第 5 章 地下水的 稳定 渗流运动

1. 第5章 地下水的稳定渗流运动 本书只讨论液态重力地下水的运动。 5.1 地下水运动特征和渗透基本规律 达西定律: K—渗透系数； J—水力坡度； — 渗透流速。 当Re<1～10时，k≈C，故曲线基本呈直线，此时地下水运动为层流运动，服从达西定律。当Re>10时，曲线偏离直线，此时地下水运动仍可为层流，但不服从达西定律。 天然情况下，绝大多数地下水运动是服从达西定律的。 5.1.2 非线性渗透定律： —流态指数，1≤m≤2

2. 5.2平面渗流问题的流网解法 • 渗流场内的水头及流向是空间的连续函数，因此可作出一 系列水头值不同的等水头线（面）和一系列流线（面），由 一系列等水头线（面）与流线（面）所组成的网格称为流网。 在各向同性介质中，地下水必定沿着水头变化最大的方向 即垂直于等水头线的方向运动，因此，流线与等水头线构成 正交网格。通常把流网绘成曲边正方形。 位于同一等势线上的各测压管中 的水面一样高，相邻等势线间 的势差相等。 1.流线 2.等水头线 3.断层 4.抽水井

3. 5.2.2应用流网求解渗流 • 已知渗流上、下游水头h1和h2，水头差H= h1 - h2， 流网共有n+1条等势线，则两相邻等势线间的水头 ， 流网共有m+1条流线 。见图5.2。 从上游算起的第i条等势线上的水头为hi，则 设从水头基准线（注：以AB线为基准面）向下到计算点的垂 直距离为y，则作用在该点的渗透压强为p=rg(hi+y)，式中hi为 该点的水头。 作用在地下轮廓上的垂直渗透总压力为 ，式中 为渗透压强水头分布图的面积，b为建筑物宽度。总压力作用线 通过该面积的形心。

4. 渗透流速与水力坡度 • 渗流区内各点的水力坡度可从下式求出： ， • 式中ΔH为该处网格两边相邻等势线的水头差 ，Δs 为该网格内流线长度，渗流区内各点的渗透流速为 渗流量: 和Δsi可从流网图中量出。 取各网格的边长比例为常数、并等于1，则： 自己看P52[例5.2]。

5. 5.3 地下水向完整单井的稳定渗流运动 • 提取地下水的工程设施称为取水构筑物。当取水构筑物 中地下水的水位和抽出的水量都保持不变，这时水流称为稳 定渗流运动。 5.3.1地下水流向潜水完整井 根据裘布依的理论，当在潜水完整井中进行长时间的抽 水后，井中的动水位和出水量都会达到稳定状态，同时在抽 水井周围亦会形成有规律的稳定的降落漏斗，漏斗的半径R 称为影响半径，井中的水面下降值s称为降深，从井中抽出 的水量称单井出水量。 潜水完整井稳定流计算公式（裘布依公式）的推导假设条件：

6. 1.天然水力坡度等于零，抽水时为了用流线倾角的正切代替正弦，则井附近的水力坡度不大于1/4；1.天然水力坡度等于零，抽水时为了用流线倾角的正切代替正弦，则井附近的水力坡度不大于1/4； • 2.含水层是均质各向同性的，含水层的底板是隔水的； • 3.抽水时影响半径的范围内无渗入、无蒸发，每个过水断面上流量不变；在影响半径范围以外的地方流量等于零；在影响半径的圆周上为定水头边界； • 4.抽水井内及附近都是二维流（抽水井内不同深度处的水头降低是相同的）。 • 推导公式的方法是从达西公式开始的，因为有：Q=kJA • 假设地下水向潜水完整井的 • 流动仍属缓变流，井边附近 • 的水力坡度不大于1/4；这样 • 就可使那些弯曲的过水断面 • 近似地被看作直面，如把 • B—B曲面近似地用B—B/直 • 面来代替，地下水的过水断 • 面就是圆柱体的侧面积： • A=2pxy

