线性数学模型近似表示非线性数学模型。在一定工作范围内进行线性化处理。将非线性函数在平衡点附近展成泰勒级数，并忽略高次项。例：直流发电机 X轴表示励磁电流 Y轴表示输出电势由于存在磁路饱和，y和x呈非线性关系 y=f(x) 可以在(x0,y0)附近泰勒级数

忽略高次项，然后用增量表示 经上述处理后，就变成了线性方程。

上述方法称为小偏差线性化方法。它是基于这样一种假设：输入量和输出量只是在静态工作点附近作微小变化 。几点注意： (1)只适用于不太严重的非线性系统，其非线性函数是可以利用泰勒级数展开的（非本质非线性）。 (2)实际运行情况是在某个平衡点(即静态工作点)附近，且变量只能在小范围内变化。 (3)不同静态工作点得到的方程是不同的。 (4)对于严重的非线性，例如继电特性，因为处处不满足泰勒级数展开的条件，故不能做线性化处理。 (5)线性化后得到的是增量微分方程。

§2-4 典型环节的数学模型 控制系统数学模型的处理方法：使用简单的典型的环节模型，通过串、并联组成复杂系统。比例环节如：刚性杠杆(水位控制中的杠杆)、理想运放、上述线性化励磁环节特征：输入输出成比例，不失真，无延迟

惯性环节 如：R-C、R-L、励磁环节特征：输出不能立即跟随输入的变化 --惯性环节时间常数。越大，响应越慢。 R-C串联电路与直流电压接通，电容上电压建立过程。

积分环节 微分方程如：转角是转速的积分，T—积分时间常数， T越大，变化越慢 • 输入不为零则输出无限增加，一旦输入为零，输出不回零，而是保持在输入为零时刻的值（记忆）。应用：如电动阀门，使水位控制系统实现无差调节；但，对系统稳定性不利

微分环节 微分方程特征：输出与输入的变化成正比（预测功能）实际：一阶微分环节带惯性微分环节

振荡环节 1>ζ>0 • 如：R-L-C 、电枢控制直流电机 • 特征：具有一般系统的特征，输出会振荡

G（s）= 纯滞后环节当τ很小时 • 如：传送带、间隙等 • 特征：输出是输入的延迟

§2-5 方框图 • 一、结构图的基本概念把方块图和传递函数结合起来。称为动态结构图。是描述系统各组成元件之间信号传递关系的一种数学图形。结构图给出了信息传递的方向又给出了输入输出的定量关系。即C(s)=R(s)G(s)。

二、结构图的组成和建立 由四种基本图形符号组成。（1）函数方块 (2)信号线 (3)分支点(引出点) （4)综合点(比较点或相加点)

2．系统结构图的建立

三方框图变换 常用的结构图变换方法有二：一是环节的合并，二是信号分支点或相加点的移动。原则是：变换前、后的数学关系(输入量、输出量）保持不变。 1、环节串联 C(s)=G2(s)*C1(s) =G2(s)* G1(s)* R(s) G(s)=G1(s)*G2(s)

负载效应问题 上图中，后一个网络的输入接到前一个的输出，由于存在负载效应，就不能进行上述的变换，即

请注意这里 的符号！ . 2、环节并联 G(s)=G1(s)+G2(s) 3、反馈联接 C(s)=G1(s)*[R(s) ± G2(s)*C(s)] 整理得

4、引出点的移动 始终保持输出不变

5、相加点的移动 同样，始终保持输出不变

G4(s )输入不变 四、方框图简化引出点交换引出点前移下一步怎样移？

G(s) 按前移做—变为无交叉的两部分：反馈相加

§2-6 信号流图 一、基本概念是一种将线性代数方程用图形表示的方法。 • 支路有三个特点： • 　联接有因果关系的节点； • 　有方向性； • 　有加权性。

二、术语和定义 节点：表示变量或信号的点。支路：起源于一个节点，终止于另一个节点，这两个节点之　　　间不包含或经过第三个节点。出支路：离开节点的支路。入支路：指向节点的支路。源(节)点：只有出支路的节点，对应于自变量或外部输入，如x0。汇节点：只有入支路的节点，对应于因变量，如x6。

混合节点：节点既连接入支路又连接出支路。 通道：又称路径，从一个节点出发，沿着支路的箭头方向相继经过多个节点的支路。开通道：如果通道从某节点开始终止在另一节点上，而且通道中每个节点只经过一次，则该通道称为开通道。闭通道：如果通道的终点就是通道的始点，并且通道中每个节点只经过一次，该通道称为闭通道或反馈环、回环、回路等。如果从一个节点开始，只经过一个支路又回到该节点的，称为自回环。

前向通道：在开通道中，从源节点开始到汇节点终止，而且每个节点只通过一次的通道，称为前向通道。前向通道：在开通道中，从源节点开始到汇节点终止，而且每个节点只通过一次的通道，称为前向通道。不接触回环：如果一些回环没有任何公共节点，就称它们为不接触回环。支路传输：两个节点之间的增益。通道传输或通道增益：沿通道各支路传输的乘积。回环传输或回环增益：闭通道中各支路传输的乘积。三、信号流图的简化

串联支路的合并 并联支路的合并混合节点的消除回路的消除自回路的消除

四、梅逊(Mason)公式及其应用 梅逊公式为： T—从源节点到任何节点的传输； Pk—第k条前向通道的传输； Δ—信号流图的特征式 ΣL1—为所有不同回环的传输之和； ΣL2—为任何两个不互不接触的回环传输的乘积之和； ΣL3—为任何三个不互不接触的回环传输的乘积之和； ΣLm—为任何m个不互不接触的回环传输的乘积之和； Δk—为余子式，即从Δ中除去与第k条前向通道Pk相接触的回环的回路增益后余下的部的特征式。

例1 6 1 2 3 4 5 回环6个： L1=ab+cd+ef+gh+ij+kfdb 两个互不接触回环7对： L2=abef+abgh+abij+cdgh+cdij+efij+kfdbij 1-3 1-4 1-5 2-4 2-5 3-5 5-6 三个互不接触回环1组： L3=ab ef ij ⊿=1-L1+L2-L3

acegi+kgi(1-cd) 总传递函数＝ 1-L1+L2-L3 L1=ab+cd+ef+gh+ij+kfdb L2=abef+abgh+abij+cdgh+cdij+efij+kfdbij L3=abefij

例2 前向通道： P1＝G1G2G3G4 ⊿1＝1 互有接触回环3个： (-G3G4G5)、(-G2G3G6)、(-G1G2G3G4G7）

五、结构图与信流图的转化 系统只有一个回路增益为-G2G3H 两条前向通道：其余子式其余子式

回路增益： L1=-G1G2G3G4H2 L2=-G1G6H2 L3=-G3H1 L2和L3互不接触，所以特征式为： P1=G1G2G3G4，三条前向通道： P2=G3G4G5 P3=G1G6

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