第 5 章 频域分析法

1. 第5章 频域分析法 5.1 频率特性及其表示法 5.2 典型环节的频率特性 5.3 系统开环频率特性的绘制 5.4 用频率特性分析控制系统的稳定性 5.5 系统瞬态特性和开环频率特性的关系 5.6 闭环系统频率特性 5.7 系统瞬态特性和闭环频率特性的关系

2. 5.4 用频率特性分析系统稳定性 1 控制系统的稳定判据 2 应用幅相频率特性判断系统稳定性 3 应用对数频率特性判断系统稳定性 4 奈氏稳定判据应用举例 5 频率域中描述系统的稳定裕量

3. 1 控制系统的稳定判据 • 闭环系统稳定条件 特征方程式的根必须都在复数平面的左半平面。 • 一阶系统 特征方程式: 特征根: 令 则矢量

4. 1 控制系统的稳定判据 • 特征根是一个负实根 当 由0增加到∞时 • 特征根是一个正实根 图5.31 一个负实根 当 由0增加到∞时 结论：一阶系统是稳定的， 则 由0→∞时， 矢量 将逆时针方向旋转π/2。图5.32 一个正实根

5. 1 控制系统的稳定判据 • 二阶系统 特征方程式: 特征根: 矢量

6. 1 控制系统的稳定判据 • 特征根在左半平面 当 由0增加到∞时 ， • 特征根在右半平面 图5.33 共轭复数根在左半平面 当 由0增加到∞时 图5.33 共轭复数根在由半平面

7. 1 控制系统的稳定判据 • 阶系统 特征方程式: 矢量 (1) 如果 个根都在复平面的左半平面 当 由0增加到∞时，

8. 1 控制系统的稳定判据 (2) 如果一个根在右半平面， 个根在左半平面 当 由0增加到∞时， • 系统稳定的条件转化为：当 由0→∞时，如果矢量 的相角变化量为 那么系统是稳定的；否则，系统是不稳定的。 当 由 变到 时，如果矢量 的相角变化量为 那么系统是稳定的；否则，系统是不稳定的。

9. 2 应用幅相特性判断系统稳定性 闭环系统如图示 开环传递函数 图5.35 闭环系统 闭环传递函数 闭环系统的特征多项式

10. 2 应用幅相特性判断系统稳定性 辅助函数 辅助函数有如下特征： 1）其零点为闭环传递函数的极点； 2）其极点为开环传递函数的极点； 3）其零点和极点的个数是相同的； 4） 和开环传递函数 只差常数1。 控制系统稳定的充要条件变为： 辅助函数 的全部零点必须都在复平面的左侧。

11. 2 应用幅相特性判断系统稳定性 • 分3种情况讨论 • (1)开环系统是稳定的情况 如果开环系统是稳定的，那么它的特征方程式 的 个根应都在S左半平面，而当 由 到 时，矢量 的相角变化量为 如果系统闭环也是稳定的，那么闭环特征方程式 的 个根也应都在S左半平面。当 由 到 时，矢量 的相角变化量为 矢量 的相角变化为

12. 2 应用幅相特性判断系统稳定性 图5.36 的相角变化 (a) 系统稳定 (b)系统不稳定 • 奈奎斯特（Nyquist） 稳定判据(奈氏稳定判据) 当 由 到 时，矢量 的相角 变化量为0，则开环稳定的系统，闭环后也是稳的。

13. 2 应用幅相特性判断系统稳定性 因为 和 两个矢量 之间只相差常数1，如果 把 平面坐标原点右 移1个单位，那么这同一 曲线却表示开环频率特性 的矢量轨迹。 图5.37 和曲线

14. 2 应用幅相特性判断系统稳定性 • 推论 1：用开环频率特性判断闭环系统稳定性判据 如果开环系统是稳定的，那么闭环系统稳定的条件： 当 由 变到 时，开环频率特性在复数 平面的轨迹 不包围 这一点。

15. 2 应用幅相特性判断系统稳定性 • (2)开环系统是不稳定的情况 如果开环系统是不稳定的，那么它的特征方程式有 个 根在S右半平面， 个根在S左半平面，则开环系统是不稳 定的。当 由 变到 时，矢量 的相角变化量为 若闭环系统的特征方程式的 个根中，有 个根在S右半 平面， 个根在S左半平面，则 由 变到 时，矢量 的相角变化量为

