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§ 6 -1 静矩和形心

第六章 截面几何性质. § 6 -2 极惯性矩、惯性矩、惯性积. § 6 -1 静矩和形心. § 6 -3 惯性矩的平行移轴公式 组合截面的惯性矩和惯性积. 第六章 截面几何性质. 一、基本要求 熟练掌握静矩、形心及惯性矩的计算，掌握静矩、惯性矩及惯性积的性质。. 二、授课重点、难点 组合截面的静矩及惯性矩的计算。. 1 、 静面矩（也叫面积矩简称静矩）. d A. y. z. y. o. z. y. h. z C. a. z. O. b. § 6-1 静矩和形心.

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§ 6 -1 静矩和形心

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Presentation Transcript

  1. 第六章 截面几何性质 §6-2 极惯性矩、惯性矩、惯性积 §6-1 静矩和形心 §6-3 惯性矩的平行移轴公式 组合截面的惯性矩和惯性积

  2. 第六章 截面几何性质 一、基本要求 熟练掌握静矩、形心及惯性矩的计算，掌握静矩、惯性矩及惯性积的性质。 二、授课重点、难点 组合截面的静矩及惯性矩的计算。

  3. 1、静面矩（也叫面积矩简称静矩） dA y z y o z y h zC a z O b §6-1 静矩和形心 S y =∫A z dA Sz=∫A y dA 例：矩形截面，面积为A。求：S y、 Sz、 SzC

  4. 解：S y = ∫ z h dz b 0 dz Sz = ∫y b dy = a+h a y h zC a z O b 1、静矩 = (hb2)/2 =A*b/2 b[(a+h)2-a2]/2 = b h [(h/2)+a] =A* [(h/2)+a] • S y=A*zcSz=A*yc SzC =A*yc ∵yc=0∴SzC =0

  5. 结论： （1）截面对某个轴的静矩，等于截面面积与截面的形心坐标乘积。S y=A*zc Sz=A*yc 截面对通过形心轴的静矩为零。 （2）同一截面对不同轴的静矩不同，数值可能为正、为负或为零。 （3）量纲是[长度]3。 1、静矩 • 2、简单截面的形心 • 有两对称轴的截面，两对称轴的交点即是截面的形心。

  6. 3、组合截面的静矩和形心 • （1）静矩：由几个简单图形组合的截面，对于某轴的静矩应等于各个简单图形对该轴静矩的代数和。 • S y= Aizci Sz= Aiyci • （2）形心 • S y= Aizci = zcAi • Sz = Aiyci = yc Ai • yc =（ Aiyci）/（Ai） • zc =（ Aizci）/ （Ai）

  7. 选坐标轴z1作为参考轴 A=A1+A2 y 100 • • 20 Ⅰ • Ⅱ 100 • z1 B z 20 4、举例应用 例：求图示T形截面的形心及对z轴的静矩。 １、求形心yC=（ AiyCi）/（Ai） yC１＝60 yC２＝0

  8. y 100 • • 20 Ⅰ • Ⅱ 100 • z1 B z 20 4、举例应用 ２、求静矩 Sz= yCAi 　＝80＊2＊100＊20＝32＊10４ mm3 • 法二：若不求形心 • Sz= AiyCi＝20＊ 100＊110＋ • 20＊100＊50＝32＊10４mm3

  9. 1、定义 （1）惯性矩 取一微面积dA,定义z2 dA、y2 dA分别为微面积对y轴和z轴的惯性矩。 I y =∫Az2 dAIz=∫Ay2 dA为整个截面对y轴和z轴的惯性矩。 （2）惯性积 微面积dA与两坐标y、 z的乘积，定义为该微面积对y轴和z轴的惯性积。 dA y z y o z §6-2 惯性矩和惯性积 • I yz=∫A yz dA为整个截面对y轴和z轴的惯性积。

  10. y z y o z §6-2 惯性矩和惯性积 • （3）极惯性矩 • 微面积dA与到原点距离平方的乘积定义为该微面积对坐标原点的极惯性矩。 • IP=∫A 2 dA为整个截面对坐标原点的极惯性矩。

