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第 5 章 频域分析法

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第 5 章 频域分析法

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  1. 第5章 频域分析法 5.1 频率特性及其表示法 5.2 典型环节的频率特性 5.3 系统开环频率特性的绘制 5.4 用频率特性分析控制系统的稳定性 5.5 系统瞬态特性和开环频率特性的关系 5.6 闭环系统频率特性 5.7 系统瞬态特性和闭环频率特性的关系

  2. 5.4 用频率特性分析系统稳定性 1 控制系统的稳定判据 2 应用幅相频率特性判断系统稳定性 3 应用对数频率特性判断系统稳定性 4 奈氏稳定判据应用举例 5 频率域中描述系统的稳定裕量

  3. 1 控制系统的稳定判据 • 闭环系统稳定条件 特征方程式的根必须都在复数平面的左半平面。 • 一阶系统 特征方程式: 特征根: 令 则矢量

  4. 1 控制系统的稳定判据 • 特征根是一个负实根 当 由0增加到∞时 • 特征根是一个正实根 图5.31 一个负实根 当 由0增加到∞时 结论:一阶系统是稳定的, 则 由0→∞时, 矢量 将逆时针方向旋转π/2。图5.32 一个正实根

  5. 1 控制系统的稳定判据 • 二阶系统 特征方程式: 特征根: 矢量

  6. 1 控制系统的稳定判据 • 特征根在左半平面 当 由0增加到∞时 , • 特征根在右半平面 图5.33 共轭复数根在左半平面 当 由0增加到∞时 图5.33 共轭复数根在由半平面

  7. 1 控制系统的稳定判据 • 阶系统 特征方程式: 矢量 (1) 如果 个根都在复平面的左半平面 当 由0增加到∞时,

  8. 1 控制系统的稳定判据 (2) 如果一个根在右半平面, 个根在左半平面 当 由0增加到∞时, • 系统稳定的条件转化为:当 由0→∞时,如果矢量 的相角变化量为 那么系统是稳定的;否则,系统是不稳定的。 当 由 变到 时,如果矢量 的相角变化量为 那么系统是稳定的;否则,系统是不稳定的。

  9. 2 应用幅相特性判断系统稳定性 闭环系统如图示 开环传递函数 图5.35 闭环系统 闭环传递函数 闭环系统的特征多项式

  10. 2 应用幅相特性判断系统稳定性 辅助函数 辅助函数有如下特征: 1)其零点为闭环传递函数的极点; 2)其极点为开环传递函数的极点; 3)其零点和极点的个数是相同的; 4) 和开环传递函数 只差常数1。 控制系统稳定的充要条件变为: 辅助函数 的全部零点必须都在复平面的左侧。

  11. 2 应用幅相特性判断系统稳定性 • 分3种情况讨论 • (1)开环系统是稳定的情况 如果开环系统是稳定的,那么它的特征方程式 的 个根应都在S左半平面,而当 由 到 时,矢量 的相角变化量为 如果系统闭环也是稳定的,那么闭环特征方程式 的 个根也应都在S左半平面。当 由 到 时,矢量 的相角变化量为 矢量 的相角变化为

  12. 2 应用幅相特性判断系统稳定性 图5.36 的相角变化 (a) 系统稳定 (b)系统不稳定 • 奈奎斯特(Nyquist) 稳定判据(奈氏稳定判据) 当 由 到 时,矢量 的相角 变化量为0,则开环稳定的系统,闭环后也是稳的。

  13. 2 应用幅相特性判断系统稳定性 因为 和 两个矢量 之间只相差常数1,如果 把 平面坐标原点右 移1个单位,那么这同一 曲线却表示开环频率特性 的矢量轨迹。 图5.37 和曲线

  14. 2 应用幅相特性判断系统稳定性 • 推论 1:用开环频率特性判断闭环系统稳定性判据 如果开环系统是稳定的,那么闭环系统稳定的条件: 当 由 变到 时,开环频率特性在复数 平面的轨迹 不包围 这一点。

  15. 2 应用幅相特性判断系统稳定性 • (2)开环系统是不稳定的情况 如果开环系统是不稳定的,那么它的特征方程式有 个 根在S右半平面, 个根在S左半平面,则开环系统是不稳 定的。当 由 变到 时,矢量 的相角变化量为 若闭环系统的特征方程式的 个根中,有 个根在S右半 平面, 个根在S左半平面,则 由 变到 时,矢量 的相角变化量为

