§3 留数在定积分计算上的应用

如图，对于实积分，变量 x定义在闭区间 [a,b] (线段 )，此区间应是回路的一部分。实积分要变为回路积分，则实函数必须解析延拓到复平面上包含回路的一个区域中,而实积分成为回路积分的一部分： §3 留数在定积分计算上的应用留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积分中应用，必须将实变函数变为复变函数。这就要利用解析延拓的概念。留数定理又是应用到回路积分的，要应用到定积分，就必须将定积分变为回路积分中的一部分。

1. 形如的积分, 其中R(cosq,sinq )为 cosq与sinq 的有理函数. 令 z = eiq , 则 dz = ieiq dq , 而

例1 计算 的值. 其中f (z)是z的有理函数, 且在单位圆周|z|=1上分母不为零, 根据留数定理有其中zk (k=1,2,...,n)为单位圆 |z|=1内的 f (z)的孤立奇点. [解] 由于0<p<1, 被积函数的分母在0q  2p内不为零, 因而积分是有意义的. 由于cos2q = (e2iq + e-2iq ) /2= (z2 + z-2) /2, 因此

在被积函数的三个极点z=0, p, 1/p中只有前两个在圆周|z|=1内, 其中z=0为二级极点, z=p为一级极点.

例2 计算 的值. 解：令

例 3 解：

y 不失一般性, 设 CR z3 z2 z1 为一已约分式. O x -R R 取积分路线如图所示, 其中CR是以原点为中心, R为半径的在上半平面的半圆周. 取R适当大, 使R(z)所有的在上半平面内的极点zk都包在这积分路线内.

此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变.

例 4

例 5 解：

3. 形如的积分 y y z3 CR 1 z2 y=sinq z1 x -R O R p O q 当R(x)是x的有理函数而分母的次数至少比分子的次数高一次, 且R(x)在实数轴上没有奇点时, 积分是存在的. 象2中处理的一样, 由于m-n1, 故对充分大的|z|有因此, 在半径R充分大的CR上, 有

例6 计算的值. [解] 这里m=2,n=1,m-n=1.R(z)在实轴上无孤立奇点,因而所求的积分是存在的. 在上半平面内有一级极点ai, 也可写为

例4 计算积分的值. [解]因为是偶函数, 所以

y CR Cr -r r O -R R x 为了使积分路线不通过原点, 取如下图所示的路线. 由柯西积分定理, 有令x=-t, 则有

因此, 要算出所求积分的值, 只需求出极限 下面将证明由于所以

由于而在r充分小时, j (z)在z=0处解析, 且j (0)=i, 当|z|充分小时可使|j (z)|2,

例题

§3 留数在定积分计算上的应用

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