Геометрия

1. Геометрия Перпендикулярность прямых и плоскостей

2. Перпендикулярные прямые в пространстве с Две прямые в пространстве называются взаимно перпендикулярными, если угол между ними равен 90°. Перпендикулярность прямых а и bобозначается так: аb. b а ß Рис. 1 Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися. На рис. 1 перпендикулярные прямые аи b пересекаются, а перпендикулярные прямые а и с скрещивающиеся.

3. Лемма Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. a b с М А С α Рис. 2

4. Док-во: Пусть а ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ ‌ b и а с. Докажем, что b c. Через произвольную точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым а и с (рис. 2). Так как а с, то <АМС=90°. По условию b ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ ‌ a, а по построению а ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ ‌ МА, поэтому b ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ ‌ МА. Итак, прямые b и с параллельны соответственно прямым МА и МС, угол между которыми равен 90 °. Это означает, что угол между прямыми b и с также равен 90 °, т.е. b c.Лемма доказана.

5. а Рис. 3 ß Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости Определение Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. Перпендикулярность прямой а и плоскости ßобозначается так: а ß. Говорят также, что плоскость ß перпендикулярна к прямой а. На рис. 3 изображена прямая а, перпендикулярная плоскости ß.

6. Теорема Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. а а1 Рис. 4 Дано: х α Прямые а, а1, пл. α а α Доказать: а1α

7. Док-во: Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости α (рис. 4). Так как а α, то а х. По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей а1 х. Таким образом, прямая а1 перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α, т.е. а1α. Теорема доказана

8. a a А Р l О Q q p m L α В Признак перендикулярности прямой и плоскости Теорема Если прямая перпендикулярна к двумпересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. Дано: Пл. α, пр. а р, а q, р∩q=O Доказать: а α

9. Док-во: 1) Проведем через точку О прямую l. l ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ ‌ m 2) Отметим на прямой а точки А, В так как ОА=ОВ 3) Проведем в плоскости α прямую, пересекающую прямые p, g, l в точках P, Q, L 4) Прямые p и g – сред. перпенд. к отрезку АВ, то АР=ВР и АQ=BQ => =>∆APQ= ∆BPQ (по трем сторонам) =><APQ=<BPQ 5) Рассм. ∆APL и ∆BPL: АР=ВР PL – общ.ст. => AL=BL => <APL=<BPL => <ABL – равнобедренный=> =>l а, т.к. l ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ ‌ m и l a, то ma (по лемме) Прямая а к любой прямой в плоск. , т.е. а α.