16. 2 应用幅相特性判断系统稳定性 矢量 的相角变化量为 式中 代表矢量 的相角变化圈数。 即：矢量 的轨迹在 平面逆时针围绕坐标原点转 圈；或用 的轨迹说明，开环频率特性 的轨迹在 平面逆时针围绕 这一点转 圈。

17. 2 应用幅相特性判断系统稳定性 • 推论 2：用开环频率特性判断闭环系统稳定性判据 如果开环系统是不稳定的，开环特征方程式有 个根在 S右半平面上，则闭环系统稳定的充要条件是： 由 变到 时，开环幅相频率特性 的轨迹在复平面上逆时针围 绕 点转 圈。否则闭环系统是不稳定的。 实际应用判据 若开环传递函数在S右半平面上有 个极点，则当 由 0 变到 +∞，如果开环幅相频率特性 的轨迹在复平面上逆 时针围绕 点转 圈，则闭环系统是稳定的；否则是 不稳定的。

18. 2 应用幅相特性判断系统稳定性 • 例5.4 一个闭环系统如图示， 其开环传递函数为 这是一个不稳定的惯性环节， 开环特征方程式在右半平面有一个 根 。闭环传递函数为 由于 ，闭环特征方程式的根在 S左半平面，所以闭环是稳定的。 开环频率特性如图，当 由 图5.38 例5.4的稳定判定 变到 时， 矢量逆时针围绕 点转一圈。 即 ，故由奈氏稳定判据知闭环系统是稳定的。

19. 2 应用幅相特性判断系统稳定性 • (3)开环系统有积分环节的情况 系统中有串联积分环节（即在坐标原点上有极点） 例如开环系统传递函数为 其频率特性 开环频率特性在 处轨迹不连续， 可作如下处理： 令 ，当 由 变到 时， 角变化为 图5.39 坐标原点有极点的处理

20. 2 应用幅相特性判断系统稳定性 所以在 由 时，幅相频率特性以∞为半径，相 角由0度旋转到 ，如图5.40(a)所示。 如果在原点处有重根 为重根数目。 在 由 时，幅相特性以∞为 半径，转过 ，得到了连 续变化的轨迹，如图5.40虚线所示。 图5.40 有积分环节的幅相频率特性 (a) 有一个积分环节

21. 2 应用幅相特性判断系统稳定性 用奈氏稳定判据很容易判断出图5.40(a)、(b)、(c) 中的轨迹都不包围 点，所以闭环系统是稳定的。 图5.40 有积分环节的幅相频率特性 (b) 有二个积分环节 (c) 有三个积分环节

22. 3 应用对数频率特性判断系统稳定性 • 在波德图上应用奈氏稳定判据 考察一个系统的幅相频率特性及其对应的对数频率特性 正穿越： 在区间 由上向下穿越负实轴，以 表示。 负穿越： 在区间 由下向上穿越负实轴，以 表示。 图5.41 用对数频率特性判断系统稳定性 (a) 幅相频率特性 (b)对应的对数频率特性

23. 3 应用对数频率特性判断系统稳定性 • 注意： 如果 逆时针方向包围 点，则一定存在正穿越， 即在负实轴区间 由上部向下部穿越负实轴。 如果 顺时针方向包围 点，则一定存在负穿越， 即在负实轴区间 由下部向上部穿越负实轴。 奈氏稳定判据用正负穿越表述如下： 如果系统开环传递函数的极点全部位于S左半平面，当 由0变到+∞时， 在复平面上正穿越与负穿越次数之差等 于零，则闭环系统是稳定的，否则闭环系统是不稳定的。 如果系统开环传递函数有 个极点在S右半平面，当 由0 变到+∞时， 在复平面上正穿越和负穿越之差为 ， 则闭环系统是稳定的，否则闭环系统是不稳定的。

24. 3 应用对数频率特性判断系统稳定性 • 幅相频率特性与对数频率特性之间存在如下对应关系

25. 3 应用对数频率特性判断系统稳定性 • 奈氏稳定判据用于对数频率特性 如果系统开环传递函数的极点全部在S左半平面，即 ，则在 dB的所有频段内，对数相频特性与 线正穿越与负穿越次数之差为0时，闭环系统是稳定的；否 则闭环系统是不稳定的。 如果系统开环传递函数有 个极点在S右半平面，则 在 dB的所有频段内，对数相频特性与 线正穿越 与负穿越次数之差为 时，闭环系统是稳定的；否则闭 环系统是不稳定的。

