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一、直角三角形的邊角關係. 1. 相似三角形：. 若三角形  ABC 與  A  B  C 相似，則其對應邊成比例；對應角相等。. 例：若  ABC 與  A  B  C 皆為 30  60   90  的三角形 ( 如圖 ) ，. 則  ABC 與  A  B  C 相似。. B . 60 . 2 x. x. 30 . A. C . B. 60 . 2. 1. 30 . A. C. 以上這些比值 ( 共 6 種，本章討論 3 種 ) 與三角形的大小無關。. 本段結束.

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Presentation Transcript

  1. 一、直角三角形的邊角關係 1. 相似三角形： 若三角形 ABC與 ABC 相似，則其對應邊成比例；對應角相等。 例：若 ABC與 ABC皆為 30  60  90 的三角形(如圖)， 則 ABC與 ABC 相似。 B 60 2x x 30 A C B 60 2 1 30 A C 以上這些比值 (共 6 種，本章討論 3 種) 與三角形的大小無關。 本段結束

  2. 2. 兩邊的比值：正弦、餘弦、正切 B 直角 ABC 中，若 C = 90， 斜邊 對邊 三個邊長中兩兩的比值 我們分別給定下列名稱： A C 鄰邊 稱作 A 的正弦。 稱作 A 的餘弦。 稱作 A 的正切。 這些比值與三角形的大小無關， To be continued  注 意 但 A 的角度改變時，這些比值也將隨之改變。

  3. B 稱作 A 的正弦。 斜邊 對邊 稱作 A 的餘弦。 A C 鄰邊 稱作 A 的正切。 稱作 A 的餘切。 注意： 稱作 A 的正割。 稱作 A 的餘割。 本段結束

  4. 3. 範例：有一直角 ABC 如右圖所示，求 sinA，cosA，tanA 之值。 B 解： 13 5 A C 12 Let’s do an exercise !

  5. 馬上練習. 求下列各三角形中 sinA，cosA，tanA 之值。 (3) (2) B C (1) B 15 8 10 6 25 24 A B 17 A C 8 A C 7 解： ＃

  6. 4. 範例：30，45，60 是三個常用的特別角， 求 sin30，sin45，sin60 的值。 B 60 2 解： 1 30 A C B B 45 1 45 30 C A 1 2 60 C A 1 Let’s do an exercise !

  7. 馬上練習. 試求下列各空格的值： 1 ＃

  8. 二、銳角三角函數 1. 銳角三角函數： 直角三角形中，只要固定某一銳角(設度數為 )， 則相異兩邊的比值(正弦、餘弦、正切 ) 也隨之確定， 即 與這些比值形成一種函數的對應關係。 我們依序稱為 正弦函數(sin)、餘弦函數(cos)、 正切函數(tan)、餘切函數(cot)、 正割函數(sec)與餘割函數(csc)，這六個函數統稱為三角函數。 2. 範例： 求 cosA 和 tanB 的值。 B 解： 3 2 A C Let’s do an exercise !

  9. 求sinB、tanA之值。 馬上練習：(1) 在ABC中，C=90， (2) 若是一個銳角且 tan =2， 解： B 13 5 C A 12 2  ＃ 1

  10. 3. 範例：試利用右圖，分別求出 tan15、sin15、cos15 的值。 A 解： 15 60 1 2 30 15 B D C 2 Let’s do an exercise !

  11. 馬上練習. 承上題，分別求出 sin75、cos75、tan75 的值。 A 解： 15 60 2 1 30 15 B D C 2 ＃

  12. 4. 範例：如右圖，由 4 個一樣大小的正方形組成多邊形， 設 ABP = ，分別求 sin、cos、tan之值。 1 解： P A Q 4 2  Let’s do an exercise !  馬上練習. 承上題，設 QBC = ， B C 1 分別求 sin、cos、tan之值。 解： ＃

  13. 5. 範例： 解：如圖，直角 ABC 中， B 1  C A k Let’s do an exercise ! 馬上練習： 解：如圖，直角 ABC 中， B k  C A 1 ＃

  14. 三、三角函數的基本關係 1. 平方關係式： B 說明： c a  A C b 注意：習慣上，我們將 (sin)2和 (cos)2寫成 sin2 和 cos2， 其他三角函數亦同。 cos255 + sin255= 1。 例：sin243+ cos243= 1， 本段結束

  15. 2. 商數關係式： B 說明： c a  A C b 本段結束

  16. 3. 餘角關係式： B 說明： c a  A C b 本段結束

  17. 4. 範例：分別求下列各式的值： = 1 + 1 解： = 2 。 = 1 。 Let’s do an exercise ! 馬上練習：分別求下列各式的值： 解： = 1 。 ＃

  18. 5. 範例： 解： Let’s do an exercise !

  19. 馬上練習： 解： ＃

  20. 6. 範例： 解： ＃

  21. 三、銳角三角函數的變化： 1. 銳角三角函數值的變化： 設點 A 在以 B 為圓心且半徑為 1 的圓弧上變動。 當  從 0 增加到 90 時，有下列的結果： (1)《sin》：當銳角 的度數 ， A sin之值 ，且 0 < sin< 1。 A (2)《cos》：當銳角 的度數 ， 1 tan cos之值 ，且 0 < cos< 1。 sin (3)《tan》：當銳角 的度數 ，  B tan之值 ，且 tan> 0。 cos C C (4) 當 0 <  < 45， sin< cos< 1。 cos= sin< 1 = tan。 (5) 當 = 45， To be continued  注意 cos< sin< 1 < tan。 (6) 當 45 <  < 90，

  22. 注意：(1) 若 為銳角，則正弦sin、正切tan都是「遞增函數」； 而餘弦cos是「遞減函數」。 (2) 常用之銳角三角函數值： 1 本段結束

  23. 2. 範例：下列各敘述何者正確? (A) 若 0 <  < 45 ，則 sin < cos < tan。 (B) 若 45 <  < 90 ，則 cos < sin < tan。 (C) 若 0 <  <  < 90 ，則 cos < cos。 (D) 若 0 <  <  < 90 ，則 sin < sin。 sin為遞增， tan為遞增，且 解：若 0 <  < 90 ，cos為遞減， sin<cos< 1 0<  < 45 cos= sin< 1 =tan  = 45 故所求為 (B) (D)。 cos<sin< 1 < tan 45<  < 90 ＃ 注意：若 為銳角，且cos= tan

  24. 3. 範例： 解：設另一根為  ＃

  25. 4. 範例：一平底圓柱管，管高 60，口徑 20，水高 40， 今將此管傾斜  角，使水面恰達管口如圖，求 d = ? 解：水不變，即空白面積不變， 20 B 20 40 20  A C 60  40 d 60  D E 本 節 結 束

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