Ladenia

1. Ladenia PytagorejskéPrirodzené Strednotónové Temperované

2. Potreba ladení • Výška tónu – základný parameter hudobného tónu. • Nástroje s pohyblivým a pevným ladením, nutnosť fixácie ladenia. • Ladenie ako výber z frekvenčného kontinua. • Základné typy ladení: • Pytagorejské • Prirodzené • Strednotónové • Temperované

3. Rad čiastkových tónov • Rad čiastkových tónov: Tón Frekvencia Koeficient A 110 1 a 220 2 e1 330 3 a1 440 4 cis2 550 5 e2 660 6 g2* 770 7 a2 880 8 • Čiastkové tóny sú základom mnohých ladení, i Pytagorejského.

4. Interval ako číselný pomer • Jednoduché intervaly: Interval Pomer Čistá oktáva 2 Čistá kvinta 3/2 Prirodzená veľká tercia 5/4 • Interval = pomer frekvencií • Spojenie intervalov = súčin pomerov • Určite nasledovné intervaly: • Čistá kvinta • Veľká sekunda • Prirodzená malá tercia Prirodzené ladenie Pytagorejské ladenie

5. Pytagorejské ladenie • Pytagoras (6. storočie p.n.l.) – filozof a matematik • Základ európskej tradície fixácie tónových výšok • Vychádza z intervalu kvinty • Používalo sa aj v európskom stredoveku. Považuje sa za štandard gregoriánskeho chorálu.

6. Pytagorejská pentatonika • Základom pytagorejského ladenia je čistá kvinta • Laďme postupnosť piatich čistých kvínt: C G d a e1 1 3/2 9/4 27/8 81/16 • Prenesme získané pomery do oktávy C-c: C G D A E 1 3/2 9/8 27/16 81/64 • Dostávame pytagorejskú pentatoniku: C D E G A (c) 1 9/8 81/64 3/2 27/16 (2) Pytagorejská tercia • Pentatonika je základom tónových systémov mnohých hudobných kultúr od ďalekého východu až po Ameriku

7. Intervaly v pytagorejskej pentatonike • Aké základné intervaly nachádzame v pytagorejskejpentatonike? C D E G A (c) 1 9/8 81/64 3/2 27/16 (2) 9/8 9/8 32/27 9/8 32/27 T T T+S T T+S • Vidíme, že stupnica je zložená z dvoch elementárnych intervalov: • Pytagorejský celý tón 9/8 • Pytagorejská malá tercia 32/27 • Už sme sa stretli s prirodzenou malou terciou 5/4. Ktorá malá tercia je menšia?

8. Pytagorejská heptatonika • Rozšírením pentatoniky o dve ďalšie kvinty získame pytagorejskúheptatoniku: F1 C G d a e1h12/3 1 3/2 9/4 27/8 81/16 243/32 • A prenesieme získané tóny do oktávy C – c: F C G D A E H4/3 1 3/2 9/8 27/16 81/64 243/128 • Dostávame tak pytagorejskú heptatoniku: C D E F G A H (c) 1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 (2) • Pytagorejskáheptatonika predurčila štruktúru najpoužívanejších tónových systémov európskej klasickej hudby

9. Intervaly v pytagorejskej heptatonike • Merajme kroky v pytagorejskej pentatonike: C D E F G A H (c)1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 (2) 9/8 9/8 256/234 9/8 9/8 9/8 256/243 T T S T T T S • Vidíme, že aj pytagorejská heptatonika je zložená iba z dvoch elementárnych intervalov. Sú to: • Pytagorejský celý tón 9/8 • Pytagorejský poltón 256/243 • Vzniká prirodzená otázka: prečo sa ujali stupnice práve s 5 alebo 7 tónmi, a nie napr. so 6? • Pri 4, 6 alebo 8 tónoch vzniká „stupnica“, ktorá nemá dva ale až tri elementárne intervaly • Ďalší „vhodný“ počet je až 12 – naša chromatická sústava • Ďalšie: 17 (Arabi), 29, 41, 53 (starí Číňania)

