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◆ 证明： ①设 α ＝∑ｘ i α i , 则 ＜ α,α ＞＝＜ α,∑ ｘ i α i ＞＝∑ｘ i ＜ α,α i ＞＝０ ,∴α ＝０ .

▲ Ex .2 设 α 1 ， …… ， α n 为欧氏空间Ｖ的一个基 , 证明 : ① 如果 α∈ Ｖ , 且 < α,α i > ＝０ , （ｉ＝１ , … , ｎ） , 则 α ＝０． ②如果 α,β∈ Ｖ , 且对任意 γ∈ Ｖ , 都有 < α,γ> ＝ < β,γ>, 则 α ＝ β. ◆ 证明： ①设 α ＝∑ｘ i α i , 则 ＜ α,α ＞＝＜ α,∑ ｘ i α i ＞＝∑ｘ i ＜ α,α i ＞＝０ ,∴α ＝０ .

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◆ 证明： ①设 α ＝∑ｘ i α i , 则 ＜ α,α ＞＝＜ α,∑ ｘ i α i ＞＝∑ｘ i ＜ α,α i ＞＝０ ,∴α ＝０ .

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Presentation Transcript

  1. ▲Ex.2 设α1，……，αn为欧氏空间Ｖ的一个基,证明: ①如果α∈Ｖ,且< α,αi >＝０,（ｉ＝１,…,ｎ）, 则α＝０． ②如果α,β∈Ｖ,且对任意γ∈Ｖ,都有< α,γ>＝< β,γ>,则α＝β.

  2. ◆证明： ①设α＝∑ｘiαi,则 ＜α,α＞＝＜α,∑ｘiαi＞＝∑ｘi＜α,αi＞＝０,∴α＝０. ②∵＜α－β，γ＞＝＜α，γ＞－＜β，γ＞＝０， 又γ是任意的,∴α－β＝０，α＝β．

  3. ▲Ex.3 设Ｕ,Ｗ为ｎ维欧氏空间Ｖ的子空间,ｄｉｍＵ＜ｄｉｍＷ.证明: Ｗ中至少有一非零向量与Ｕ正交. ◆证明: 若Ｗ∩Ｕ⊥＝｛０｝,则 ｄｉｍＷ＋ｄｉｍＵ⊥ ＝ ｄｉｍ（Ｗ＋Ｕ⊥）≤ｎ, 又ｄｉｍＵ＋ｄｉｍＵ⊥＝ｎ, ∴ｄｉｍＷ≤ｄｉｍＵ,矛盾.

  4. ▲Ex.4 设E为ｎ阶单位矩阵,Ｘ为Ｒ上的ｎ维列向量,Ｈ＝E－２ＸＸ＇, 若Ｘ＇Ｘ＝E,求证Ｈ是正交对称矩阵. ◆证明:∵Ｈ＇＝（E－２ＸＸ＇） ＇ ＝E－２ＸＸ＇ ＝Ｈ, ∴Ｈ对称矩阵. ∵Ｘ＇Ｘ＝E,∴（ＸＸ＇）2＝E, ∴Ｈ＇Ｈ＝ＨＨ＇＝Ｈ2 ＝(E－２ＸＸ＇）2 ＝E＋４（ＸＸ＇）2－４ＸＸ＇ ＝E, ∴E是正交矩阵.

  5. ▲Ex.5 设Ａ,Ｂ是ｎ阶正交矩阵,证明ＡＢ也是正交矩阵. ◆证明： ∵Ａ-1＝Ａ＇ ， Ｂ-1＝Ｂ＇ ， ∴（ＡＢ）-1＝Ｂ＇Ａ＇ ＝（ＡＢ） ＇, 即ＡＢ为正交矩阵.

  6. ▲Ex.6 证明：两个对称变换σ与τ的积στ也是对称变换的充要条件是 στ＝τσ.

  7. ◆证明:必要性：对于任意的ξ,η, ∵σ,τ,στ为对称变换, ∴(στ（ξ）,η)＝( ξ,στ（η）), ( στ（ξ）,η)＝(τ（ξ）,σ（η）)＝(ξ,τσ（η）), 即对于任意的ξ,(ξ,στ（η）)＝(ξ,τσ（η）), ∴στ（η）＝τσ（η）,但η是任意的,∴στ＝τσ．  充分性:对于任意的ξ,η, ∵στ＝τσ, σ,τ为对称变换, ∴(στ（ξ ）,η)＝(τ（ξ）,σ（η）) ＝(ξ,τσ（η）)＝(ξ,στ（η）), ∴στ为对称变换

  8. ▲Ex.7 证明:欧氏空间的正交变换的特征根只能为±１. ◆证: 设λ为σ的特征根,则λ为实数且存在ξ≠０,使得σ（ξ）＝λξ, ∵σ为正交变换,∴(ξ,ξ)＝(σ（ξ）,σ（ξ）) ＝(λξ,λξ)＝λ2(ξ,ξ). ∵ξ≠０,∴λ2＝１,λ＝±１.

  9. ▲Ex.8 设Ａ为ｎ阶实矩阵,Ｕ为Ａ的列空间,Ｗ为Ａ＇Ｘ＝０的解空间, 则Ｗ＝Ｕ⊥.

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