复变函数与积分变换

1. 复变函数与积分变换 贾厚玉 mjhy@zju.edu.cn 浙江大学

2. 第二章 解析函数 复变函数的导数 解析函数 解析函数的充要条件 初等解析函数 浙江大学

3. 复变函数的导数与微分 I） 导数的定义 设函数w=f (z)定义在区域D上，z0为D中一点，如果极限 存在，那么就说f (z)在z0处可导。这个极限值称为f (z)在z0处的导数，记作 浙江大学

4. 注意： 的方式是任意的，定义中的极限值存在 的要求与自变量的趋向方式无关。对于导数的这一限制比对一元实变函数的类似限制要严格得多，从而使复变可导函数具有许多独特的性质和应用。 定义： 如果f(z) 在区域D内处处可导，那么我们就说f(z) 在D内可导。 例： 浙江大学

5. 例： 极限不促在 取特殊的趋向，得到不同的极限值。 浙江大学

6. II） 可导与连续 f(z)=x+2yi 在整个复平面上处处连续，却处处不可导。 连续 可导 证明 III） 求导法则 可以将实函数中的运算法则推广至复变函数， 证法相同。 浙江大学

7. IV） 微分概念 假设f (z)在z0处可导，则 定义：若函数w=f(z)在点z0处的增量可以表示为 则称f(z)在点z0处可微， 若f (z)在z0处可导，则 可微与可导等价。 浙江大学

8. 解析函数 定义：如果函数 f(z) 在z0及其z0 的邻域内处处可导，那么 称 f(z) 在z0解析。 如果 f(z) 在区域 D 内每一点处解析，那么称 f(z) 在D内解析。 如果 f(z) 在z0处不解析，那么称z0为f(z)的奇点。 注记： 函数在区域内解析与在区域内可导是等价的。 函数在一点处解析与在一点处可导是两个不等价的。 函数在一点处可导未必在该点处解析。 函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多。 浙江大学

9. 例：研究函数 解： 在复平面上处处解析。 在复平面上处处不解析。 上式的极限为0 上式的极限不存在 因此 仅在原点处可导，而在其余点都不可导，故在整个复平面处处不解析。 浙江大学

10. 例：研究函数 的解析性。 因为w在复平面内除 z=0外处处可导，且 所以在除原点外的复平面内，该函数处处解析，而原点是它的奇点。 浙江大学

11. 定理 （1）在区域 D 内解析的两个函数f(z)与g(z)的和、差、 积、商（除去分母为零的点）在D内解析。 （2） 设函数 h = g(z)在z平面上的区域D内解析，而函数w=f(h)在 h平面上的区域G内解析。如果对D内的每一个点z，函数g(z)的对应值h 都属于G，那么复合函数w=f(g(z))在D内解析。 从上面的定理可以知道， 所有多项式在复平面内是处处解析的； 任何一个有理分式函数 在不含分母为零的点的区域内 是解析函数，使分母为零的点是它的奇点。 浙江大学

12. 解析函数的充要条件（Cauchy – Riemann 条件） 判别一个函数是否解析，如果只根据解析函数的定义，往往是困难的。 设 f(z) = u(x,y) + iv(x,y) 定义在D内，并且在D内任一点z=x+iy 可导，则 其中 令 浙江大学

13. 在(x, y)处可微，而且满足方程 浙江大学

14. 柯西－黎曼方程 Cauchy－Riemann方程 定理一 设 函数f(z) = u(x,y) + iv(x,y) 定义在区域D内，则 f(z) 在D内一点z=x+iy可导的充要条件是 u(x,y), v(x,y)在点（x, y）可微，并且在该点满足C-R方程。 必要性由前面的叙述可知。充分性的证明下面给出。 浙江大学

15. 充分性的证明 因为u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)可微，可知 浙江大学

16. 根据C－R方程，有 浙江大学

17. 由于 或者 浙江大学

18. 定理二 函数f(z) = u(x,y) + iv(x,y) 在区域D内解析的充要条件是 u(x,y), v(x,y)在D内可微，并且满足C-R方程。 上述两个定理提供了判断函数 f(z) 在某点是否可导，在区域内是否解析的常用方法，也给出了一个简洁的求导公式。是否满足C－R方程是定理中的主要条件。 如果 f(z) 在区域D内不满足C－R方程，那么 f(z) 在D内不解析； 如果在D内满足C－R方程，并且u和v具有一阶连续偏导数，那么 f(z) 在D内解析。 浙江大学

