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Cours # 11

Introduction à l’automatisation -ELE3202- Cours #11: Transformée en z – Bloqueur d’ordre 0 et transformée inverse Enseignant: Jean-Philippe Roberge. Cours # 11. Retour sur l’examen intra Exercices tirées des examens finaux des années passées Revue du dernier cours

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Cours # 11

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Presentation Transcript

  1. Introduction à l’automatisation-ELE3202-Cours #11: Transformée en z – Bloqueur d’ordre 0 et transformée inverseEnseignant: Jean-Philippe Roberge Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

  2. Cours # 11 • Retour sur l’examen intra • Exercices tirées des examens finaux des années passées • Revue du dernier cours • Retour sur la fin du dernier cours: Bloqueur d’ordre 0 • Obtention de la fonction de transfert • Obtention de la fonction de transfert pulsée • Transformée en z inverse Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

  3. Cours # 11 • Choix d’une période d’échantillonnage • Fonction de transfert pulsée: • D’éléments en cascade • D’éléments en boucle fermée • Critère de stabilité • Présentation d’un intérêt d’étudiant : la photographie (1) Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

  4. Retour sur l’examen intraQuestion #1 Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

  5. Retour sur l’examen intraQuestion #2 Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

  6. Retour sur l’examen intraQuestion #3 Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

  7. Retour sur l’examen intraQuestion #4 Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

  8. Retour sur l’examen intraQuestion #5 Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

  9. Retour sur l’examen intraQuestion #6 Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

  10. Résumé des apprentissages (I)Matière vue depuis l’examen intra • Modèle d’état • En boucle ouverte: • En boucle fermée (en fermant la boucle par une rétroaction d’états (U = -K*x)): Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

  11. Résumé des apprentissages (II)Matière vue depuis l’examen intra • Le fait d’avoir fermée la boucle avec U = -K*x suppose que tous les états sont disponibles (on peut les connaître les mesurer). Cependant, dans bien des cas: • Il est impossible de mesurer tous les états • On ne souhaite pas acheter tous les capteurs qui seraient nécessaires (qui sont parfois coûteux). • Une solution est alors l’observateur d’état: Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

  12. Résumé des apprentissages (III)Matière vue depuis l’examen intra • Si les valeurs propres de sont à partie réelle négative, alors nous avions démontré que l’erreur d’estimation de l’état tend vers 0 quand le temps tend vers l’infini. • On peut alors se servir de l’état estimé pour faire notre rétroaction d’état: Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

  13. Résumé des apprentissages (IV)Matière vue depuis l’examen intra • En ce qui concerne le design de l’observateur d’état, nous avions vu le principe de séparation. En effet: • Donc; • En choisissant le gain Ke de sorte à ce que les valeurs propres de (A-KeC) soient toutes à partie réelle négative, on assure la stabilité de l’observateur (l’erreur est stable). Non seulement l’erreur est-elle stable, elle tend vers 0 (tel que démontré dans le cours). • Étant donnée l’erreur stable et en choisissant le gain K de sorte à ce que les valeurs propres de (A-BK) soient toutes à partie réelle négative, on assure la stabilité du système (procédé) • Nous pouvons donc effectuer le design de l’observateur de manière tout à fait indépendante du procédé: Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

  14. Résumé des apprentissages (V)Matière vue depuis l’examen intra • Dans une foule d’applications, nous souhaitons que le procédé soit apte à suivre des consignes de type échelon (d’amplitude quelconque) et ce, malgré la présence possible de perturbations constantes. Par exemple; • Régulateur de vitesse, lecteur de disque dur, suivi de température dans un four, thermostats électroniques et mécaniques, etc… • Nous avions alors démontré qu’en ajoutant un intégrateur à l’entrée du système, il était possible de faire le suivi de consigne de type échelon: Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

  15. Résumé des apprentissages (VI)Matière vue depuis l’examen intra • En effet, soient l’erreur « e » et l’intégrale de l’erreur « eI »: • On peut ré-écrire sous forme de modèle d’état, tel que: • En fermant la boucle (tout en étant conforme avec le diagramme fonctionnel précédent) avec u=-Kx+KIeI , on obtient le modèle d’état en boucle fermée: Rappel de la preuve démontrant la capacité du système à effectuer le suivi de consigne: Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

  16. Contrôle intégral pour suivi de consigne (VII) • Le système et l’erreur à la sortie de l’intégrateur seront stables si la matrice Ae à toute ses valeurs propres à partie réelle négative. • Maintenant, si le système est stable, cela implique que lorsque le temps tend vers l’infini: • Si , alors on a (de l’équation du haut): Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

  17. Résumé des apprentissages (VIII)Matière vue depuis l’examen intra • Évidemment, il est possible de pousser plus loin la théorie et de combiner toutes ces notions sous forme générale: • Nous pouvons faire la conception d’un système qui doit suivre des consignes de type échelon avec un observateur pour estimer l’état: • Nous avions vu l’exemple des locomotives qui appliquait cette forme complète. Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

  18. Résumé des apprentissages (IX)Bloqueur d’ordre zéro • Un bloqueur d’ordre 0 est un système qui permet de garder constante (le temps d’une période d’échantillonnage) la valeur d’un échantillon: • À l’entré du bloqueur, on a: • En intégrant, on obtient : • Finalement on obtient la sortie du bloqueur en soustrayant: , c’est-à-dire l’intégrale décalée de: Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