7. 从图5.5亦可看出：地下水向潜水完整井的流动过程中水力坡度J是个变数，但任意断面处的水力坡度J均可表示为：J=dy/dx从图5.5亦可看出：地下水向潜水完整井的流动过程中水力坡度J是个变数，但任意断面处的水力坡度J均可表示为：J=dy/dx • 故地下水通过任意过水断面B—B/的运动方程为： 将上式分离变量并积分： A B 因 A B 地下水向潜水完整井运动规律的方程式，亦称裘布依公式。

8. 公式表明潜水完整井的出水量Q与井内水位降深s0的二次方成正比，这就决定了Q与s0间的抛物线关系。即随着s0值的增大，Q的增加值将越来越小。公式表明潜水完整井的出水量Q与井内水位降深s0的二次方成正比，这就决定了Q与s0间的抛物线关系。即随着s0值的增大，Q的增加值将越来越小。 5.3.2地下水流向承压水完整井 根据裘布依稳定流理论，在承压完整 井中抽水时，经过一个相当长的时段， 从井内抽出来的水量和井内的水头降 落同样均能达到稳定状态，这时在井 壁周围含水层内就会形成抽水影响范 围，这种影响范围可以由承压含水层 中的水头的变化表示出来，承压水 头线的变化具有降落漏斗的形状，

9. 地下水通过任意过水断面的流量为 • A =2pxM；i=dy/dx 因h0=H－s0 反映地下水向承压完整井运动规律的方程式，亦称裘布依公式。

10. Q与s0间为直线关系 5.3.3裘布依（Dupuit）公式的讨论 1.抽水井流量与水位降深的关系 这里所讨论的降深，仅仅考虑地下水在含水层中流动的结果。 但实际上降深是多种原因造成的水头损失的叠加。另外主要还有： （2）由于水井施工时泥浆堵塞井周围的含水层，增加了水流阻 力所造成的水头损失。 （3）水流通过过滤器孔眼时所产生的水头损失。 （4）水流在滤水管内流动时的水头损失。 （5）水流在井管内向上流动至水泵吸水口的沿程水头损失。 这些损失，有些与流量的一次方成正比，有的与流量的二次方成 正比。 由于上述原因，承压水的出水量Q与s的线性关系也是不多见的。

11. 2.抽水井流量与井径的关系 • 由地下水向潜水完整井和承压完整井运动规律的方程式可看出流量Q与井的半径r之间只是对数关系，即井的半径增加一倍，流量只增加10%左右；井半径增加10倍，流量亦只增加40%左右。Q与r的这种对数关系已被大量事实所否定，中外许多水文地质工作者曾作过大量的试验，其结果大都表明当井半径r增大之后，流量的实际增加要比用（Dupuit）公式计算结果大的多。 3.水跃对裘布依（Dupuit）公式 计算结果的影响 潜水井抽水时，只有当水位降低非 常小时，井内水位才与井壁水位接 近一致；而当水位降低较大时，井 内水位就明显低于井壁水位， 潜水井水跃示意图 见右图，此种现象称为水跃（渗出面）

12. Dupuit降落曲线方程没有考虑水跃的存在，因此在抽水井附近，实际曲线将高于Dupuit理论曲线。随着距抽水井的距离的加大，等水头线变直，流速的垂直分量变小，理论曲线与实际曲线才渐趋一致。Dupuit降落曲线方程没有考虑水跃的存在，因此在抽水井附近，实际曲线将高于Dupuit理论曲线。随着距抽水井的距离的加大，等水头线变直，流速的垂直分量变小，理论曲线与实际曲线才渐趋一致。 4.潜水井的最大流量问题 当s0=H时，h0=0；此时井的流量为最大。这在实际上是不可能的， 在理论上也是不合理的。因为当h0=0，则过水断面亦等于零，就 不应当有水流入井中，这种理论上的自相矛盾亦反映了裘布依公 式是不很严密的。

