Elektronski valovi u atomima

1. Elektronski valovi u atomima Primjenom zamisli o valnim svojstvima elektrona mogu se objasniti niz činjenica o atomima : Atomi svih elemenata su slični i pokazuju zavidnu stabilnost. Potrebno je dosta energije za odvojiti pojedini elektron iz atoma , a još više za promijeniti jezgru atoma. Veličine atoma. Atomi svakog elementa imaju vlastiti karakterističan skup energijskih razina .

2. Stojni valovi Ako se elektron hoće predstaviti valom , onda to mora biti stojni val, inače elektron ne bi bio ograničen u atomu . Ako upadni i reflektirani val pobuđuju isti medij nastaje stojni val .U slučaju valova na napetoj struni učvršćenoj na oba kraja nastaje stojni val tako da sve sitne čestice žice titraju s istom frekvencijom , ali u nekom trenutku imaju različitu amplitudu.Neke od njih imaju maksimalnu amplitudu ( trbuh stojnog vala ) ,a neke miruju ( čvor ).

3. Pokus stojnog vala na opruzi (slinky )

4. Na struni duljine L može nastati val s jednim trbuhom Najniža frekvencija titranja Osnovna frekvencija Prvi harmonik Drugi harmonik Peti harmonik n-ti harmonik

5. Matematički izvod formule stojnog vala Upadni val : Reflektirani val : Superpozicijom tih dvaju valova nastaje stojni val : Trigonometrijska formula za zbrajanje kosinusa dvaju kutova : pa je Uz rubni uvjet : x=L , sinkL=0 slijedi Tako se u klasičnoj fizici pojavljuje kvantizacija energije : nije moguća bilo koja raspodjela energije , stojni valovi nastaju samo uz frekvencije izvora određene formulom :

6. Stojni val u dvije dimenzije može se demonstrirati na membranama .Postoje i trodimenzionalni stojni valovi . Činjenice o atomu vodika Veličina : oko 10-10 m Energija ionizacije : 13.6 eV ili Energijske razine : Činjenica o elektronskom valu količina gibanja = h/λ

7. Hipoteza : atom vodika je kutija oblika kugle unutar koje se mora smjestiti elektronski stojni val . Uz tu pretpostavku najveća moguća valna duljina stojnog vala u toj kutiji Pomoću te veličine se izračuna količina gibanja elektrona , a iz toga kinetička energija Za držati elektron u kutiji veličine atoma treba neka privlačna sila , a to je električna privlačna sila između njega i protona.Energija potrebna za razdvojiti elektron od protona kad su udaljeni se može izračunati iz izraza

8. Dakle , elektron ima manju kinetičke energiju od energije potrebne za odvajanje , i zato ostaje zatočen u okolini protona. Uvjet stabilnosti nekog sustava je da se nalazi u stanju najmanje ukupne energije.Za sustav elektrona i protona , uz pretpostavku mirujućeg protona s masom protona znatno većom od mase elektrona , ukupnu energiju čini zbroj kinetičke i potencijalne energije elektrona i taj zbroj u stabilnom stanju mora biti manji nego za bilo koju drugu udaljenost elektrona od protona. Za slučaj slike elektronskog stojnog vala osnovne frekvencije ukupna energija iznosi .Kad bi kutija bila manja, elektron bi imao manju valnu duljinu i Ek bi narasla više nego što bi se Ep smanjila.Za veću kutiju bi ukupna energija opet bila veća.

9. Elektron opisan valom koji pristaje u kutiji (atomu) Hipoteza: atom vodika je sferna kutija unutar koje se nalazi stojni val

10. Analogija Stojni val u atomu Osnovni stojni val na žici

11. Načelo minimuma energije • Atom teži biti u stanju najmanje moguće energije • Energija atoma je zbroj kinetičke i potencijalne energije elektrona

12. Računanje energije atoma De Broglieva hipoteza da se svakoj čestici (pa tako i elektronu) količine gibanja p može pridijeliti val valne duljine λ uz vezu:

13. Računanje energije atoma Rasprava Kinetička energija je manja od energije potrebne elektronu da se pomakne s udaljenosti u beskonačnost,pa elektron ostaje zarobljen u atomu

14. Veličina atoma Zašto elektron ne bi bio deset puta bliže protonu ? Ako bi polumjer atoma bio Kinetička bi energija bila 100 puta veća tj. Potencijalna energija bi bila 10 puta manja tj. Kako je kinetička energija veća od potencijalne, elektron bi mogao napustiti proton, dakle atom ne bi bio stabilan .

15. Veličina atoma • Pretpostavimo da je polumjer atoma deset puta veći • Kinetička energija bi se smanjila 100 puta • Potencijalna energija bi se povečala 10 puta(manja po iznosu deset puta) tj. • Ukupna energija je • Ukupna je energija veča(manje negativan broj) nego kad je elektron na stvarnoj udaljenosti od protona ,pa zbog načela minimuma energije neće ostati u tom položaju

16. Schrödingerova jednadžba • Jednostavni putujući val (na žici,zvuk,svjetlost) opisuje promijenu neke veličine .Kojom veličinom opisati val materije ( elektron )? • Tu kompliciranu veličinu nazivamo valna funkcija i s njom označavamo prijenos tipičnih valnih ( količina gibanja, energija) i čestičnih ( masa) svojstava .ψ je kompleksni broj.