10. Niektoré pytagorejské intervaly • Tonos (pytagorejský celý tón): • 9/8 • Limma (pytagorejský malý poltón): • 256/243 • Apotomé (pytagorejský veľký poltón): Tonos = Limma + Apotomé • 2187/2043 = (9/8) : (256/243) • Používa sa pri posuvkách (je to interval F-Fis, aj Ges-G) • Pytagorejská veľká tercia: • 81/64 • Úloha: • Zoraďte tóny F, Fis, G a Ges naladené v pytagorejskom ladení od najnižšieho po najvyšší a určte intervaly medzi nimi

11. Obmedzenie - pytagorejská koma • Laďme sériu čistých kvínt: • C 1 • G 3/2 • d 9/4 = (3/2)2 • a 27/16 = (3/2)3 • e1 81/32 = (3/2 )4 • ... • his5 531441/4096 = (3/2 )12 = 129,746... • Pritom ale: • c6 27 = 128 • Takže his5 nie je c6 a vzniká tu malý interval: • 531441/524288 = 129,746.../128 = 1,013643265... • Tento malý interval sa volá pytagorejská koma

12. Obmedzenie - syntonická koma • Pytagorejská veľká tercia sa líši od prirodzenej veľkej tercie: • Prirodzená v. tercia: 5/4 = 80/64 • Pyt. v. tercia: 81/64 • Malý interval, ktorý tvoria, nazývame syntonická koma: • 81/80 • Syntonická koma je väčší interval ako pytagorejská koma a spôsobuje falošnosť pytagorejských tercií • Tento problém rieši tzv. čisté ladenie (didymické, aristoxenovské)

13. Prirodzené ladenie • Prirodzené veľké tercie pre T, S a D, a preto: • Prirodzená v. tercia E 5/4 • Kvinta od E H 15/8 = 5/4 * 3/2 • Kvarta od E A 5/3 = 5/4 * 4/3 Zvýraznené tóny sú ladené nižšie oproti pytagorejským • Dostávame tak prirodzené ladenie: C D E F G AH (c) 1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/315/8 (2) • Merajme susedné intervaly: C D E F G A H (c) 9/8 10/9 16/15 9/8 10/9 9/8 16/15 Prirodzený veľký poltón Malý celý tón

14. Prirodzené ladenie – mol(cvičenie) • Pre molovú diatoniku ladíme: • Prirodzená m. tercia Es 6/5 • Kvinta od Es B 9/5 = 6/5 * 3/2 • Kvarta od Es As 8/5 = 6/5 * 4/3 • Dostávame tak prirodzené ladenie pre mol: C D Es F G AsB (c) 1 9/8 6/5 4/3 3/2 8/59/5 (2) • A susedné intervaly: C D Es F G AsB (c) 9/8 16/1510/9 9/8 16/15 9/8 10/9

15. Dôležité intervaly prirodzeného ladenia • Prirodzená veľká tercia a veľká sexta • 5/4, 5/3 • Prirodzená malá tercia a malá sexta • 6/5, 8/5 • Veľký celý tón a malý celý tón • 9/8, 10/9 • Prirodzený veľký poltón • 16/15 • Prirodzený malý poltón • Interval medzi prirodzenou veľkou a malou terciou: 5/4: 6/5 = 25/24 • Tento interval sa používa pri posuvkách (tzv. Aristoxenovo pravidlo) • Úloha: • Zoraďte tóny F, Fis, G a Ges naladené v prirodzenom ladení od najnižšieho po najvyšší a určte intervaly medzi nimi

16. Obmedzenia čistých ladení • Dôležité je si uvedomiť, že opísaným spôsobom naladíme čisto iba jednu tóninu • Modulácia do inej tóniny vyžaduje preladenie • Preto ak chceme zabezpečiť fixované ladenie použiteľné pre viacero tónin, je potrebné mierne „rozladenie“ • (Kompromisným) riešením sú: • Strednotónové ladenia (jednoduchý typ temperovaného ladenia) • Temperované ladenia