  11. dz z y h O b y0 h z0 O b §6-2 惯性矩和惯性积 2、举例 例1、求矩形截面对y轴、z轴、y0轴的惯性矩I y、 I z、I y0、坐标原点O的极惯性矩Ip。 z 解：（1）对y轴、z轴的惯性矩 Iz=bh3/3

  12. y0 y h z0 h O A1 A2 b z b b §6-2 惯性矩和惯性积 （2）对形心轴y0的惯性矩 （3）极惯性矩 IP =∫A 2 dA= ∫A (y2 + z2) dA = Iy + Iz 例2、求等腰三角形对y、z轴的惯性积Iyz。 • I yz=∫A yz dA • = ∫A1（-yz）dA +∫A2yz dA • = 0

  13. 思考: 一长边宽度为b，高为h 的平行四边形，它对于形心轴z 的惯性矩是否也是 ？ §6-2 惯性矩和惯性积

  14. y0 o z0 §6-2 惯性矩和惯性积 例3、求圆形截面对形心轴的惯性矩和惯性积。 IP =∫A 2dA =∫0R22d = (D4)/32 IP =I y0+ I z0 I y0= I z0= (D4)/64 I y0z0= 0

  15. ① 同一截面对不同轴、不同点的惯性矩、惯性积及极惯性矩不同。 ② 惯性矩、极惯性矩永远为正，惯性积可正、可负、可为零。 ③ 正交坐标轴中只要有一个为截面的对称轴，则截面对正交坐标轴的惯性积为零。 ④ 对直角坐标原点的极惯性矩等于图形对两坐标轴的惯性矩之和。 IP= Iy + Iz ⑤惯性矩、惯性积量纲： [长度]4。 3、特性 返回

  16. 一、惯性矩和惯性积的平行移轴公式 已知：I y0、 I z0 、Iy0z0 求：I y 、 I z 、Iyz Iz=∫A y2 dA=∫A(y0+a)2 dA =∫Ay02dA+ ∫A2 y0a dA+ ∫Aa2dA ∫Ay02dA= Iz0 y y0 b z0 C a z §6-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 组合截面的惯性矩和惯性积 同理可得： ∫A2 y0a dA = 2 a∫A y0 dA =0 = 2 a Sz0 ∫Aa2dA= a2A • 惯性矩的平行移轴公式： • Iz=I z0 +a2A Iy=I y0 +b2A • 由平行移轴公式看出：平面图形对形心轴的惯性矩最小。

  17. 工字形、T形等截面，可看作是由几个简单截面组成的。工字形、T形等截面，可看作是由几个简单截面组成的。 组合截面惯性矩和惯性积等于各分截面对此轴惯性矩和惯性积之和。 I zc= I z1 + I z２+A1a12+A2a22 Izc=53.34＊105 mm4 y 100 • z1 20 Ⅰ • • zc Ⅱ 30 • z2 100 A z 20 二、组合截面的惯性矩和惯性积 例：求图形对 zc轴的惯性矩 • Iz1 = bh3/12 =（100＊203）/12 = 66.67＊10３ • I z２=（1003＊20）/12 = 16.67＊105

  18. 解：Iy= (1/2)＊(D4)/64 = (D4) / 128 Iyc=Iy- Az02 z02 =4D2/92 Iyc= (D4)/128 - [(D2)/8 ]*4D2/92 Iy’= Iyc+Aa2a2=(z0+d)2 =(D4)/128 -d4/(18 )+ A(z0+d)2 z 2D/3 • y d y ’ 二、组合截面的惯性矩和惯性积 例：已知： 半圆（直径D）对y轴的惯性矩，求： 对y，轴的惯性矩。 返回

  19. 小 结 本章重点：形心求法、静矩、惯性矩、平行移轴公式。 记住：圆截面:Iy、 IP 矩形：Iz、Izc

  20. 1、已知平面图形形心为C，面积A，Iz，则对z1轴的惯性矩为：1、已知平面图形形心为C，面积A，Iz，则对z1轴的惯性矩为： (A) (B) (C) (D) 课堂练习

  21. (A) (B) (C) (D) 课堂练习 2、zC是形心轴， zC轴以 下面积对zC轴的静矩Sz为：

  22. 作 业 5-1，2，4

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