13. 这种矛盾的产生是由于裘布依推导潜水井公式时，忽略了渗透速度的垂直分量，假定水位降深不大，水力坡度采用水头差与渗透路径的水平投影之比，即J=dh/dl=tgq，见右图；而严格说来，水力坡度应当是水头差与渗透路径之比，即J=dh/dl=sinq。这种矛盾的产生是由于裘布依推导潜水井公式时，忽略了渗透速度的垂直分量，假定水位降深不大，水力坡度采用水头差与渗透路径的水平投影之比，即J=dh/dl=tgq，见右图；而严格说来，水力坡度应当是水头差与渗透路径之比，即J=dh/dl=sinq。 • 用thq代替sinq，应q <150， • 这种代替产生的误差是允 • 许的。但当降深加大，渗 • 透速度的垂直分量也相应 • 加大，此时就会造成较大 • 的误差。这就是产生上述 • 矛盾的原因。所以裘布依 • （Dupuit）公式适用于潜水 • 井的特定条件是地下水位降 • 深不能太大。

14. 5.3.4裘布依（Dupuit）型单井稳定流公式的应用范围5.3.4裘布依（Dupuit）型单井稳定流公式的应用范围 • 裘布依（Dupuit）型单井 • 稳定井流公式的应用范围是： • 1.完全满足裘布依公式假定 • 条件的应当是圆形海岛中心 • 的一口井，此时抽水可以达 • 到完全稳定，影响半径代表 • 下降漏斗的实际影响范围， • 如右图所示，此种情况在 • 自然界中很少见。 2.在有充分就地补给（有定水头）的情况下，由于补给充分、 周转快，年度或跨年度调节作用强，储存量的消耗不明显，这 样就容易在经过一定的开采时间之后形成新的动态平衡，所以 亦可用裘布依型公式直接进行水文地质计算，并能得到较准确 的结果。

15. 3.当抽水井是建在无充分就地补给（无定水头）广阔分布3.当抽水井是建在无充分就地补给（无定水头）广阔分布 的含水层之中，例如开采大面积承压水，由于补给途径长、周 转慢，存在多年调节作用，消耗储存量的时间很长，因而不容 易形成新的动态平衡过程，抽水是在非稳定流条件下进行。这种 条件下严格讲裘布依公式是不适用的，但如果进行长时间的 抽水，并在抽水井附近设有观测井，若观测井中的水位降深s （或△h2）值在s（或△h2）lgr曲线上能连成直线，则可根据 观测井的数据用裘布依公式来计算含水层的渗透系数。 4.在取水量远小于补给量的地区，可以先用上述方法求得含水层 的渗透系数，然后再用裘布依型公式大致推测在不同取水量的情 况下井内及附近的地下水位下降值。 裘布依型公式的应用除了符合上述条件外，还应考虑下列不等式 1.6M≤r≤0.178R

16. 在厚度大的含水层中常常建造不完整井，因为并不是井的过滤器在厚度大的含水层中常常建造不完整井，因为并不是井的过滤器 越长，井的出水量就越大。如果建造过滤器长的完整井，则耗费 了大量资金，并不能获得出水量大的效果。有时在厚度不大的含 水层中，工程本身只需用不完整井就能满足。因此实际工作中， 不完整井经常会遇到的。 不完整井按照井的进水部分所在位置分：井底进水、井壁进水、 井底井壁同时进水三大类。 地下水向不完整井渗流时的水流特征和向完整井的不同。以承压 井为例，完整井中地下水向井渗流时为平面径向流，流线是互相 平行的直线；不完整井中因不完整性的影响，流线在井附近变弯 曲长度也增加。因此，垂向流速不能忽略；水头损失也增加。 • 5.4 地下水流向非完整单井的稳定渗流运动

