奇解 ( 包络 )

1. 引子 微分方程 奇解(包络) 说明：微分方程解的奇异性和在实际问题中的有效性。

2. 微分方程 y x O 例如，单参数曲线族 （其中R是常数，c是参数）表示圆心为（c,0）而半径等于R的一族圆. 如图 R 从图形可见，此曲线族有包络： y=R和y= -R .

3. §3.4 奇解 一、包络 二、奇解 三、克莱罗(Clairaut)方程

4. 定义1：对于给定的一个单参数曲线族： 其中 为参数。若存在一条曲线 满足下列条件: (1) (2) 对任意的 存在唯一的 使得 且 与 在 有相同的切线. 则称 为曲线族 的一条包络线, 一、包络 简称为包络（奇解）.

5. 微分方程 y x O 例如，单参数曲线族 （其中R是常数，c是参数）表示圆心为（c,0）而半径等于R的一族圆. 如图 R 从图形可见，此曲线族有包络： y=R和y= -R .

6. 例如: 单参数曲线族: (其中c为参数)表示一族同心圆. y x O 从图形可见, 此曲线族没有包络，因此，并不是每个曲线族都有包络。

7. 问题：对于给定的单参数曲线族: 其中 为参数. 根据定义, 假设该单参数曲线族有包络 ，则对任意 ， 存在唯一的 使得 如何判断它是否有包络？如果有包络， 如何求？ 于是得到对应关系:

8. 从而得到二元函数 使得 若 可用参数形式表示为: 记 则 于是

9. 现在 任取一个固定点M， 则M在某一条曲线 上。由于 与 在M点有相同的切线，因为 与 在M点的切线的斜率. 分别为 与 ，所以, 有 由于在 上不同的点也在不同的 上，即 ，因此 从而

10. 因此, 包络线 任意一点M不仅要满足 而且还要满足 中消去参数c得到的方程F(x,y)=0所表示的曲线 称为曲线族 的c-判别曲线. 定义2把联立方程组

11. 定理1(包络的必要条件): 设 及其各一阶偏导数是 有连续光滑的包络, (x,y,c)的连续函数，且 则包络必位于 的c-判别曲线中. 的包络是c-判别曲线,但c-判别曲线未必是包络.因此从c-判别曲线分解出来的一支或数支曲线是否为 的包络，尚需按定义作进一步的验证. 注:

12. 例1 讨论 的包络. 记 和 是两支c-判别曲线. 是 经验证, 和 的包络. 则 解: 消去参数c, 得 于是

13. 例2 的包络. 求直线族: 是参数, 这里 是常数. 记 则 的c-判别曲线: 消去参数 得 是曲线族 经验证 的包络。如下图所示： 解:

14. 例2 的包络. 求直线族: y 是参数, 这里 是常数. O x 包络

15. 例3: 求曲线族 的包络. 则 记 化简得 (3)代入(1),得 的两支c-判别曲线为: 于是 分析 消去参数c，由(2)得

16. 1、将 代入(2), 得 ，于是，得到一支c-判别曲线 2、将 代入(2)， 得另一支c-判别曲线 显然

17. 考察 因为对任意的 切线不存在; 对 对 在 点的切线的斜率为 所以 不是 的包络; 则有 解之得,

18. 考察 对任意的 则有 在 于是, 点的切线的斜率为 是 的包络. 因为 所以 所以

19. y x O 不是包络 包络

20. 二、奇解 定义3 对于一阶微分方程. 如果存在一条曲线l. 满足下列条件： (1) l 为方程的一条积分曲线; (2) l上每点处至少还有另外一条积分曲线经过,且两者在该点相切. 则称曲线 l (即积分曲线)为方程 F(x,y,y’)=0的一条奇积分曲线, 所对应的解称为奇解（包络）. 注：方程F(x,y,y’)=0的奇解是这样的一个解，使的在它上面的每 一点处,存在唯一性不成立.

21. 结果：对于一阶微分方程 F(x,y,y’)=0 ，设 是它的通解。如果积分曲线族 的包络 l 存在，则包络 l 就是方程F(x,y,y’)=0 的一条奇积分曲线，即 l 所对应的解就是方程 F(x,y,y’)=0 的奇解。 问题:给定一个具体的微分方程F(x,y,y’)=0, 如何求它的奇解呢?