  16. 2 应用幅相特性判断系统稳定性 矢量 的相角变化量为 式中 代表矢量 的相角变化圈数。 即:矢量 的轨迹在 平面逆时针围绕坐标原点转 圈;或用 的轨迹说明,开环频率特性 的轨迹在 平面逆时针围绕 这一点转 圈。

  17. 2 应用幅相特性判断系统稳定性 • 推论 2:用开环频率特性判断闭环系统稳定性判据 如果开环系统是不稳定的,开环特征方程式有 个根在 S右半平面上,则闭环系统稳定的充要条件是: 由 变到 时,开环幅相频率特性 的轨迹在复平面上逆时针围 绕 点转 圈。否则闭环系统是不稳定的。 实际应用判据 若开环传递函数在S右半平面上有 个极点,则当 由 0 变到 +∞,如果开环幅相频率特性 的轨迹在复平面上逆 时针围绕 点转 圈,则闭环系统是稳定的;否则是 不稳定的。

  18. 2 应用幅相特性判断系统稳定性 • 例5.4 一个闭环系统如图示, 其开环传递函数为 这是一个不稳定的惯性环节, 开环特征方程式在右半平面有一个 根 。闭环传递函数为 由于 ,闭环特征方程式的根在 S左半平面,所以闭环是稳定的。 开环频率特性如图,当 由 图5.38 例5.4的稳定判定 变到 时, 矢量逆时针围绕 点转一圈。 即 ,故由奈氏稳定判据知闭环系统是稳定的。

  19. 2 应用幅相特性判断系统稳定性 • (3)开环系统有积分环节的情况 系统中有串联积分环节(即在坐标原点上有极点) 例如开环系统传递函数为 其频率特性 开环频率特性在 处轨迹不连续, 可作如下处理: 令 ,当 由 变到 时, 角变化为 图5.39 坐标原点有极点的处理

  20. 2 应用幅相特性判断系统稳定性 所以在 由 时,幅相频率特性以∞为半径,相 角由0度旋转到 ,如图5.40(a)所示。 如果在原点处有重根 为重根数目。 在 由 时,幅相特性以∞为 半径,转过 ,得到了连 续变化的轨迹,如图5.40虚线所示。 图5.40 有积分环节的幅相频率特性 (a) 有一个积分环节

  21. 2 应用幅相特性判断系统稳定性 用奈氏稳定判据很容易判断出图5.40(a)、(b)、(c) 中的轨迹都不包围 点,所以闭环系统是稳定的。 图5.40 有积分环节的幅相频率特性 (b) 有二个积分环节 (c) 有三个积分环节

  22. 3 应用对数频率特性判断系统稳定性 • 在波德图上应用奈氏稳定判据 考察一个系统的幅相频率特性及其对应的对数频率特性 正穿越: 在区间 由上向下穿越负实轴,以 表示。 负穿越: 在区间 由下向上穿越负实轴,以 表示。 图5.41 用对数频率特性判断系统稳定性 (a) 幅相频率特性 (b)对应的对数频率特性

  23. 3 应用对数频率特性判断系统稳定性 • 注意: 如果 逆时针方向包围 点,则一定存在正穿越, 即在负实轴区间 由上部向下部穿越负实轴。 如果 顺时针方向包围 点,则一定存在负穿越, 即在负实轴区间 由下部向上部穿越负实轴。 奈氏稳定判据用正负穿越表述如下: 如果系统开环传递函数的极点全部位于S左半平面,当 由0变到+∞时, 在复平面上正穿越与负穿越次数之差等 于零,则闭环系统是稳定的,否则闭环系统是不稳定的。 如果系统开环传递函数有 个极点在S右半平面,当 由0 变到+∞时, 在复平面上正穿越和负穿越之差为 , 则闭环系统是稳定的,否则闭环系统是不稳定的。

  24. 3 应用对数频率特性判断系统稳定性 • 幅相频率特性与对数频率特性之间存在如下对应关系

  25. 3 应用对数频率特性判断系统稳定性 • 奈氏稳定判据用于对数频率特性 如果系统开环传递函数的极点全部在S左半平面,即 ,则在 dB的所有频段内,对数相频特性与 线正穿越与负穿越次数之差为0时,闭环系统是稳定的;否 则闭环系统是不稳定的。 如果系统开环传递函数有 个极点在S右半平面,则 在 dB的所有频段内,对数相频特性与 线正穿越 与负穿越次数之差为 时,闭环系统是稳定的;否则闭 环系统是不稳定的。