17. 在邻近井的I区，流线弯曲得厉害，水流为三维流区。随着远离井，流线弯曲程度逐渐减缓，到离承压水井>1M～1.5M（M为承压含水层的厚度）的II区，流线接近平行层面，水流基本为二维流。在邻近井的I区，流线弯曲得厉害，水流为三维流区。随着远离井，流线弯曲程度逐渐减缓，到离承压水井>1M～1.5M（M为承压含水层的厚度）的II区，流线接近平行层面，水流基本为二维流。 • 一般认为，I区由于流线 • 弯曲导致水流的流程增长， • 且沿途水流方向变化， • 从而产生附加阻力，能量 • 损耗增大。因此，在相同 • 流量的情况下，不完整井 • 的降深大于完整井的降深。 II II II 右图表示井的过滤器在含水 层中间，其流线弯曲又是一种 情况，井的流量和降深也是不 同的。 L

18. 1.空间汇点 • 空间汇点可理解为直径无限小的球形过滤器，以一定的抽 水量沿径向从各个方向不断地吸收地下水。在球坐标中可作 为一维流。设A点离空间汇点距离为r，其降深为s，各等降 深面是以汇点为中心，半径不一的同心球面，见下图。 • A处的过水断面面积A=4pr2流向空间汇点的流量： 在r至影响半径R的范围内积分，得： 在R远大于r时，1/R可忽略。得： 空间绘点图

19. 对井底刚揭穿承压含水层隔水顶板，构成井底进水的非完整井。这时，可以把它看作是直径无限小的半球形过滤器。这样该井的流量相当于空间汇点的一半，即 。把计算点A放在井壁上，r= r0，则：Q=2pkr0s0 2. 空间汇线 过滤器有一定的长度L，离 含水层的隔水顶板较近的不 完整井，隔水顶板对水流的 影响和隔水边界附近的井相 似。因此，可以用映象法和 叠加原理。这时，我们可以 设想，真实的圆柱形过滤器 是由无数个空间汇点组成的 空间汇线，见右图。

20. 沿长为L的汇线上，流量均匀分布，取空间汇线上的一微小段△L，并将其看成是一空间汇点，流向它的流量△Q可表示为沿长为L的汇线上，流量均匀分布，取空间汇线上的一微小段△L，并将其看成是一空间汇点，流向它的流量△Q可表示为 在其作用下任意点A的降深为 由于隔水顶板的影响，可用映 象后得到的虚空间汇点来代替， 这时空间任意点A的降深应为 实空间汇点和虚空间汇点产生的降深叠加，即

21. （5.13） • 半无限承压水层中，不完整井位于隔水顶板附近时，任意点的降深： 5.4.1半无限承压含水层中的非完整井 承压水含水层的厚度较大时，建造的管井往往为非完整井。 自然界中含水层无限大的情况很少见，所谓厚度大也只是相对于 过滤器的长度而言。 ①过滤器上端和隔水顶板相接 这时，空间汇线二端坐标为z1=0，z2=L，由式（5.13）得： 假想一个过滤器，它的水头和真实井壁上的水位相等。将此水 头的半旋转椭球面想象它与真实的圆柱形过滤器套在一起，二 者的交点坐标为（ r0，z0），代入上式得：

22. 当z0=0.75L时，按上式计算的流量与真实不完整井的流量相等。因此将此条件代入上式，列出数学关系，化简后得：当z0=0.75L时，按上式计算的流量与真实不完整井的流量相等。因此将此条件代入上式，列出数学关系，化简后得： • 当x≥1时， • 应用时要求L/r0>5，上式称为巴布什金公式。 吉林斯基根据假想过滤器与真实过滤器表面积相等的原则， 将半椭球面换算成圆柱面后得： （5.15） ②过滤器与隔水顶板不相接 过滤器在含水层中与隔水顶板相距为C，即Z1=C,Z2=C+L，代入 （5.13）化简得：