17. Schrödingerova jednadžba • U jednostavnijim primjerima su prostorni i vremenski dio funkcije razdvojeni : Dio valne funkcije koji ovisi o položaju

18. Znaćenje valne funkcije • Valovi materije su vjerojatnosni valovi.Ako val materije dolazi ka detektoru u položaju gdje je apsolutna vrijednost valne funkcije ,onda je vjerojatnost da će detektor registrirati česticu opisanu tim valom u određenom vremenskom intervalu biti ~ • Kad je (često) prostorni dio valne funkcije kompleksni broj se odredi množeći sa (kompleksno konjugirani izraz valne funkcije ,nastaje da se i zamijeni s -i).

19. Schrödingerova jednadžba u jednoj dimenziji • Opisuje česticu koja putuje u x smijeru kroz područje u kojem sile koje djeluju na česticu opisujemo potencijalnom energijom U(x): E (ukupna mehanička energija čestice)= potencijalna enegija+kinetička energija

20. Valna jednadžba slobodne čestice • Ako je U(x) nula , Schrödingerova jednadžba opisuje slobodnu česticu, kojoj je sva energija u obliku kinetičke.Uz određenu preinaku dobije se • Rješenje je val koji putuje u smijeru pozitivne x osi k je valni broj

21. Gustoća vjerojatnosti • Za naći gustoću vjerojatnosti ,treba kvadrirati apsolutnu vrijednost valne funkcije: konstanta Čestica ima jednaku vjerojatnost biti bilo gdje na osi x

22. Heinsenbergov princip neodređenosti • Nije moguće izmjeriti položaj (npr. x ) i količinu gibanja mvx istodobno s neograničenom preciznosti Primjer:slobodna čestica (ne djeluje sila) Ako na česticu ne djeluje sila, količina se gibanja ne mijenja.Uz pretpostavku da količinu gibanja možemo izmjeriti s proizvoljnom točnošću, Δpx je nula pa Δx→∞.Akoje neodređenost položaja tako velika,položaj je čestice potpuno neodređen, ona može biti bilo gdje na osi x.

23. Tunel efekt Na slici je prikazan elektron koji ima ukupnu energiju E dok se giba u smijeru osi x.Potencijalna energija mu je nula ,osim u području 0<x<L , gdje je U=U0.Ovo se područje naziva potencijalna barijera.

24. Opis grafa U klasičnoj fizici, jer je bi se reflektirao od barijere. U kvantnoj fizici elektron je val materije koji ima određenu vjerojatnost proći kroz prepreku i pojaviti se na drugoj strani. • Rješenje Schr.jednadžbe je prikazano na grafu. Unutar barijere gustoća vjerojatnosti eksponencijalno pada s x. Ako širina prepreke L nije prevelika, vjerojatnost da se elektron pojavi na položaju x=L nije nula. Desno od barijere gustoća vjerojatnosti je mala, ali stalna. Tu je moguće detektirati elektron. Koeficijent transmisije T opisuje vjerojatnost tuneliranja. Npr. ako je T=0.01, onda će od 1000 elektrona koji dolaze do barijere, 10 proći kroz nju, a 990 će se odbiti.

25. Primjer tunel efektaVodić prekinut zračnim razmakom

26. Simulacija tuneliranja elektrona kroz zrak u prekinutom vodiću

27. Koeficijent transmisije Zbog eksponencijalne ovisnosti T je ekstremno osjetljiv o masi čestice, debljini barijere i razlici energija

28. Zadatak • Elektron ukupne energije E=5.1 eV se primiče barijeri visine U0 i debljine L=750 pm. • a)Kolika je vjerojatnost da će elektron proći kroz barijeru i da će biti detektiran s druge strane? • b)Kolika je vjerojatnost da će proton iste ukupne energije proći kroz barijeru i biti detektiran s druge strane prepreke.

29. Rješenje za elektrone Bezdimenzijska konstanta Od svakih milijun elektrona koji udare u barijeru, 45 ih prođe i detektor ih izmjeri na desno od barijere.

30. Rješenje za protone • Koeficijent trensmisije ovisi o masi čestice i to ekst remno osjetljivo.Budući je masa protona oko 2000puta veća od mas elektrona , uvrštavanjem u izraz za koeficijent transmisije se dobije da je Dakle vjerojatnost da će proton proći kroz barijeru nije nula, ali je toliko mala da možemo ustvrditi da je u nekoj doglednoj budučnosti nemoguće da proton prođe kroz barijeru.

31. STM-skenirajući tunelirajući mikroskop Piezoelekticitet: kad se na kristalu primijeni napon,dimenzije se kristala mijenjaju.

32. Prikaz površine Prostor između površine i igle je potencijalna barijera.Ako je razmak malen, elektroni mogu tunelirati iz površine u iglu ,formirajući struju.Pomoću feedback uređaja se regulira razmak između površine i igle tako da se struja tuneliranja drži konstantnom .Na ekranu se dobije prikaz vertikalnog položaja z ( konture površine ) igle kao funkcije položaja u xy ravnini.