Download
1 / 20
230 likes | 715 Vues
Vektorová algebra. Lucia Bednárová . Súradnicová sústava. PRIESTOR: jednorozmerný = číselná os (0, o x ) dvojrozmerný = rovina (0, o x , o y ) trojrozmerný = (0, o x , o y , o z ) . - ak sú číselné osi kolmé ortogonálna súradnicová sústava
E N D
Vektorová algebra Lucia Bednárová
Súradnicová sústava PRIESTOR: • jednorozmerný = číselná os (0, ox) • dvojrozmerný = rovina (0, ox, oy) • trojrozmerný = (0, ox, oy, oz) - ak sú číselné osi kolmé ortogonálna súradnicová sústava - ak jednotka je 1 cm ortonormálna súradnicová sústava
VZDIALENOSŤ 2 BODOV jednorozmerný priestor A[a] B[b] |AB|=? |AB| = |b-a| |BA| = |a-b|
Pr. A[5] B[1] |AB|= ? ¯¯¯¯ |AB|= |5-1|= 4
dvojrozmerný priestor |AB|=? |A|= [xa, ya] |B|= [xb, yb] |AB|2=|xb-xa|2+|yb-ya|2 |AB|= √(xb-xa)2+(yb-ya)2
trojrozmerný priestor A[xa, ya, za] B[xb, yb, zb] ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ |AB|=? |AB|= √(xb-xa)2+(yb-ya)2+(zb-za)2
VEKTOR • je posunutie • je určený usporiadanou dvojicou • u (A)=B, čítame: vektor u zobrazí bod A do bodu B [A, B] začiatok koniec
jednorozmerný priestor +3…..1 zobrazí do 4 …..4 zobrazí do 7 [1] + (+3) = [4] [4] + (+3) = [7] -2…..2 zobrazí do 0 …..6 zobrazí do 4 [2] + (-2) = [0] [6] + (-2) = [4]
dvojrozmerný priestor u = (3,2) [0,2,]+ (3,2) = [3,4] [1,1] + (3,2) = [4,3]
Pr. u= ? A[xa, ya] B[xb, yb] ¯¯¯¯¯¯¯¯¯ [5,0] + (x,y) = [0,-3] (x,y) = (-5, -3) u = ? u (A) = B u = B-A u = (xb-xa, yb-ya) u = B-A pre každé 2 body A,B existuje práve 1 vektor u, pre ktoré platí u (A) = B
NÁSOBOK VEKTORA Definícia: -nech vektor u (u1, u2), k=R. -potom násobok vektora k.u(k.u1, k.u2) -ak k 0, potom posunutie je v tomistom smere ako u -ak k 0, potom posunutie je v opačnom smere ako u › ‹
Pr.: nájdi stred úsečky A[3, -1] B[9, 2] S = ? ¯¯¯¯¯¯¯ u (A) = B S = A+ 1/2u u = B- A u = (9, 2) – (3, -1) u = (6, 3), potom 1/2u = (6, 3) : 2 1/2u = (3;1,5) S = (3, -1) + (3;1,5) S = (6; 0,5) A+B S = –––––––– 2
Vlastnosti vektorov • ak v = k.u, hovoríme, že vektory u, v sú lineárne závislé(majú umiestnenie na 1 priamke) • ak v ≠k.u, hovoríme, že vektory u, v sú lineárnenezávislé(nemajú umiestnenie na 1 priamke) u v v u v u v u u u u v v v
Lineárna kombinácia vektorov Definícia: nech u, v sú vektory a k, l sú ľubovoľné (desatinné) čísla. Potom ω = k.u + l.v , nazývame lineárna kombinácia vektorov u a v. 2v ω v 3u u
Dĺžka vektora u (u1, u2) u(A) = B A[xa, ya] B[xb, yb] |u| = ? B u ––––––––– ––––––––––- A |u| = |AB| = √ (xb-xa)2 + (yb-ya)2 u1 u2 |u| = √ u12 + u22
Uhol vektorov φ u1 . v1 + u2 . v2 = |u| . |v| . cos v u . v = skalárny súčin φ u . v u Φ = --------- cos |u| .|v| u(u1, u2) v(v1, v2) Φ = uhol vektorov u, v u . v › 0 ↔ Φ je ostrý u . v = 0↔ Φ je pravý u . v ‹ 0 ↔ Φje tupý
Vektorový súčin • definujeme len v priestore • definícia : vektorový súčinvektorov u, v jevektor ω, pre ktorý platí: 1. ω je kolmý na vektory u, v 2. jeho smer určuje pravidlo pravej ruky 3. jeho veľkosť je |u| . |v| . sin φ označujeme ω = u × v
OBSAHY • obsah trjuholníka S = ½ c.b. sin α • S = ½|u × v | • obsah štvoruholníka S =|u × v |
Príklady • 1. vyp. obvod trojuholníka ABC, ak A[-4, 2] B[0, -1] C[3, 3] 2. úsečka PQ má strd S[-1, 4]. Vyp. Q, ak P[3, -1] 3. urč u2 vektora u(-16, u2), ak |u|= 34 4. na priamke AB nájdi bod C tak, aby |AC|= 3 |AB| 5. pre ktoré x je a . b= -2 ? Ak a (1, -2, 3) b(4, x, -2) 6. zisti, či trojuholník ABC je tupouhlý a vypočítaj obsah A[2, 0] B[3, -2] C[4, 1]