22. 例4: 求微分方程 的奇解. 和 经检验: 不是 的包络,从而 (实际上 不是方程的奇解 不是方程的解); 是 的包络, 从而 是方程 的奇解. 解: 令 求得它的通解为: 消去参数c,得到 令

23. 如果 由隐方程的存在唯一性定理：对于 但 在 (h为足够小的正数)，上存在唯一解. 问题 能否不通过求方程F(x，y，y’)=0的通解，而由方程F(x，y，y’)=0本身求它的奇解呢? 则初值问题:

24. 消去参数p而得到的曲线 中. 对于微分方程F(x,y,y’)=0, 从方程组: 消去参数p而得到的曲线 称为方程F(x,y,y’)=0 的p-判别曲线. 因此,方程F(x,y,y’)=的奇解,如果存在的话,必含在从方程组: 定义4:

25. 设F(x,y,p)及其各一阶偏导数是(x,y,p)的连续函数。若微分方程F(x,y,y’)=0有奇积分曲线, 则它必含在F(x,y,y’)=0的p-判别曲线 中。 从方程F(x,y,y’)=0中分解出来的一支或数支曲线是否为方程F(x,y,y’)=0的奇积分曲线, 即奇解, 需要作进一步验证: p-判别曲线 中。 定理2: 附注: (1) 该支曲线是方程F(x,y,y’)=0的积分曲线; (2) 该曲线上任一点处至少还有F(x,y,y’)=0的另外一条积分曲线经过,且两者 在该点相切. 如果(1)不成立，则该支曲线根本就不是积分曲线；如果(1)成立，而(2)不成立，则该支曲线仅是一般的积分曲线，不是奇积分曲线只有当(1)和(2)同时成立时，该支曲线才是奇积分曲线，即奇解.

26. 并且只有当上述三个方程之一,比如 是其它两个方程的结果时,奇解才有可能存在. 进一步,可以证明: 定理2*: 奇解必须同时适合方程组:

27. 求微分方程 例5: 的奇解. 解: 令 是方程 的奇解. 消去p(实际上p=0), 得到p-判别曲线 即 可以证明, 和

28. 例6: 求微分方程 的奇解. 令 消去p: 得到p-判别曲线: 即 和 经验证: 是方程的奇解; 而 不是方程的奇解,实际上,它不是方程的解. 解:

29. y x O 奇解

30. 定义5：形如 的方程，称为克莱罗（Clairaut）方程.其中 是 的已知连续可微函数. 这是就y已解出的一阶微分方程.为求它的解，令 得 两边对x求导,并以 代入，即得 三、克莱罗（Clairaut）方程 经化简,得

31. 如果 则得到 于是, Clairaut方程的通解为: 它与等式 联立, 如果 则得到Clairaut方程的以p为参数的一个解: 或 其中c为参数. 则 如果令 因此, 求得此解的过程正好与从通解中求包络的手续一样.并且可以证明, 此参数曲线恰为通解的包络。

32. 结果: Clairaut方程 的通解 是一直线族，此直线族的包络 或 是Clairaut方程的奇积分曲线, 所对应的解是奇解.

33. 求解方程 例7: 解: 这是Clairaut方程, 其中 因为 所以 从 中消去参数c,得到原方程的奇解: 如下图所示 因而它有通解: 而奇解是通解的包络: 故, 此方程的通解是直线族:

34. y x O 奇解，且是包络

35. 例8: 求一曲线,使在其上每一点的切线截割坐标轴而成的直角三角形 的面积都等于2. y B(0,b) o x A(a,0)

36. 设所求的曲线的切线方程为 按条件, 有 而 消去a,b 得到 或 其中 为任意常数.显然, 此直线族中的每一条直线截割坐标轴而成的直角三角形的面积都等于2.为求此曲线族的包络,即微分方程的奇解,从 中消去参数c，得到微分方程的奇解 直接检验可知曲线,这就是要求的曲线 这是Clairaut方程,其通解为

37. 小结 介绍了包络、奇解等概念，并通过实例详细分析了曲线的包络求解方法，讨论了一阶微分方程奇解的求解方法，分析了奇解与包络的关系，并讨论克莱罗（Clairaut）微分方程包络和奇解等性质。学会讨论给定曲线或一阶微分方程的包络和奇解等性质。 作业 P111:1(5、10) 2(2、4) 3