26. 4 奈氏稳定判据应用举例 例5.5系统开环传递函数为 其极点全部位于S左半平面， 。 （1）应用开环幅相频率特性判断闭环系统的稳定性 绘出系统开环幅相频率特性 如图5.42（a）。 由于 不包围 点， 所以不论 值多大，闭环系统 均是稳定的。 图5.42 例5.5的稳定判定

27. 4 奈氏稳定判据应用举例 （2）应用开环对数频率特性判断闭环系统的稳定性 绘出系统开环对数频率特性 如图5.42（b）。 由于在 dB的频段内， 二阶系统对数相频特性不会穿越 线，即对数相频特性与 线 正穿越和负穿越次数之差总为0， 所以不论 值多大，闭环系统均 是稳定的。 图5.42 例5.5的稳定判定

28. 4 奈氏稳定判据应用举例 例5.6系统开环传递函数为 没有极点位于位于S右半平面， 。 （1）应用开环幅相频率特性判断闭环系统的稳定性 将开环幅相频率特性写成代数形式 其中 在 时， 在 时， 。

29. 4 奈氏稳定判据应用举例 绘出系统开环幅相频率特性如图5.43（a）。由图看出， 值较大时，当 由-∞变到+∞时， 顺时针包围 两 圈， 。故 表明闭环系统在S右半平面有两个 极点，系统是不稳定的。 如果减小 值，则当 ， ，系统达到稳定边界。 当 时， ，闭环 图5.43 例5.6的稳定判定 系统是稳定的。

30. 4 奈氏稳定判据应用举例 （2）应用开环对数频率特性判断闭环系统的稳定性 绘出系统开环对数频率特性如图5.43（b）。 值较大时，在 dB 的频段内，对数相频特性负穿 越 线1次，闭环系统不稳定。 如果减小 值，对数幅频 特性 下移，幅值穿越频率 左移减小，使在 dB的 频段内，对数相频特性不穿越 线，则闭环系统稳定。 图5.43 例5.6的稳定判定

31. 4 奈氏稳定判据应用举例 例5.7系统开环传递函数为 没有极点位于位于S右半平面， 。 应用开环幅相频率特性判断闭环系统的稳定性 系统开环频率特性为 其中 相频特性为

32. 4 奈氏稳定判据应用举例 • 分几种情况讨论 （1） 幅相频率特性如图5.44(a)示。 当 由-∞变到+∞时， 顺时针包围 点两圈： 即闭环传递函数有两个极点位于 S右半平面，闭环系统不稳定。 图5.44 例5.7幅相频率特性示意图

33. 4 奈氏稳定判据应用举例 （2） 幅相频率特性如图5.44(b)示。 当 由-∞变到+∞时， 不包围 点： 闭环系统稳定。 图5.44 例5.7幅相频率特性示意图

34. 4 奈氏稳定判据应用举例 （3） 幅相频率特性如图5.44(c)示。 当 由-∞变到+∞时， 正好通过 点。 闭环系统处于临界稳 定状态。 图5.44 例5.7幅相频率特性示意图

35. 4 奈氏稳定判据应用举例 例5.8系统开环传递函数为 在S右半平面有一个极点， 。 系统开环频率特性为 其中 相频特性为 当 时， ， 当 时， 当 时，

36. 4 奈氏稳定判据应用举例 幅相频率特性绘于图5.45。 当 时 闭环系统是稳定的； 当 时 闭环系统是不稳定的。 图5.44 例5.7幅相频率特性示意图

37. 5 频率域中描述系统的稳定裕量 如果开环系统传递函数没有极点位于S右半平面，那么闭环系统稳定的充要条件是： 开环系统幅相频率特性 不包围 点； 或 闭环系统临界稳定的条件是开环系统幅相频率特性 经过 点。即满足： 式中： 称为幅值穿越频率； 称为相位穿越频率。

38. 5 频率域中描述系统的稳定裕量 • 相位裕量 • 增益裕量 dB 图5.46 稳定裕量

39. The End!