19. 例 判定下列函数在何处可导，在何处解析 C－R方程不满足 C－R方程满足，实部虚部均有一阶连续偏导数 仅仅在原点满足C－R方程 浙江大学

20. 例 设函数 问常数a,b,c,d取何值时，f(z)在复平面内处处解析？ 解： 从而要满足C－R方程，只需 浙江大学

21. 例 如果 在区域D内处处为零，那么 f (z) 在D内恒为常数。 证明： f (z) 在D内恒为常数。 浙江大学

22. 解析函数与调和函数的关系 定义：设 u(x,y) 在平面区域具有二阶连续偏导数且满足 则称二元函数 u(x,y) 为调和函数。 定理：设 f(z) = u(x,y) + I v(x,y) 在区域 D 上解析。如果 u, v 的所有二阶偏导数连续，那么 u 和 v 为D内的调和函数。 浙江大学

23. 共轭调和函数 一个解析函数的实部 u 和虚部 v 都是调和函数。 称v(x, y) 是 u(x, y) 的共轭调和函数。 如果已知区域D内的某个解析函数的实部u（或虚部 v），那么可以利用柯西－黎曼方程求出它的虚部v （或实部u），从而得到D内的解析函数f (z) 的表达式。 定理： 设 u(x, y)是z0的一个邻域中的调和函数，则存在一个定义在这个邻域中的共轭调和函数v(x, y)，使得f(z) 在z0点解析。 浙江大学

24. 证明：由CR方程， Step1. 所以两边对y积分，得到 Step 2. 比较上式两边，解出单变量函数 的表达式， 然后求出v(x, y) 。 浙江大学

25. 例. 已知函数 证明它是一个调和函数， 且求出其共轭调和函数v (x, y)。 例. 设 v 是 u 的共轭调和函数， 证明 是调和函数。 浙江大学

26. 例. 函数 f(z) = u+iv 是一个解析函数，且 求 f(z) = u+iv 。 解： 因为f(z) 是解析函数，故由C-R方程，将上述两式加减， 浙江大学

27. 令 y = 0 浙江大学

28. 初等解析函数 指数函数 是在复平面上处处解析的函数，而且 可以验证，上述函数还具有性质：对任意复数z1，z2，恒有 自然地，把该函数定义为复平面上的指数函数，记为 浙江大学

29. 复指数函数exp(z)具有如下性质： （1） 当z取实数x时(y=0), 复指数函数与实指数函数一致，故可看成实指数函数的扩张。 当z取虚数时(x=0), 得到欧拉公式 （2） 在整个z平面内，exp(z)无零点。 （3） 在整个z平面内，exp(z)处处解析，导函数正是本身。 （4） （5） （6） 浙江大学

30. 浙江大学

31. 对数函数 对数函数定义为指数函数的反函数。我们把满足方程 的函数w = f (z)称为对数函数，记作 令 由于Arg z 是多值的，所以对于每个非零 z，复对数 Ln z 也是多值的。 浙江大学

32. 若Arg z 取主值 arg z ，那么Ln z 为一单值函数，记作 ln z ，称为Ln z 的主值： 例： 浙江大学

33. 在实函数理论中，负数无对数，但现在应该说“负数有复对数”。 复变数对数函数是实变数对数函数的拓广。 不难验证 左边的等式应当理解为两端可能取的函数值的全体是相同的。 下面的等式不成立： 浙江大学

34. 对数函数的解析性： 就主值ln z 来说，ln |z| 除原点外在其他点都是连续的， 而 arg z 在原点与负实轴上都不连续，所以，除去原点与负实轴，在复平面内其他点，ln z 处处连续。 综上所述， 在区域 内的反函数 w = ln z 是单值的。 由反函数的求导法则，可知 所以 ln z 在除去原点及负实轴的平面内解析. Ln z 在除去原点及负实轴的平面内也解析，并且有相同的导数值。 浙江大学

35. 浙江大学

36. 幂函数 定义： 设 z为不为零的复变数， 为任意一个复数，我们定义 乘幂 上式与微积分中的乘幂的定义一致 当z 为正实变数、 当z 为复变数、 浙江大学

37. 也是多值函数。 是单值的； 是有限多值的； 是无穷多值的。 浙江大学

38. 例 浙江大学

39. 三角函数与双曲函数 定义 正弦函数 余弦函数 当z为实变数时，左边的定义余初等微积分中的三角函数的定义一致 双曲正弦函数 双曲余弦函数 浙江大学

40. 由于指数函数 在整个复平面上是解析的，所以 前面定义的三角函数与双曲函数均在整个复平面上解析，而且 还可以验证其它性质。 浙江大学

41. （1） sin z，cos z 是以 为周期的周期函数； sh z，ch z 是以 为周期的周期函数； （2） sin z，sh z 为奇函数； cos z，ch z 为偶函数 （3） 验证以下三角恒等式 浙江大学

42. （4） （5） 不是有界函数 取z = iy (y>0), 浙江大学

43. （6） sin z 的零点为 cos z 的零点为 浙江大学

44. 例：解方程 例：解方程 浙江大学

45. L’Hospital法则 若f(z)及g(z)在点z0解析，且 f(z0) = g(z0) = 0, g’(z0) = 0，则 浙江大学