23. 代入式（5.15）得 • 从右图中可得：z0=C+0.87L • =C(0.13+0.87a)。式中： 式中

24. 下面介绍过滤器的长度L>0.3M时的承压非完整井的出水量公式。下面介绍过滤器的长度L>0.3M时的承压非完整井的出水量公式。 • 5.4.2含水层厚度有限的承压水非完整井 • 承压含水层的厚度相对于过滤器的长度不是很大的情况。这时要考虑隔水顶板和底板对水流的影响。 （1）当过滤器紧靠隔水顶板时， 见右图，用汇线无限次映象，叠 加求得这个问题的近似公式 （5.16） 式中a = L/M 当a=1时，A=0，则（5.16）式变 成承压完全井公式，这就说明 （5.16）式是合理的。但当a很小 时，A变的很大，这时有可能

25. 这就成了和半径为4M的承压完整井的流量一样。当a 很小时，承 压非完整井的流量竟会比同样条件下半径为r0的完整井的流量还要 大，这显然是不合理的。由此可见，当A很大时，式（5.16）就失 去应用的意义。 • 这时式（5.16）将变为： 当L/r0>5及r0/M≤0.01时，（5.16）式可以得到满意的结果， 误差不超过10%。 承压非完整井亦可用下列公式计算： 该公式的适用范围为：M>150 r0；L/M>0.1。 或 ： 该公式的适用范围为：过滤器位于含水层的顶部或底部。

26. 时，流网在过滤器上、下端部弯曲很大，从两端向中间时，流网在过滤器上、下端部弯曲很大，从两端向中间 流线逐渐平缓，在水平中心线处流线接近水平。因此，通过过滤 器水平中心线把过滤器分成上、下两段，作为两个过滤器与隔水 顶板（即水平中心线）相接的不完整井看（不过上部的井要转 1800之后看）。总流量是两个非完整井流量之和： • （2）过滤器与隔水顶板不相接时 当 5.4.3.潜水含水层中的非完整井 过滤器上下两端的流线弯曲很大， 从上端向中部流线弯曲程度逐渐 变缓，从中部向下端又朝相反的 方向弯曲。在中部流线A—A处流 线近于平面径向流动，见右图。 因此可用分段法。 潜水非完整井

27. 潜水井又分未淹没和淹没两种： • （1）当过滤器顶端未被地下水淹没时，通过过滤器中点的流面几乎与水平面平行；。 • 因此可以用通过过滤器有效 • 进水长度的中部的平面把水 • 流区分为上下两段，上段可 • 以看作潜水完整井，下段则 • 是承压非完整井。这样潜水 • 非完整井的流量就可以近似地看作上下两段流量之总和， • 但是这样计算所得的上段流量偏大些，下段流量偏小些， • 两段流量之和可抵消掉部分误差。 上段潜水完整井的流量 下段按承压水非完整井的流量计算。

28. Q=Q上+Q下= • ①当L/2<0.3M0时，可作为半无限厚的承压含水层，则 ②当L/2>0.3 M0时，可由公式（5.16）得 当过滤器埋藏较深，即L/2>0.3 M0时，潜水非完整井的流量为 Q=Q上+Q下= 潜水非完整井亦可用下列公式进行计算

29. （2）当过滤器顶端被地下水淹没时， ， • 通过水平中心线将潜水不完整井分成上下 • 两个都是过滤器与隔水顶板相接的含水层厚度有限的承压非完整井，可用公式（5.17）。

30. 5.5 边界附近地下水向单个完整井的稳定渗流运动 • 当边界离井比较近或抽水时间长，边界对水流有明显的影 响，这时就一定要考虑边界的存在。边界有补给边界和隔水 边界两种，它们对水流的影响是不同的。 • 5.5.1汇流、源流和势函数 • 假设:水流在垂直方向上的 • 流速可忽略不计，地下水 • 服从达西定律。 设j为渗透流速势简称势。因此对于水平潜水含水层： 对于承压含水层