  26. 4 奈氏稳定判据应用举例 例5.5系统开环传递函数为 其极点全部位于S左半平面, 。 (1)应用开环幅相频率特性判断闭环系统的稳定性 绘出系统开环幅相频率特性 如图5.42(a)。 由于 不包围 点, 所以不论 值多大,闭环系统 均是稳定的。 图5.42 例5.5的稳定判定

  27. 4 奈氏稳定判据应用举例 (2)应用开环对数频率特性判断闭环系统的稳定性 绘出系统开环对数频率特性 如图5.42(b)。 由于在 dB的频段内, 二阶系统对数相频特性不会穿越 线,即对数相频特性与 线 正穿越和负穿越次数之差总为0, 所以不论 值多大,闭环系统均 是稳定的。 图5.42 例5.5的稳定判定

  28. 4 奈氏稳定判据应用举例 例5.6系统开环传递函数为 没有极点位于位于S右半平面, 。 (1)应用开环幅相频率特性判断闭环系统的稳定性 将开环幅相频率特性写成代数形式 其中 在 时, 在 时, 。

  29. 4 奈氏稳定判据应用举例 绘出系统开环幅相频率特性如图5.43(a)。由图看出, 值较大时,当 由-∞变到+∞时, 顺时针包围 两 圈, 。故 表明闭环系统在S右半平面有两个 极点,系统是不稳定的。 如果减小 值,则当 , ,系统达到稳定边界。 当 时, ,闭环 图5.43 例5.6的稳定判定 系统是稳定的。

  30. 4 奈氏稳定判据应用举例 (2)应用开环对数频率特性判断闭环系统的稳定性 绘出系统开环对数频率特性如图5.43(b)。 值较大时,在 dB 的频段内,对数相频特性负穿 越 线1次,闭环系统不稳定。 如果减小 值,对数幅频 特性 下移,幅值穿越频率 左移减小,使在 dB的 频段内,对数相频特性不穿越 线,则闭环系统稳定。 图5.43 例5.6的稳定判定

  31. 4 奈氏稳定判据应用举例 例5.7系统开环传递函数为 没有极点位于位于S右半平面, 。 应用开环幅相频率特性判断闭环系统的稳定性 系统开环频率特性为 其中 相频特性为

  32. 4 奈氏稳定判据应用举例 • 分几种情况讨论 (1) 幅相频率特性如图5.44(a)示。 当 由-∞变到+∞时, 顺时针包围 点两圈: 即闭环传递函数有两个极点位于 S右半平面,闭环系统不稳定。 图5.44 例5.7幅相频率特性示意图

  33. 4 奈氏稳定判据应用举例 (2) 幅相频率特性如图5.44(b)示。 当 由-∞变到+∞时, 不包围 点: 闭环系统稳定。 图5.44 例5.7幅相频率特性示意图

  34. 4 奈氏稳定判据应用举例 (3) 幅相频率特性如图5.44(c)示。 当 由-∞变到+∞时, 正好通过 点。 闭环系统处于临界稳 定状态。 图5.44 例5.7幅相频率特性示意图

  35. 4 奈氏稳定判据应用举例 例5.8系统开环传递函数为 在S右半平面有一个极点, 。 系统开环频率特性为 其中 相频特性为 当 时, , 当 时, 当 时,

  36. 4 奈氏稳定判据应用举例 幅相频率特性绘于图5.45。 当 时 闭环系统是稳定的; 当 时 闭环系统是不稳定的。 图5.44 例5.7幅相频率特性示意图

  37. 5 频率域中描述系统的稳定裕量 如果开环系统传递函数没有极点位于S右半平面,那么闭环系统稳定的充要条件是: 开环系统幅相频率特性 不包围 点; 或 闭环系统临界稳定的条件是开环系统幅相频率特性 经过 点。即满足: 式中: 称为幅值穿越频率; 称为相位穿越频率。

  38. 5 频率域中描述系统的稳定裕量 • 相位裕量 • 增益裕量 dB 图5.46 稳定裕量

  39. The End!