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工程数学 第 17 讲

工程数学 第 17 讲. 本文件可从网址 http://math.vip.sina.com 上下载 ( 单击 'ppt 讲义 ' 后选择 ' 工程数学 ' 子目录 ). 傅氏变换的性质. 这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质 , 为了叙述方便起见 , 假定在这些性质中 , 凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件 , 在证明这些性质时 , 不再重述这些条件.

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工程数学 第 17 讲

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  1. 工程数学第17讲 本文件可从网址 http://math.vip.sina.com 上下载 (单击'ppt讲义'后选择'工程数学'子目录)

  2. 傅氏变换的性质

  3. 这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了叙述方便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件, 在证明这些性质时, 不再重述这些条件.

  4. 线性性质 设F1(w)=F [f1(t)], F2(w)=F [f2(t)], a,b是常数, 则F [af1(t)+bf2(t)]=aF1(w)+bF2(w) (1.13)这个性质的作用是很显然的, 它表明了函数线性组合的傅氏变换等于各函数傅氏变换的线性组合. 它的证明只需根据定义就可推出.同样, 傅氏逆变换亦具有类似的线性性质, 即F-1[aF1(w)+bF2(w)]=af1(t)+bf2(t) (1.14)

  5. 2. 位移性质 • 证 由傅氏变换的定义, 可知

  6. 微分性质 如果f(t)在(-, +)上连续或只有有限个可去间断点, 且当|t|+时, f(t)0, 则F [f '(t)]=jwF [f(t)]. (1.17)证 由傅氏变换的定义, 并利用分部积分可得 • 推论 • F [f(n)(t)]=(jw)nF [f(t)]. (1.18)

  7. 同样, 我们还能得到象函数的导数公式, 设F [f(t)]=F(w), 则

  8. 本书中的积分的记号有不严格的写法, 即

  9. 4. 积分性质

  10. 例2 求微分积分方程 • 的解, 其中<t<+, a,b,c均为常数. • 根据傅氏变换的微分性质和积分性质, 且记 • F [x(t)]=X(w), F [h(t)]=H(w). • 在方程两边取傅氏变换, 可得

  11. 运用傅氏变换的线性性质, 微分性质以及积分性质, 可以把线性常系数微分方程转化为代数方程, 通过解代数方程与求傅氏逆变换, 就可以得到此微分方程的解. 另外, 傅氏变换还是求解数学物理方程的方法之一.

  12. 此外还有

  13. 性质小结: 若F [f(t)]=F(w), F [g(t)]=G(w)

  14. 乘积定理 若F(w)=F [f(t)], G(w)=F [g(t)], 则

  15. 能量积分 若F(w)=F [f(t)], 则有 • 这一等式又称为帕塞瓦尔(Parserval)等式 • 证 在(1.20)式中, 令f(t)=g(t), 则

  16. 实际上, 只要记住下面四个傅里叶变换, 则所有的傅里叶变换都无须从公式直接推导而从傅里叶变换的性质就可导出.

  17. 注意第一类间断点处的求导数, 首先有 d(t) O t u(t) O t

  18. 假设函数f(t)在t0处有一个上升了a的第一类间断点, 则f(t)可以分为在此处连续的一个函数f1(t)加上a u(t-t0) f1(t) f(t) t0 t = a + t0 t a u(t-t0) a t t0

  19. 例 求方波的傅氏变换 f '(t) f(t) E E -t/2 t/2 t -t/2 t/2 t -E

  20. 推导过程为

  21. 习题二 14题 求如图所示的频谱函数 f(t) f '(t) A a -t/2 O t/2 -t/2 t/2 O t t f ''(t) -a a a -t/2 t/2 t O -2a

  22. 因此有

  23. 习题二,2.(1) f '(t) f(t) 2 1 -1 1 O t -1 O t -2

  24. f(t)的二阶导和三阶导如下图: f ''(t) f '''(t) 2 2 1 -1 O t 1 -1 O t -2 -2

  25. 因此有

  26. 习题二 2.(2)

  27. 习题二 2.(3) f(t) 1 -1 O 1 t -1 f '(t) 2 -1 1 O t -1 -1

  28. 因此

  29. 习题二 3.(1) f(t)=e-b|t| (b>0)令g(t)=u(t)e-bt, 则f(t)=g(t)+g(-t) f(t) t O g(-t) g(t) O t O t

  30. 因此有

  31. 习题二 3.(2) f(t)=e-|t|cos t

  32. 习题二 3.(3)

  33. 习题二 4题

  34. 习题二 5. F(w)=p[d(w+w0)+d(w-w0)]

  35. 习题二 6 f(t)=sgn t f(t) f '(t) 1 2 O O t t -1

  36. 习题二 7.

  37. 习题二 8. f(t)=cos t sin t

  38. 习题二 9. f(t)=sin3t

  39. 习题二 13. 周期为T的函数f(t)可表示为

  40. 作业 习题三 第33页开始 第1,2,3,4,5,6题

  41. 请提问

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