31. 对于完整潜水抽水井（注：汇流），应用流体力学的知识[注：以流向汇点的流速为正]：对于完整潜水抽水井（注：汇流），应用流体力学的知识[注：以流向汇点的流速为正]： 同样对完整承压抽水井亦可得到上式。 以流出源点的流速为负，对于完整注水井：

32. 5.5.2映象法 • 映象法是：以直线边界为镜面，在它的一侧有一真实的 井，对镜面映象后在它的另一侧和实井相对称的位置上有一 流量相等的虚构井。以虚井的作用来代替原有边界的作用。 将有边界的问题化为无边界的问题。 • 用映象需遵循的原则： • 1.虚井和实井的位置对于边界是对称的； • 2.虚井和实井的流量相等； • 3. 定水头补给边界时，虚井与实井的类型相反；隔水边界时，虚井和实井的类型相同； • 4.虚井和实井的结构、工作时间相同。 • 为求解边界附近单井抽水问题，可将它化为求解无限含水层中实井和虚井同时工作的问题，在原来边界位置上仍保持映象前的水流特征。再用势的叠加原理，将井的势函数用代数法叠加起来，便可求得原问题的解。

33. 5.5.3直线边界附近的井含水层 • 这是指只有一条直线边界的含水层。分直线补给边界和直 线隔水边界两种情况。 • 直线补给边界附近的完整抽水井 当抽水井单独工作对A点的势为 当注水井单独工作对A点的势为 两个井同时工作时对A点的势为 为求得计算公式，将A点移到井壁上，这时r1= r0，r2=2a－ r0 或r2=2a+r0，因为2a》r0 所以r2≈2a，将r0和2a代入上式得

34. jA =jr0 边界y轴上取一点K，这时r1= r2， 而 • 将A点移到井壁上时 ： ∴jK =C jK －jr0 = 将式 代入得潜水井的势函数 适合于 当2a=R时为裘布依公式 将式 代入得承压井的势函数 适合于 当2a=R时为裘布依公式

35. 隔水边界便成了两个抽水井共 同作用下形成的分水岭，是一条 流线。映象后的虚井也为抽水井。 • 直线隔水边界附近的完整抽水井 在y轴上任取一点A，A点向两 个抽水井的渗流速度相等

36. 两个井同时工作，对A点产生的势 把A点移到实抽水井井壁上 在井的影响半径R上取一点K 潜水井 将势函数 或代入得： 承压井 上两式的适用条件是：

37. 2.干扰井群即各井同时工作时： • 在各井共同作用下，必形成一公共浸润面，设A点水深为 h，按势流叠加原理，则 （1）若各井出水量相同，设Q为井群的总出水量，则 井群的影响半径R 一般远大于井群的尺度，若A 点处于影响半径处： 见P71[例5.3]。 R的经验公式估算：

38. （2）若各井的出水量不相等，则井群的浸润线方程为：（2）若各井的出水量不相等，则井群的浸润线方程为： • 而sA=s1A+s2A+…snA • 承压干扰完全井群 当Q1=Q2 =……Qn时，其A点测压管方程为 式中 M——含水层厚度 井群的总出水量 见P72[例5.4]和P74[例5.5]

39. 实践中常要用到非完整井群，而非完整井群的水流复杂，不象实践中常要用到非完整井群，而非完整井群的水流复杂，不象 完整井群有系统的理论公式。许多学者做了大量研究，提出许 多半经验公式。其中应用较广的有恰尔内近似解。他将非完整 承压井水流分为三维流动带r0-r和平面径向流动带r0-R。把承 压非完整井化为具有假想半径r0的完整井，然后用完整井群的 公式乘以一个修正系数即可得非完整井群的公式。 • 5.6.3非完整井群