1 / 20

Wykład 4 Przedziały ufności

Wykład 4 Przedziały ufności. Zwykle nie znamy parametrów populacji, np.  Chcemy określić na ile dokładnie estymuje  Konstruujemy przedział o środku , i taki, że mamy 95% pewności , że zawiera on  Nazywamy go 95% przedziałem ufności (dla  )

tuvya
Télécharger la présentation

Wykład 4 Przedziały ufności

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Wykład 4Przedziały ufności • Zwykle nie znamyparametrów populacji, np.  • Chcemy określić na ile dokładnie estymuje  • Konstruujemy przedział o środku , i taki, że mamy 95% pewności, że zawiera on  • Nazywamy go 95% przedziałem ufności (dla ) • Ogólnie rozważamy przedziały ufności na dowolnym poziomie ufności0%<1-<100%: • dla 95% PUmamy = 0.05 • dla 90% PUmamy = • dla 99% PUmamy = , itd.

  2. Podstawa konstrukcji:Rozkład średniej z próby • Jeżeli obserwacje pochodzą z rozkładu N(, ), to średnia z n obserwacji ma rozkład • Test: Ile wynosi kwantyl 50% dla ?

  3. Idea konstrukcji przedziału ufności: Znajdujemy najpierw przedział, w którymmieści się z prawdopodobieństwem 95% Użyjemy kwantyli rzędu 0.025 i 0.975 dla rozkładu zmiennej Kwantyle standardowego rozkładu normalnego Pr(Z>1.96) = 0.025, Pr(Z<-1.96) = 0.025. Oznaczenie: Z0.025 = 1.96. OgólnieZ/2jest taką liczbą, że Pr(Z > Z/2 ) = Pr(Z < - Z/2) = /2, zatem P(-Z/2< Z < Z/2) =

  4. Przedział ufności, gdy znane σ • Szukane kwantyle dla wynoszą • Np. kwantyle rzędu 0.025 i 0.975 dla Pr( < < ) = 0.95 • Inaczej ujmując: Pr(< μ< ) = 0.95

  5. Mamy 95% pewności, że odcinek • [ ] zawiera  • Przedział ten nazywamy 95% przedziałem ufności • Niestety długość przedziału ufności zależy tu od wartości , której na ogół nie znamy

  6. Przedział ufności dla μ, gdy σ jest nieznane • Estymujemy za pomocą s. • Definiujemy standardowy błąd średniej jako SE = • SE jest estymatorem odchylenia standardowego średniej : , którego użyliśmy poprzednio w PU • Będziemy używali SE w miejsce

  7. Musimy zapłacić pewną cenę za nieznajomość: nie możemy brać kwantyli z rozkładu normalnego: • Estymacjawprowadza dodatkową niepewność • Przedziały ufności są szersze niż w przypadku, gdy znamy 

  8. Rozkład Studenta Jest to rodzina ciągłych rozkładów, o gęstościach przypominających standardowy rozkład normalny, ale mających „cięższe ogony”. Zależą one od parametru df, liczby stopni swobody (degrees of freedom) Np. dla df = 1 otrzymujemy tzw. rozkład Cauchy’ego,najbardziej odległy od rozkładu normalnego: nie ma skończonej wartości oczekiwanej, nie zachodzi dla niego CTG ani prawo wielkich liczb.

  9. Przedziały ufości cd. • Estymując  za pomocą s, do konstrukcji przedziału ufności bierzemy kwantyle z rozkładu Studenta z df=n-1 stopniami swobody. • Rysunek i tablica wartości krytycznych z ``Introduction to the Practice of Statistics’’, D.S. Moore, G. P. McCabe

  10. Przykłady: • Dla jakiej wartości t mamy P(T>t)=0.025, gdzie T jest zmienną losową o rozkładzie Studenta z 8 stopniami swobody?

  11. Znajdź dwie symetryczne wartości z takie, że między nimi zawiera się 95% masy rozkładu Studenta z 11 stopniami swobody.

  12. Przedział ufności dla μ, gdy σ jest nieznane: Kwantyle rozkładu T wykorzystamy dokonstrukcji przedziałów ufności dla . • Przykład: Z n = 5 obserwacji, obliczono = 31.72 i s = 8.729. Wyznacz 95% przedział ufności dla.

  13. Znajdź 90% PU:

  14. Uwagi ogólne • 90% PUjest niż 95% PU. • Gdy n wzrasta to szerokość przedziału ufności na ogół

  15. Szerokość przedziału ufności wzrasta wraz z poziomem ufności • Większy poziom ufności -> Szerszy przedział • Mniejszy poziom ufności-> Węższy przedział

  16. Szerokość przedziału ufności zmniejsza się wraz ze wzrostem rozmiaru próby: • Większa próba-> zwykle węższy przedział • Mniejsza próba-> zwykle szerszy przedział

More Related