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概率论与随机过程

概率论与随机过程. —— 你了解吗？. 浦丰投针与随机模拟 （ Buffon 法国数学家， 1706-1788 ）. 在平面上画有等距为 a 的一些平行线 , 今向此平面任意投一长为 b ( b < a ) 的针 , 试求此针与平行线相交的概率 . 相交的概率 p=. 全概率公式：车还是羊？. 美国的 《Parade( 检阅 )》 杂志在 1991 年 1 月 21 日一专栏中刊登了如下问题 :

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概率论与随机过程

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Presentation Transcript

  1. 概率论与随机过程 ——你了解吗？

  2. 浦丰投针与随机模拟（Buffon 法国数学家，1706-1788） • 在平面上画有等距为 a 的一些平行线, 今向此平面任意投一长为 b ( b < a ) 的针, 试求此针与平行线相交的概率. • 相交的概率 p=

  3. 全概率公式：车还是羊？ • 美国的《Parade(检阅)》杂志在1991年1月21日一专栏中刊登了如下问题: • 有三扇门, 其中一扇门后面是汽车, 另两扇门的后面则各有一只羊, 你可以猜一次, 猜中羊则牵走羊, 猜中车则开走车. 大家当然都希望能开走汽车. • 现在假如你选择了某扇门(如1号门), 猜测后面可能是车. 然后主持人把无车的一扇门打开(如2号门). 此时如果允许你重新选择, 请问:你是否要换成3号门?

  4. 全概率公式：敏感问题调查 • 如果我们向被调查者提出这样一个问题“你考试作弊吗？”恐怕我们得不到正确答案. 对此, 我们列出如下两个问题, 其中一个问题是无关紧要的: • 问题S：你考试作弊吗? • 问题T：你的电话号码的末位数字是偶数吗？ • 由被提问者掷一枚硬币,若正面朝上,要求正确回答问题S, 反面朝上, 则要求正确回答问题T. 这时提问者并不知道被问者回答的是哪个问题, 这个信息是保密的, 因此回答问题的人就不会有顾忌. 现在对某所高校的在校学生进行这样的调查, 可以得到一系列“是”或者“不是”的答案, 如何从这些答案中估算出考试作弊者在被调查人群中所占的比例？

  5. 正态分布 • Quetlet(1796-1874)比利时数学家，统计学家。找出了2200名征兵造假或撒谎的“矮子”。 • Poincare(法国数学家）抓住了一个欺骗顾客的面包师。 • Wolfers(美国经济学家）找到了打假球的证据。 • 爱因斯坦：1905年的论文以正态分布这一核心工具解释了布朗运动。

  6. 凯特勒在19 世纪前期测得的5738 名苏格兰士兵的胸围数据

  7. 质量控制与管理 • 质量控制图（休哈特图表）： • 3σ原则，6 σ原则； • 10 σ事件。

  8. 数学期望 • 赌本分配问题（帕斯卡）：甲乙两赌徒赌技相同,各出赌注50法郎,每局中无平局.他们约定,谁先赢三局,则得全部赌本100法郎.当甲赢了2局,乙赢了1局时,因故要终止赌博.问这100法郎如何分配才公平? • 对某地区 $N$ 个人进行某种疾病的普查.每人的验血结果为阴性(-)或阳性(+). 现分组检查, k个人一组, 各组抽血后取一 半血液混合化验, 若为(+)则再取另一半分别化验. 已知该地区这种疾病的发病率 为 p, 这种方法能否减少工作量？ • 证劵投资组合理论——马克维兹的均值—方差模型 • 期望决策法

  9. 大数定律与积分计算 • 定积分的概率计算法：设 g(x) (0≤ x ≤ 1) 是连续函数, 用概率方法计算积分

  10. 随机过程的应用 • Xt, t=0,1,2,3,……., 或者 0≤ t ≤ +∞. • 马氏过程： P(Xt | X1, X2, …, Xt-1)=P(Xt| Xt-1 ) 生灭过程：可用于刻画生物种群的演化、排队模型； 扩散过程：分子运动、带噪声的通讯系统、有干扰的神经生理活动、生物膜中的渗透过程等等； 离散时间的马氏链：马氏链Monte-Carlo算法； Lévy过程：应用于模拟经济与物理中带跳的随机现象，例如刻画股票、期权、债券等证券的价格波动。

  11. 具体的几个重要应用 • 物理中的相变现象临界点的估计。 • 在信息技术方面: 隐马氏过程与统计语言模型：用于通信理论、机器翻译、机器学习、语音及语言处理、拼写纠错、汉字输入、文献查询等等。 • 马氏链的扩展——贝叶斯网络，在生物统计、图像处理、决策支持系统和博弈论中都有广泛应用。

  12. 在经济金融领域的应用 数理金融学 与概率统计有关的Nobel经济学奖： • 1975年，数理统计学成功运用于经济计量学； • 1994年，博弈论； • 1997年，Black—Scholes期权定价公式； • 2002年，研究经济理论中人在不确定情形下进行判 断和决策的过程； • 2011年，向量回归，时间序列分析。

  13. 其他应用 • 排队模型：广泛地应用于服务系统、交通运输、通信系统、商品物流等。 • 马氏链蒙特卡洛随机模拟。 • 保险精算与风险模型。 • 在智能计算中的应用：期望最大化算法等。 • 在控制与决策过程的应用。

  14. 主要的专业基础课程 • 泛函分析 • 概率测度（概率论基础，或实变函数） • 随机过程 • （随机微分方程）

  15. 北京师范大学数学科学学院随机数学中心在研究什么？北京师范大学数学科学学院随机数学中心在研究什么？ • 马氏过程及交叉领域的新探索。 • 研究与马氏过程相关的若干核心前沿问题，并向数学的其它分支学科交叉渗透。

  16. 一门开始于研究赌博机会的科学，居然成了人类知识中最重要的科学，这无疑是令人惊讶的事情，这就是概率论。一门开始于研究赌博机会的科学，居然成了人类知识中最重要的科学，这无疑是令人惊讶的事情，这就是概率论。 ——Laplace • 概率论是生活的领路人,如果没有对概率的某种估计,我们就寸步难行,无所作为. ——杰文斯

  17. 随机数学中心欢迎你的加入！

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