17. Strednotónové ladenie • Vyplynulo z praxe organistov • Prirodzené tercie za cenu rozladených kvínt: Štyri čisté kvinty dávajú veľkú pytagorejskú terciu 81/64, ktorú chceme podladiť na prirodzenú veľkú terciu 80/64 [=5/4]. A tak naladíme každú kvintu o štvrtinu syntonickej komy 81/80 [=(81/64):(80/64)] menšiu. • Štvrtina syntonickej komy je malý interval, ktorý leží v tzv. Garbuzovovej zóne, preto rozladenie jednej kvinty je zanedbateľný • Vzniká tu ale problém vlčích kvínt, keď nakopíme na seba mnoho „zanedbateľne rozladených kvínt“: Es– B – F – C – G – D – ... – Fis – Cis –Gis

18. Ďalšie obmedzenia prirodzených aj strednotónových ladení • Okrem vlčích kvínt sa v strednotónovom ladení (ako aj prirodzenom) stretávame s ďalšími obmedzeniami • Podobne ako kvinty sú v rozpore s oktávami (pytagorejská koma) a tercie s kvintami (syntonická koma), tak aj tercie sú v rozpore s oktávami • Séria troch veľkých tercií: • C 1 • E 5/4 • Gis 25/16 • His 125/64 • Pritom ale: • C 128/64 = 2 • Vzniká teda malé diesis: • (128/64) : (125/64) = 128/125 • Podobne séria štyroch malých tercií dáva veľké diesis: • (1296/625) : (1250/625) = 648/625

19. Temperované ladenie • Baroková prax dospela k rôznym druhom nepatrných rozlaďovaní, ktoré slúžia na preklenutie rozporov čistého ladenia. Ide o tzv. temperovanie. • Strednotónové ladenie je vlastne typom jednoduchého temperovania • Rovnomerné a nerovnomerné temperatúry • Medzi najznámejšie (nerovnomerné) temperatúry patria Werckmeisterove, Kirnbergerove, Rameauove temperatúry a iné • Bach pod svojím „dobrým temperovaním“ mal pravdepodobne na mysli jednu z Werckmeistrových temperatúr • Zaujímavú matematickú teóriu temperovania vyslovil Ján Petzval (1807-1891) v práci Die Theorie der Tonsysteme

20. Rovnomerná 12-stupňová temperatúra • Dnešným štandardom je 12-stupňová rovnomerná temperatúra • Všetky intervaly uniformné • Všetky tóniny rovnaké • Výhoda: voľnosť modulácie a enharmonickej zámeny • Nevýhoda: nutná mierna rozladenosť (predovšetkým tercií a sext)

21. Cent – logaritmická mierka intervalov Porovnanie

22. Príklad iných možností – staroindický tónový systém • Tónový systém podľa Nāţyaśāstra (28. kapitola) • 5.-6. storočie, autor: Bharata • traktát o teórii drámy, hudobnej teórii, poetike, metrike a všeobecnej estetike • Základné pojmy: • Svara(tón): Sa (sadja), Ri (rsabha), Ga (gāndhāra), Ma (madhyama), Pa (pańcama), Dha (dhaivata), Ni (nisāda) • Śruti – elementárny mikrointerval • Gráma (stupnica), dva typy: Sadjagrāma (Sagrāma), Madhyamagrāma (Magrāma) • Stupnice sagrāma a magrāma boli definované pomocou 22 (rovnakých) śruti • Intervaly: • Konsonantné (samvādī) – č. 4 (9 śruti) a č. 5 (13 śruti) • Disonantné (vivādī) – m. 2 a v. 7 • Asonantné (anuvādī) – ostatné

23. Príklad iných možností – staroindický tónový systém (pokračovanie) • Sadjagrāma • Madhyamagrāma • Európske značky sú uvedené na ilustráciu a platia iba približne • Základná črta uvedeného staroindického tónového systému odlišujúca ho od európskych systémov spočíva v tom, že využíva až tri elementáre intervaly: 2, 3 a 4 śruti. Ako vieme, naše hudobné myslenie operuje s dvoma elementárnymi intervalmi (poltón a celý tón). • Úloha: určte všetky konsonantné (samvādī) intervaly v Sagrāme a Magrāme.