  19. Fin du dernier cours (X)Bloqueur d’ordre zéro • Donc, la fonction de transfert du bloqueur d’ordre 0 est: • Exemple de système en boucle ouverte avec un bloqueur d’ordre 0 à l’entrée: Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

  20. Fin du dernier cours (XI)Bloqueur d’ordre zéro Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

  21. Exercices Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

  22. Exercices (I)Modèle d’état Examen final 2008: Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

  23. Exercices (II)Modèle d’état Examen final 2009: Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

  24. Cours #11

  25. Transformée en z inverse (I) • Lorsque nous nous intéressons à « convertir » une fonction du domaine z au domaine temporel, il est nécessaire de faire appel à la notion de transformée de z inverse. • Dans le cadre du cours, trois différentes méthodes seront présentées pour obtenir la transformée en z inverse. Il s’agit de: • 1) La division directe • 2) L’expansion en fractions partielles • 3) Le calcul par récursion Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

  26. Transformée en z inverse (II)La division directe • Le principe de la méthode par division directe est d’obtenir une série infinie en . Ensuite, en se rappelant la définition même d’une transformée en z, i.e.: • Il est possible de retrouver la valeur de chaque x(k*T). • Considérons cet exemple: • Que l’on peut ré-écrire sous cette forme: Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

  27. Transformée en z inverse (III)La division directe Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

  28. Transformée en z inverse (IV)La division directe Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

  29. Transformée en z inverse (V)L’expansion en fractions partielles Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

  30. Transformée en z inverse (VI)L’expansion en fractions partielles Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

  31. Transformée en z inverse (VII)L’expansion en fractions partielles Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

  32. Transformée en z inverse (VIII)Calcul par récursion Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

  33. Transformée en z inverse (IX)Calcul par récursion Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

  34. Transformée en z inverse (IX)Calcul par récursion Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

  35. Choix d’une fréquence d’échantillonnage (I)Théorème d’échantillonnage de Nyquist-Shannon • Le théorème de Nyquist-Shannon (aussi parfois nommé « le théorème d’échantillonnage) énonce que la fréquence à laquelle on échantillonne un certain signal doit être au moins supérieure au double de la fréquence maximale qui compose ce signal, c’est-à-dire: • Où ws est la fréquence d’échantillonnage et w1 est la fréquence maximale qui compose le signal à échantillonner. Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

  36. Choix d’une fréquence d’échantillonnage (II)Théorème d’échantillonnage de Nyquist-Shannon • Tiré de [7] Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

  37. Choix d’une fréquence d’échantillonnage (III)Théorème d’échantillonnage de Nyquist-Shannon • À la limite, si un signal est échantillonné à exactement 2 fois sa fréquence maximale (source - wikipédia) : • Plusieurs signaux différents peuvent interpoler le signal véritable, c’est donc la raison pourquoi il faut que la fréquence d’échantillonnage soit plus de deux fois plus grande et non « plus grande ou égale » à la fréquence maximale qui compose le signal véritable. Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

  38. Fonction de transfert pulsée (I)Éléments en cascade Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

  39. Fonction de transfert pulsée (II)Éléments en boucle fermée Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

  40. Fonction de transfert pulsée (III)Éléments en boucle fermée Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

  41. Fonction de transfert pulsée (IV)Exemple I Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

  42. Fonction de transfert pulsée (V)Exemple I Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

  43. Fonction de transfert pulsée (VI)Exemple I Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

  44. Fonction de transfert pulsée (VII)Stabilité Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

  45. Fonction de transfert pulsée (VIII)Stabilité Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

  46. Présentation d’intérêts d’étudiants (I)Photographie - Références • [1] A Control System for Superimposed High Speed Photographic Records – F.L. Curzon 1970 • [2] Automatically Available Photographer Robot for controlling Composition and taking pictures – Myung-Jin Kim, Tae-Hoon Song, Seung-Hun Jin, Soon-Mook Jung, Gi-Hoon Go, Key-Ho Kwon and Jae-Wook Jeon, 2010. • [3]ENTROPY BASED CAMERA CONTROL FOR VISUAL OBJECT TRACKING - Matthias Zobel, Joachim Denzler; Heinrich Niemann – 2002. • [4]Exposure Control in a Multi-Stage Photographic System - J. W. Boone 1967. • [5] Image-based visual PID control of a micro helicopter using a stationary camera, Kei Watanabe, Yuta Yoshihata, Yasushi Iwatani and Koichi Hashimoto, 2007. • [6] Optical Image Stabilizing System using Multirate Fuzzy PID Controller for Mobile Device Camera, Hyung Jin Chang, Pyo Jae Kim, Dong Sung Song, and Jin Young Choi, 2009. Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

  47. Présentation d’intérêts d’étudiants (II)Photographie • Application #1 : le robot photographe (tiré de [2]) • Utile lors de sinistres ou de situations critiques (e.g. Centrales nucléaires au Japon) b) Système de vision a) Plateforme mobile c) Contrôleur Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

  48. Présentation d’intérêts d’étudiants (III)Photographie Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

  49. Présentation d’intérêts d’étudiants (IV)Photographie • 2ième application (tiré de [6]): • Stabilisateur d’image pour caméra digitale portable. • Basé sur la lecture de gyroscopes et de capteur d’accélération linéaire, l’algorithme de contrôle évalue les vibrations subies par l’appareil et minimise leur impact en corrigeant la position du capteur photographique (CCD : Charged Coupled Device) à l’aide d’un moteur de type « voice coil ». Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

  50. Présentation d’intérêts d’étudiants (V)Photographie Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

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